精品解析：四川宜宾市叙州区育才中学校2025-2026学年下学期九年级数学半期练测

宜宾市叙州区育才中学校2026年春九年级半期练测 数学学科 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 2和 D. 和 2. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ） A. B. C. D. 8. “今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是等腰直角三角形，点D，分别在边上运动，连接交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是( ) A. ①③ B. ①②④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式的结果是_____． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 15. 如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 16. 如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝_____． 17. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 18. 如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算及化简 （1）计算： （2）化简：． 20. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 21. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 22. 如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． （1）求的度数； （2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 24. 如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市叙州区育才中学校2026年春九年级半期练测 数学学科 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 2和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意； B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 4. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 8. “今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数＝4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数． 【详解】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得：4x+6y＝50， ∴ ， 又∵x，y均为正整数， ∴ 或 或 或 ， ∴共有4种结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确找到等量是解题的关键． 9. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 11. 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 故选：B． 12. 如图，是等腰直角三角形，点D，分别在边上运动，连接交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是( ) A. ①③ B. ①②④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求出，即可判断④． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 即， ∵是等腰直角三角形，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， 如图所示， 在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径长度不变， ∴此时最大， 则面积最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式x，再利用平方差进行分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． 14. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 15. 如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵梯形，， ∴点共线， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 16. 如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE, 证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1﹣k2的值． 【详解】解：作EH⊥y轴于点H， 则四边形BCHE、AEHO都为矩形， ∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到, ∴∠BCE+∠OCF=45°， ∵∠DOC+∠OCF＝45°， ∴∠BCE＝∠OCD， ∵BC＝OC，∠B＝∠COD， ∴△BCE≌△OCD（ASA）， ∴S△BCE＝S△COD＝5， ∴S△CEH＝5， S矩形BCHE＝10， ∴根据反比例函数系数k的几何意义得： k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键． 17. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 18. 如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算及化简 （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简零指数幂、平方、三角函数值、二次根式，再运算即可； （2）先将括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】略． 21. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】（1）15； （2）120名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；（名）， ∴本次一共调查了60名学生， ∴； ∴， ∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 故答案为：15；； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下； 由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种， ∴恰好选中两门课程的概率为． 22. 如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． （1）求的度数； （2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则. 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物的高度为 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 24. 如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明，可得，据此由切线的判定定理可证明结论； （2）过点C作于H，过点D作于M，设，则，解得到，则，解方程可得，则，，，由勾股定理得，则；解得到，则，，由勾股定理得；由等面积法可得，证明，得到；证明可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M， 设，则， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $