专题06 双曲线及其性质的综合应用问题十类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

专题06 双曲线及其性质的综合应用问题九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的概念及标准方程 题型二、轨迹方程--双曲线 题型三、双曲线中的线段和差最值问题 题型四、双曲线中的焦点三角形问题 题型五、双曲线中的离心率问题 题型六、双曲线中与渐近线有关的问题 题型七、利用双曲线的有界性求参数取值范围 题型八、双曲线中的中点弦问题 题型九、双曲线中的焦半径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线及其性质综合应用是高中解析几何板块的重点题型，所有题型均围绕定义辨析、渐近线分析、坐标运算、范围约束、数形结合五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是牢记双曲线定义，注意是距离之差的绝对值，二是分清a,b,c的数量关系，留意焦点在x轴或y轴的分类讨论，三是焦点三角形抓住边长、面积与顶角的对应关系，四是离心率问题要寻找a与c的齐次等式或不等式，注意离心率大于1，五是中点弦、焦半径要注意双曲线存在两支，求解后检验点是否存在，参数范围要区分左右两支的限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的概念及标准方程 典例1-1 方程表示双曲线，则实数m的取值范围是_________________. 【答案】 【分析】根据的系数异号，可得结果． 【详解】化成标准方程形式，由 可得，故. 故答案为：. 典例1-2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 题型模版 1.特征：一类是带有参数的二元二次方程，判断方程是否代表双曲线，求解参数取值范围；另一类是给出顶点、焦点、经过定点等条件，求双曲线的标准方程。核心判定规则：化为平方项相加等于1的形式后，两个平方项分母正负相反 2.方法：判断含参方程表示双曲线：把方程整理成平方项相加等于1的形式，保证两个分母一个为正数、一个为负数，列出不等式求解参数范围。求双曲线标准方程：先判断焦点在哪一条坐标轴，选择对应的方程形式，带入已知点坐标或者焦点、实半轴等条件，解方程求出分母的数值。如果焦点位置不确定，可以设通用方程形式，直接代入两点计算，不用分类讨论 变式1-1在平面直角坐标系中，“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件是“实数______．” 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程可得，，由此可以求出k的取值范围. 【详解】由题意知， 若方程表示焦点在轴上的双曲线则， 解得：， 反之，当时，， 此时方程表示焦点在上的双曲线， 综上，“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件是实数. 故答案为： 变式1-2方程的曲线是双曲线，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】分双曲线的焦点在轴和轴两种情况讨论，可得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 变式1-3求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程； （2）根据焦点及，求出即可得出标准方程； （3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上， 故可设它的标准方程为． 因为双曲线过点， 所以，又， 解得，， 因此，所求双曲线的标准方程为． （2）由题意知，，且焦点在x轴上， 所以， 故所求双曲线方程为： （3）设双曲线方程为， 代入点，， 则，解得， 所以所求双曲线方程为. 类型二、轨迹方程--双曲线 典例2-1 与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】先判断两圆外离，根据圆与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 典例2-2 已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是 【答案】C 【分析】结合垂直平分线以及中位线的性质，分析计算出的值，则结果可知. 【详解】因为为中点，为中点，所以， 因为在线段的中垂线上，所以， 因此， 即点的轨迹是以为焦点的双曲线， 故选：C. 题型模版 1.特征：利用双曲线的定义判断动点轨迹，题目常结合圆与圆相切、中点、对称点、中垂线等几何背景。核心是寻找动点到两个定点距离之差的绝对值为定值，并且这个定值小于两个定点之间的距离。若只是距离的差为定值，则轨迹只是双曲线其中一支 2.方法：先从题干给出的几何条件，转化出两条线段长度的关系式。计算动点到两个定点的距离之差，对比定值与两定点间距的大小。对照双曲线定义判断轨迹类型，注意区分是完整双曲线还是单支。也可以设动点坐标，依靠坐标列式化简，直接求出轨迹方程 变式2-1与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 变式2-2已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 变式2-3已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_____． 【答案】 【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程． 【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：．． 变式2-4已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以， 所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为． 故答案为： 变式2-5用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线．求曲线的轨迹方程； 【答案】 【分析】根据题意，得到，由双曲线的定义知点，，，形成的轨迹是以和为焦点，以为实轴长的双曲线，进而可求曲线的标准方程. 【详解】把圆周上的点折叠到点，折痕所在直线是的垂直平分线， 所以，可得， 若不断在圆周上取新的点，，…，进行折叠并得到标记点，，…， 总有，成立， 根据双曲线的定义，可得点，，，…形成的轨迹是以和为焦点， 以为实轴长的双曲线，所以， 又由，可得，所以，则， 所以曲线的标准方程为：． 