17.2 用公式法分解因式(2)—— 完全平方公式 导学案 2026—2027学年人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式(2)—— 完全平方公式

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【学习目标】

1. 理解完全平方式的概念，能运用完全平方公式分解因式；

2. 能运用整体思想用完全平方公式分解因式，并利用因式分解进行简便计算．

【重点难点】

重点：运用完全平方公式分解因式．

难点：完全平方式的识别与整体思想的运用．

【课堂探究】

1. 请写出整式乘法中的两个完全平方公式：(a+b)2＝　　　　　　　　　　，(a−b)2＝　　　　　　　　　　．把完全平方公式的等号两边互换，就得到：　　　　　　　　　　＝(a+b)2，　　　　　　　　　　＝(a−b)2，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．我们把a2+2ab+b2和a2−2ab+b2这样的式子叫作完全平方式．

把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．

知识点1  完全平方式

2. 例1  下列多项式：①x2−4x+4；②x2−2x−1；③4x2−2x+1；④x2+x+，其中是完全平方式的有　　　　　　　　．(填序号)

3. 如果x2+2ax+16是一个完全平方式，那么a的值是（　　　）

 

知识点2  直接运用公式因式分解

4. 例2  (人教八上P130例3改编)分解因式：

(1)x2+2x+1＝x2+2·x·1+12＝　　　　　　　　；

(2)49x2−28x+4＝(　　　　)2−2·　　　　·　　　　+(　　　　)2＝　　　　　　　　；

(3)4x2−12xy+9y2＝　　　　　　　　　　．

5. 分解因式：

(1)x2−18x+81＝　　　　　　　　；

(2)36t2−12t+1＝　　　　　　　　；

(3)9x2+xy+y2＝　　　　　　　　　　．

小结

完全平方公式分解因式的条件：①三项式；②首尾化为平方，中间是首尾底数积的2倍．

6. 例3  (人教八上P130例4改编)分解因式：

(1)(整体思想)(m+n)2−14(m+n)+49；

解：

 

 

(2)−6y−y2−9.

解：

 

 

7. 分解因式：

(1)(x+y)2+10(x+y)+25；

解：

 

 

(2)−x2+12xy−36y2.

解：

 

 

 

知识点3  运用因式分解进行简便运算

8. 例4  利用因式分解计算：342+34×32+162.

解：

 

 

 

9. 利用因式分解计算：38.52−77×48.5+48.52.

解：

 

 

 

【当堂反馈】

基础巩固

1. 下列是完全平方式的是（　　　）

 

2. 分解因式：

(1)x2−6x+9＝　　　　　　　　；

(2)4y2−4y+1＝　　　　　　　　；

(3)4b2+2ab+a2＝　　　　　　　　　　．

3. (2026云浮市期末)如果多项式m2+1加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是　　　　　　　　　　．(写出一个即可)

4. 若a−2b−3＝0，则a2−4ab+4b2＝　　　　　　．

5. 已知正方形的面积是(y2+8y+16)m2(y>−4)，则正方形的边长为　　　　　　　　m.

6. 分解因式：

(1)−9+12a−4a2；

解：

 

 

 

(2)4−12(x−y)+9(x−y)2.

解：

 

 

 

能力提升

7. (过程性学习)如图是小明做的一道因式分解题目，请解答下面问题：