题型三、双曲线中的线段和差最值问题 典例3-1 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 典例3-2已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 典例3-3已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 【答案】10 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 题型模版 1.特征：动点P在双曲线上，求含焦半径、定点距离的线段和或者线段差的最值，部分题目会结合圆上动点，本质是利用双曲线定义转化线段，搭配三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求解； 2.方法：第一步，利用双曲线定义，把一条焦半径换成另一条焦半径加减2a，对所求表达式做线段替换。第二步，把式子整理成两点之间距离的形式，借助三角形三边关系判断最值，等号成立条件是三点共线。第三步，如果里面包含圆上动点，再叠加圆上点到定点距离的最值：圆上点到定点距离最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径。 第四步，检验取等时点 P 是否在题目限定的双曲线那一支上，不符合则取不到该最值 变式3-1已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 变式3-2过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键在于利用圆的切线性质和双曲线的定义，结合中点坐标公式，将转化为与双曲线的实轴长有关的表达式求解即可. 【详解】双曲线可化为， 可得， ，故双曲线的右焦点为， 由过点的直线与交于点，若的中点为, 在中，, 又直线与圆相切于点, ，且， 由双曲线的定义可得即 在中，, 因为为的中点，根据题意可知点在线段上，所以, 则. 故选：. 变式3-3设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 变式3-4点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9   ． 题型四、双曲线中的焦点三角形问题 典例4-1 已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 典例4-2（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 题型模版 1.特征：以双曲线上一点P和两个焦点F₁,F₂构成△PF₁F₂，常求三角形面积、周长、边长代数式最值。核心条件是双曲线定义：双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值等于2a。常结合余弦定理、面积公式、函数求最值综合考查 2.方法：先从双曲线方程读出a,b,c，求出两焦点间距|F₁F₂|=2c； 利用双曲线定义写出||PF₁|-|PF₂||=2a，根据P在左支/右支去掉绝对值； 已知顶角时，对焦点三角形用余弦定理建立边长关系； 求面积：可用面积公式，双曲线焦点三角形面积公式S等于b²乘以顶角半角的正切； 求周长或代数式最值：把一个边长用另一个代换，转化为函数，结合双曲线边长范围求解 变式4-1已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 变式4-2已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 变式4-3已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 变式4-4（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，．若P为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A．当，时， B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于，由椭圆与双曲线的定义可将与用和表示，即可得出答案；对于，由得，，再在中用一次余弦定理即可得到答案；对于，由得，又，，代入可得答案；对于，因为，所以，化简可得，再利用三角恒等变换中的平方关系进行转化即可． 【详解】由，，得，．    所以，当，时，，则正确．； 因为，其中，， 所以，则错误； 对于，，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即． 令，，则，其中，，取． 因为，，所以，， 所以，，故． 因为， 所以在上单调递增，故，则正确． 故选：AD． 题型五、双曲线中的离心率问题 典例5-1 已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆半径 表示三个三角形面积，约去公共因子，将面积不等式转化为焦半径差与焦距的关系，由双曲线定义得 ，结合离心率定义及 求范围. 【详解】设的内切圆半径为，根据三角形面积公式可得 ，，. 代入题设不等式，约去公共项后可得 . 根据双曲线的定义，右支上的点恒满足， 而双曲线焦距，代入上式得， 即离心率. 双曲线的离心率本身满足，因此最终离心率的取值范围是. 典例5-2 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 典例5-3如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式及基本不等式得出，再根据同角三角函数的关系化简即可求解． 【详解】由题知，， 设为双曲线的左焦点，左顶点，， 则 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 整理得或（负值舍去）， 所以， 所以 题型模版 1.特征：题干给出双曲线上点、焦点、内切圆、线段比例、角度、面积等条件，目标求解离心率数值或者离心率取值范围，核心是利用双曲线定义，结合几何性质建立a、b、c之间的关系式 2.方法：先优先使用双曲线定义：双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值等于2a； 有内切圆时，内切圆圆心到三角形三边距离相等，也就是内切圆半径r，三角形面积可以用二分之一周长乘半径表达；遇到线段比例，设比例系数，借助定义写出各条焦半径长度；结合勾股定理、余弦定理、面积不等式建立a与c的不等或者等量关系；最后转化离心率e=，求解范围或者具体值，检验e>1 变式5-1已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段比例关系，双曲线定义，余弦定理可得方程，得到，求出离心率 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 变式5-2双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    变式5-3已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得为中点，利用勾股定理建立关系式，依据与的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故， 于是，由相似比可得，又为的中点， 又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则， 所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形， 由勾股定理得， 在中有，将、代入， 整理得：， 当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增， 因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处， 此时，，则该式的最小值趋近于， 题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得， 故双曲线离心率的取值范围是. 变式5-4已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】连接，利用由双曲线的定义和求出，根据双曲线的性质得到，整理化简即可求出离心率的取值范围. 【详解】 连接，可得四边形为平行四边形，即有. 由双曲线的定义可得.因为，所以，可得. 由双曲线的性质可得，即有，由可得，解得，又,即有，则离心率的取值范围是． 故答案为：． 变式5-5（多选）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】设半焦距为，因为与的焦距相同， 所以，对椭圆，，， 对双曲线，，， 所以，即. 设， 所以，由椭圆的定义得，， 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，解得. 此时，，. 当时，，解得， 此时，. 综上，的值可能为或. 类型六、双曲线中与渐近线有关的问题 典例6-1 设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为________． 【答案】 【分析】求出渐近线方程，设出，利用点到直线距离公式得到. 【详解】渐近线方程为，设，则，所以． 由点到直线的距离公式有，， ∴. 故答案为： 典例6-2（多选）已知双曲线：（，）的一个焦点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先根据双曲线焦点在给定圆上求出半焦距，再结合联立求解，的比值，进而得到渐近线方程。 【详解】设双曲线的焦点坐标为，因为双曲线的一个焦点在圆上， 所以，令，可得或， 因为双曲线的焦点坐标为，且， 所以或，因为，在双曲线中有， 当时，，即，此时无解，舍去； 当时，，即， 解得或，所以或， 则双曲线方程的渐近线为或. 题型模版 1.特征：题干围绕双曲线渐近线设置条件，常见形式：点向两条渐近线作垂线求距离乘积 / 和；焦点向渐近线作垂线；直线与渐近线垂直、夹角，结合三角函数，目标求渐近线方程、距离、离心率. 2.方法：将写出双曲线两条渐近线的一般式； 点到渐近线的距离，直接套用点到直线距离公式； 焦点向渐近线作垂线，垂足有固定几何结论：垂足落在准线上，垂线段长度恒等于b； 出现垂直、余弦值，结合直角三角形、双曲线定义，建立a,b,c的关系式； 渐近线只需要求，不需要单独算出a,b 变式6-1已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 变式6-2若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 变式6-3若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 变式6-4已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 类型七、利用双曲线的有界性求参数取值范围 典例7 若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    故答案为：. 题型模版 1.特征：双曲线自带变量范围约束，对于焦点在x轴上的双曲线，横坐标的绝对值大于等于实半轴长；结合双曲线定义，双曲线上任意一点到两个焦点距离之差的绝对值等于两倍实半轴长，还有焦半径的取值范围限制。 题目常给新定义等式，或者给出双曲线上点满足关系式，求参数最值、取值范围；也会转化成两点距离平方的最值，依靠双曲线横坐标的范围约束变量. 2.方法：①先用双曲线定义化简题干式子，替换两点到焦点距离之差； ②写出焦半径对应的表达式，利用焦半径的取值范围建立不等式； ③分离参数，转化成求函数的值域； ④两点距离最值类：一个点在双曲线上，一个点在圆上，两点最小距离等于圆心到双曲线上点的最短距离减去圆半径； ⑤双曲线有界性重点：横坐标大于等于实半轴长，或者小于等于负的实半轴长，求函数最值不能忽略这个定义域限制 变式7-1已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 变式7-2已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 变式7-3直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 变式7-4若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案. 【详解】设双曲线上的点满足，即 ， 即， 又， ，即， ，且，， 则，， 又，实数b的取值范围是， 故答案为：. 类型八、双曲线中的中点弦问题 典例8-1 已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【分析】利用点差法求直线的斜率. 【详解】设，则， 两式相减得， 故，即直线的斜率为. 故答案为：. 典例8-2已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 题型模版 1.特征：已知直线和双曲线交于两个点，给出两个交点连成线段的中点坐标，求这条直线斜率或者直线方程；也会反过来，已知直线斜率，求中点满足的关系。 这类题目常用点差法，和椭圆中点弦题型思路相似，但双曲线有特殊风险：用点差法算出结果之后，必须检验直线与双曲线是否真的存在两个交点 2.方法：①先设出直线与双曲线两个交点的坐标，两点都满足双曲线方程； ②两个方程上下相减，进行因式分解，这个方法叫点差法； ③利用中点坐标，得到两个交点横坐标之和、纵坐标之和； ④代入化简式子，直接算出直线斜率； ⑤关键一步：把求出的直线和双曲线联立，验证判别式，确认存在两个实交点，舍去没有交点的虚假解 变式8-1已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点，则直线的斜率为 ____________． 【答案】/ 【分析】利用点差法可直接求解得到结果. 【详解】设，，则， 两式作差得：，； 的中点为，，， 直线的斜率. 故答案为：. 变式8-2已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为______． 【答案】 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 变式8-3设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【详解】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 类型九、双曲线中的焦半径问题 典例9 已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 题型模版 1.特征：题目给出双曲线上一点到两个焦点的距离，也就是焦半径，常结合双曲线定义、焦点三角形、垂直条件、面积条件，求解焦半径长度，或是求关于焦半径代数式的取值范围。点在双曲线左支、右支，对应的焦半径表达式不一样，需要先分清点在哪一支 2.方法：优先使用双曲线定义，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值等于两倍实半轴长； 遇到垂直于坐标轴的焦半径，可以直接算出点的纵坐标，结合三角形面积求出焦半径长度； 根据点所在的分支，写出两个焦半径之间的大小关系，用一个焦半径表示另一个； 结合焦半径本身的取值下限，转化为函数，求代数式的值域； 最后检验范围边界，确认是否可以取到 变式9-1分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义可得，，结合已知条件可得，然后在直角三角形中利用勾股定理可求得答案 【详解】解：由双曲线的定义可得，， 因为，所以， 所以，即， 因为， 所以，所以， 由，得， 所以，得， 故选：C 变式9-2（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B． C．直线的斜率为 D．的坐标为或 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的焦距求出的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出、的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点的坐标，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，且，解得， 又因为，故双曲线的渐近线方程为，A对； 对于B选项，因为点在右支上，则，① 又因为，则，② 联立①②可得，，所以，，B对； 对于C选项，若点在第一象限，则直线的斜率为， 若点在第四象限，由对称性可知，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为，C错； 对于D选项，设点，则，且，可得， 所以，， 解得，则，可得，即点，D对. 故选：ABD. 变式9-3已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可. 【详解】由题意可得，即①正确； 显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误； 易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确； 对于④，先推下双曲线的焦半径公式： 对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点， 则， 同理， 所以，此即为双曲线的焦半径公式. 设点，由双曲线的焦半径公式可得， 故， 其中，则， 由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误； 综上正确的是①③两个. 故选：B 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 2．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 3．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 4．若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 5．（多选）双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当点异于双曲线的顶点时，平分 C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D．若，则点的坐标为 【答案】ABD 【分析】由双曲线定义计算可判断A；由题意结合光的反射原理计算可判断B，由双曲线定义及两点间距离公式计算可判断C；由双曲线定义及三角形面积公式列式计算可判断D. 【详解】在双曲线中，则，故. 设，若， 且，则，所以，A项正确； 过点作，如图所示， 由光的反射原理可知，， 所以，故平分，B项正确； ， 故当过点时， 光线由到再到所经过的路程为，C项错误； 若，则，设，则， 因为， 且， 所以，即，解得，D项正确. 6．（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D. 【详解】对A，得，所以， 所以， 当为双曲线右支与轴交点时，取等号， 即的最小值为8，故A正确； 对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为， 与双曲线的两个交点为，此时，故B错误； 对C，因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，故C正确； 对D，设为的内心， ， ， ， 在双曲线上，,为定值，D正确， 故选：ACD． 7．若方程表示双曲线，则m的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可. 【详解】方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故答案为：. 8．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 9．在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，点满足，且，则双曲线的离心率为_______________. 【答案】 【分析】由，结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线定义知， ，，， ，， 又，， 在中，，① 在中，，② ，， 结合①②化简得， ，即平分， 又，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ，化简得， . 故答案为：. 11．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 12．已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质求解即可； （2）设为，，，直曲联立表示出韦达定理，由中点坐标公式得到斜率，再由弦长公式计算出结果即可； 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，所以； 双曲线的焦点坐标为，所以；所以； 所以双曲线方程为： （2）由（1）得，根据题意得过的直线斜率存在， 设为，，， 联立，化简得， 所以，， 因为中点的横坐标为，所以， 解得，所以， 所以. 13．若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为离心率，故， 因为，得，即，所以， 双曲线过点，将其代入方程， 因为，所以，解得，则， 因此，双曲线的标准方程为； （2）由轴，可知的横坐标为， 代入双曲线方程，得， 因为在第一象限，故，即， 直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 14．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为 (2)不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； (3) 【分析】（1）借助焦距与渐近线方程定义计算即可得； （2）表示出直线的方程，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合计算可得不存在； （3）结合双曲线定义与双曲线最短焦半径计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）略 （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 15．已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线及其性质的综合应用问题九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的概念及标准方程 题型二、轨迹方程--双曲线 题型三、双曲线中的线段和差最值问题 题型四、双曲线中的焦点三角形问题 题型五、双曲线中的离心率问题 题型六、双曲线中与渐近线有关的问题 题型七、利用双曲线的有界性求参数取值范围 题型八、双曲线中的中点弦问题 题型九、双曲线中的焦半径问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线及其性质综合应用是高中解析几何板块的重点题型，所有题型均围绕定义辨析、渐近线分析、坐标运算、范围约束、数形结合五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是牢记双曲线定义，注意是距离之差的绝对值，二是分清a,b,c的数量关系，留意焦点在x轴或y轴的分类讨论，三是焦点三角形抓住边长、面积与顶角的对应关系，四是离心率问题要寻找a与c的齐次等式或不等式，注意离心率大于1，五是中点弦、焦半径要注意双曲线存在两支，求解后检验点是否存在，参数范围要区分左右两支的限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的概念及标准方程 典例1-1 方程表示双曲线，则实数m的取值范围是_________________. 典例1-2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 题型模版 1.特征：一类是带有参数的二元二次方程，判断方程是否代表双曲线，求解参数取值范围；另一类是给出顶点、焦点、经过定点等条件，求双曲线的标准方程。核心判定规则：化为平方项相加等于1的形式后，两个平方项分母正负相反 2.方法：判断含参方程表示双曲线：把方程整理成平方项相加等于1的形式，保证两个分母一个为正数、一个为负数，列出不等式求解参数范围。求双曲线标准方程：先判断焦点在哪一条坐标轴，选择对应的方程形式，带入已知点坐标或者焦点、实半轴等条件，解方程求出分母的数值。如果焦点位置不确定，可以设通用方程形式，直接代入两点计算，不用分类讨论 变式1-1在平面直角坐标系中，“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件是“实数______．” 变式1-2方程的曲线是双曲线，则的取值范围是________. 变式1-3求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 类型二、轨迹方程--双曲线 典例2-1 与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 典例2-2 已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是 题型模版 1.特征：利用双曲线的定义判断动点轨迹，题目常结合圆与圆相切、中点、对称点、中垂线等几何背景。核心是寻找动点到两个定点距离之差的绝对值为定值，并且这个定值小于两个定点之间的距离。若只是距离的差为定值，则轨迹只是双曲线其中一支 2.方法：先从题干给出的几何条件，转化出两条线段长度的关系式。计算动点到两个定点的距离之差，对比定值与两定点间距的大小。对照双曲线定义判断轨迹类型，注意区分是完整双曲线还是单支。也可以设动点坐标，依靠坐标列式化简，直接求出轨迹方程 变式2-1与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 变式2-2已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式2-3已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_____． 变式2-4已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为______． 变式2-5用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线．求曲线的轨迹方程； 题型三、双曲线中的线段和差最值问题 典例3-1 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 典例3-2已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 典例3-3已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 题型模版 1.特征：动点P在双曲线上，求含焦半径、定点距离的线段和或者线段差的最值，部分题目会结合圆上动点，本质是利用双曲线定义转化线段，搭配三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求解； 2.方法：第一步，利用双曲线定义，把一条焦半径换成另一条焦半径加减2a，对所求表达式做线段替换。第二步，把式子整理成两点之间距离的形式，借助三角形三边关系判断最值，等号成立条件是三点共线。第三步，如果里面包含圆上动点，再叠加圆上点到定点距离的最值：圆上点到定点距离最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径。 第四步，检验取等时点 P 是否在题目限定的双曲线那一支上，不符合则取不到该最值 变式3-1已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 变式3-4点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 题型四、双曲线中的焦点三角形问题 典例4-1 已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 典例4-2（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 题型模版 1.特征：以双曲线上一点P和两个焦点F₁,F₂构成△PF₁F₂，常求三角形面积、周长、边长代数式最值。核心条件是双曲线定义：双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值等于2a。常结合余弦定理、面积公式、函数求最值综合考查 2.方法：先从双曲线方程读出a,b,c，求出两焦点间距|F₁F₂|=2c； 利用双曲线定义写出||PF₁|-|PF₂||=2a，根据P在左支/右支去掉绝对值； 已知顶角时，对焦点三角形用余弦定理建立边长关系； 求面积：可用面积公式，双曲线焦点三角形面积公式S等于b²乘以顶角半角的正切； 求周长或代数式最值：把一个边长用另一个代换，转化为函数，结合双曲线边长范围求解 变式4-1已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式4-2已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 变式4-3已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 变式4-4（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，．若P为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A．当，时， B． C． D．当时，的取值范围是 题型五、双曲线中的离心率问题 典例5-1 已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例5-2 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 典例5-3如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 题型模版 1.特征：题干给出双曲线上点、焦点、内切圆、线段比例、角度、面积等条件，目标求解离心率数值或者离心率取值范围，核心是利用双曲线定义，结合几何性质建立a、b、c之间的关系式 2.方法：先优先使用双曲线定义：双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值等于2a； 有内切圆时，内切圆圆心到三角形三边距离相等，也就是内切圆半径r，三角形面积可以用二分之一周长乘半径表达；遇到线段比例，设比例系数，借助定义写出各条焦半径长度；结合勾股定理、余弦定理、面积不等式建立a与c的不等或者等量关系；最后转化离心率e=，求解范围或者具体值，检验e>1 变式5-1已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 变式5-2双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 变式5-3已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 变式5-4已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________． 变式5-5（多选）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 类型六、双曲线中与渐近线有关的问题 典例6-1 设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为________． 典例6-2（多选）已知双曲线：（，）的一个焦点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题干围绕双曲线渐近线设置条件，常见形式：点向两条渐近线作垂线求距离乘积 / 和；焦点向渐近线作垂线；直线与渐近线垂直、夹角，结合三角函数，目标求渐近线方程、距离、离心率. 2.方法：将写出双曲线两条渐近线的一般式； 点到渐近线的距离，直接套用点到直线距离公式； 焦点向渐近线作垂线，垂足有固定几何结论：垂足落在准线上，垂线段长度恒等于b； 出现垂直、余弦值，结合直角三角形、双曲线定义，建立a,b,c的关系式； 渐近线只需要求，不需要单独算出a,b 变式6-1已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 变式6-2若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-3若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式6-4已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 类型七、利用双曲线的有界性求参数取值范围 典例7 若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 题型模版 1.特征：双曲线自带变量范围约束，对于焦点在x轴上的双曲线，横坐标的绝对值大于等于实半轴长；结合双曲线定义，双曲线上任意一点到两个焦点距离之差的绝对值等于两倍实半轴长，还有焦半径的取值范围限制。 题目常给新定义等式，或者给出双曲线上点满足关系式，求参数最值、取值范围；也会转化成两点距离平方的最值，依靠双曲线横坐标的范围约束变量. 2.方法：①先用双曲线定义化简题干式子，替换两点到焦点距离之差； ②写出焦半径对应的表达式，利用焦半径的取值范围建立不等式； ③分离参数，转化成求函数的值域； ④两点距离最值类：一个点在双曲线上，一个点在圆上，两点最小距离等于圆心到双曲线上点的最短距离减去圆半径； ⑤双曲线有界性重点：横坐标大于等于实半轴长，或者小于等于负的实半轴长，求函数最值不能忽略这个定义域限制 变式7-1已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 变式7-2已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式7-3直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 变式7-4若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为__________. 类型八、双曲线中的中点弦问题 典例8-1 已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 典例8-2已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型模版 1.特征：已知直线和双曲线交于两个点，给出两个交点连成线段的中点坐标，求这条直线斜率或者直线方程；也会反过来，已知直线斜率，求中点满足的关系。 这类题目常用点差法，和椭圆中点弦题型思路相似，但双曲线有特殊风险：用点差法算出结果之后，必须检验直线与双曲线是否真的存在两个交点 2.方法：①先设出直线与双曲线两个交点的坐标，两点都满足双曲线方程； ②两个方程上下相减，进行因式分解，这个方法叫点差法； ③利用中点坐标，得到两个交点横坐标之和、纵坐标之和； ④代入化简式子，直接算出直线斜率； ⑤关键一步：把求出的直线和双曲线联立，验证判别式，确认存在两个实交点，舍去没有交点的虚假解 变式8-1已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点，则直线的斜率为 ____________． 变式8-2已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为______． 变式8-3设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 类型九、双曲线中的焦半径问题 典例9 已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是__________ 题型模版 1.特征：题目给出双曲线上一点到两个焦点的距离，也就是焦半径，常结合双曲线定义、焦点三角形、垂直条件、面积条件，求解焦半径长度，或是求关于焦半径代数式的取值范围。点在双曲线左支、右支，对应的焦半径表达式不一样，需要先分清点在哪一支 2.方法：优先使用双曲线定义，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值等于两倍实半轴长； 遇到垂直于坐标轴的焦半径，可以直接算出点的纵坐标，结合三角形面积求出焦半径长度； 根据点所在的分支，写出两个焦半径之间的大小关系，用一个焦半径表示另一个； 结合焦半径本身的取值下限，转化为函数，求代数式的值域； 最后检验范围边界，确认是否可以取到 变式9-1分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 变式9-2（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B． C．直线的斜率为 D．的坐标为或 变式9-3已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 2．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 4．若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当点异于双曲线的顶点时，平分 C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D．若，则点的坐标为 .6．（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 7．若方程表示双曲线，则m的取值范围是________. 8．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 9．在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，点满足，且，则双曲线的离心率为_______________. 11．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 12．已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 13．若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 14．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 15．已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $