17.2 用公式法分解因式（知识清单，知识点2&易错&6题型）数学新教材人教版八年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第干七章 因式分解 17.2用公式法分解因式 知识速记 ◇知识点一 用平方差公式分解因式 1.用平方差公式分解因式：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的 平方差公式 的等号两边互换，就得到 即两个数的平方 差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.其中 可以是单项式，也可以是多项式 2.能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成 的形式，且 ◇知识点二 用完全平方公式分解因式 1.用完全平方公式分解因式：把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 ，即两个数的平方和加上（或减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 2.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多项式是三项式，其中首尾两项分别是 且这两项 中间 一项是 符号 3.公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的 公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法， 易错辨析 易错点1公式中字母含义理解不透 错例：分解9x2-25y2错解：(9x+25y)(9x-25y)正解：(3x+5y)3x-5y) 错因：平方差公式a-b=(a+b)(a-b)中的a和b代表”被平方的整体”。学生常误将系数 当作a,而未对9x2和25y2开方。 规避方法：先对每一项开平方，找出真正的a和b。9x2=(3x),25y2=(5y),故a=3x, b=5y,再代入公式。 易错点2因式分解不彻底 错例：分解a4-b4错解：(a+b)(a-b)正解：(a2+b)(a+b)(a-b) 错因：第一次使用平方差公式后，未检查括号内的a?-b是否还能继续分解。因式分解必 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 须”步步到底”。 规避方法：每使用一次公式，立即审视各因式是否仍可分解。a-b是经典的”二次平方差”， 必须继续分解为(a+b)(a-b)。 易错点3整体思想运用错误 错例：分解(m+n)-4m+n)十4错解：直接展开为m+2mn+n2-4m-4n+4,然后尝试分组分解 正解：将(m+n)看作整体，原式=[(m+n)-2]P=(m+n-2)2 错因：缺乏整体换元意识。看到复杂多项式就急于展开，导致运算量大且难以发现完全平方 公式的结构特征。 规避方法：遇到重复出现的复杂代数式（如+n),先将其视为一个”大字母”（如A), 转化为A2-4A+4=(A-2),最后将A还原为m+n。整体思想是因式分解的核心技巧。 解题攻略 题型一：平方差公式分解因式的概念 方法技巧 判断三要素（能不能用平方差分解，先看这3点） ①是两项； 319 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②两项符号一正一负（一项正平方，一项负平方)； ③两项都可以写成某个式子的平方形式. 1.下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是() A.x2-y2 B.y2-x2 c.-x2-y2 D.x-y2 2.因式分解：x2-4=（) A.x+2x-2 B.x+2x+2 c.x-2x-2 D.x+4x-4 3.琪琪借助某AI工具命制了如下①~④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是 () 用平方差公式分解下列各式： ①x-9:②-x2-16;③-x2+25:④4m2-25n2. A.①题 B.②题 C.③题 D.④题 题型二：完全平方公式分解因式的概念 国方法技巧 1.判断三要素（能不能用完全平方分解，先核对3点） ①一共三项： ②其中两项是平方项，并且符号同为正： 4/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③剩下一项是两个平方底数乘积的±2倍（中间项）。 口诀：三项、两平方同号，中间是积两倍. 1.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是() A.x2-2xy+y B.-x2+2xy-y C.-x2-2xy+y2 D.x2+4y2+4xy 2.因武分解：4-12a-b+9a-b为（） A.(2+3a-3b2B.(2-3a-3b2 C.(2-3a+3b2 D.(2+3a+3b2 3.小明利用完全平方公式进行因式分解“x2 4y2=x 2y}”时，墨迹将“X 中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是() A.4xy B.-2y C.±4y D.±2xy 题型三：综合法因式分解 方法技巧 固定顺序（核心流程，必须按这个顺序） ①一提：先观察各项有没有公因式，有公因式最先提取，公因式包含数字系数、相同 字母、多项式整体公因式：首项为负，一般先提出负号： 519 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②二套：提完公因式后，看剩下的多项式： 剩下两项一优先判断能不能用平方差公式： ·剩下三项→优先判断能不能用完全平方公式： ③三查：检查每一个因式，是否还能继续分解；同时检查符号、括号能不能化简、 1将多项式父-+司 y分解因式的结果是() ay -+y-x*y* e xy-i-y -y-r 2.多项式x-9X,在有理数范围内分解彻底为() A.x(x2-9) B.x(x-32 C.x(x+3)(x-3) D.x(x+3) 3.若多项式9x+1+★可以因式分解，则★不能是() A.-2 B.-10x2 C.-6x D.-9x 4.对4x2-16因式分解，嘉嘉的解答为：4x+2x-2:琪琪的解答为：2x+22x-2,下列判断正 确的是() 619 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.只有嘉嘉的结果对 B.只有琪琪的结果对 C.两人的结果都对 D.两人的结果都不对 题型四：公式法因式分解进行求值 方法技巧 核心思路：先因式分解，再整体代入求值，优先把代数式用平方差、完全平方 变形化简，不直接代入硬算 1.若a-b=-1,则a2-b2+2b的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 2.若nm2-r2=4则m+nm-n2的值是（） A.4 B.8 C.12 D.16 3.若a-b=且d-6=子则a+b的值为（） A.2 B.1 c.1 4.若(x+42-1=x+mlx+nr其中m>n则m-n的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若b-a=-1,ab=6,则a3b-2a2b2+ab3的值为() A.6 B.12 C.18 D.24 719 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五：公式法因式分解中的整除问题 国方法技巧 核心思路：先因式分解，把原式写成几个整式乘积的形式：若乘积里面包含除 数这个因式，则原式能被该数（整式）整除 1.若m为任意正整数，则 m+22-m 2的值总能（) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 2.利用因式分解可以知道17-154能够被某个数整除，这个数是（) A.18 B.28 C.36 D.64 3.若算式55×17-452×17 的结果为整数，则整数n的值不可能是() n A.100 B.50 C.17 D.3 题型六：因式分解的应用 圆方法技巧 核心思路：把多项式化成整式乘积形式 1.如果a,b,c是三角形的三边长，那么代数式a2+b2-2ab-c的值是() A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 2.小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息： x+y,x-y,x2-y2,a+b,Q-b,Q-b分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美.现将 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-b2x2-a2-by2分解因式，结果是现的密码可能是() A.我爱美 B.惠安美丽 C.我爱惠安 D.我美丽 3.三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一 个正方形，那么小明拼成正方形的边长是() A n B m m n A.m+2n B.2m+n C.2m+2n D.m+n 919 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 🔷知识点一　 用平方差公式分解因式 1. 用平方差公式分解因式：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.其中a，b可以是单项式，也可以是多项式. 2.能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反。 🔷知识点二　 用完全平方公式分解因式 1.用完全平方公式分解因式：把整式乘法的完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b² ， (a-b)²=a²-2ab+b²  的等号两边互换，就得到a²+2ab+b²=(a+b)² ，a²-2ab+b² =(a-b)²  ，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 2.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的 2 倍，符号正负都可以. 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 易错点 1 公式中字母含义理解不透 错例：分解 9x²-25y² 错解：(9x+25y)(9x-25y) 正解：(3x+5y)(3x-5y) 错因：平方差公式 a²-b² = (a+b)(a-b) 中的 a 和 b 代表”被平方的整体”。学生常误将系数当作 a，而未对 9x² 和 25y² 开方。 规避方法：先对每一项开平方，找出真正的 a 和 b。9x² = (3x)²，25y² = (5y)²，故 a=3x，b=5y，再代入公式。 易错点 2 因式分解不彻底 错例：分解 a⁴-b⁴ 错解：(a²+b²)(a²-b²) 正解：(a²+b²)(a+b)(a-b) 错因：第一次使用平方差公式后，未检查括号内的 a²-b² 是否还能继续分解。因式分解必须”步步到底”。 规避方法：每使用一次公式，立即审视各因式是否仍可分解。a²-b² 是经典的”二次平方差”，必须继续分解为 (a+b)(a-b)。 易错点 3 整体思想运用错误 错例：分解 (m+n)²-4(m+n)+4 错解：直接展开为 m²+2mn+n²-4m-4n+4，然后尝试分组分解 正解：将 (m+n) 看作整体，原式 = [(m+n)-2]² = (m+n-2)² 错因：缺乏整体换元意识。看到复杂多项式就急于展开，导致运算量大且难以发现完全平方公式的结构特征。 规避方法：遇到重复出现的复杂代数式（如 m+n），先将其视为一个”大字母”（如 A），转化为 A²-4A+4 = (A-2)²，最后将 A 还原为 m+n。整体思想是因式分解的核心技巧。 题型一：平方差公式分解因式的概念 📝方法技巧 判断三要素（能不能用平方差分解，先看这 3 点） ① 是两项； ② 两项符号一正一负（一项正平方，一项负平方）； ③ 两项都可以写成某个式子的平方形式. 1．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 2．因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：. 3．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 题型二：完全平方公式分解因式的概念 📝方法技巧 1.判断三要素（能不能用完全平方分解，先核对 3 点） ① 一共三项； ② 其中两项是平方项，并且符号同为正； ③ 剩下一项是两个平方底数乘积的 ±2 倍（中间项）。 口诀：三项、两平方同号，中间是积两倍. 1．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 2．因式分解：为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： ． 3．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：C． 题型三：综合法因式分解 📝方法技巧 固定顺序（核心流程，必须按这个顺序） ① 一提：先观察各项有没有公因式，有公因式最先提取，公因式包含数字系数、相同字母、多项式整体公因式；首项为负，一般先提出负号; ② 二套：提完公因式后，看剩下的多项式： • 剩下两项 → 优先判断能不能用平方差公式： • 剩下三项 → 优先判断能不能用完全平方公式： ③ 三查：检查每一个因式，是否还能继续分解；同时检查符号、括号能不能化简. 1．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 2．多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先提公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】 解：． 3．若多项式★可以因式分解，则★不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 多项式添加各选项中的项，根据能否因式分解，作出判断． 【详解】解：∵多项式为， 若，则多项式为， 可因式分解，故A不符合； 若，则多项式为， 可因式分解，故B不符合； 若，则多项式为， 可因式分解，故C不符合； 若，则多项式为不能提取公因式， 也不能用完全平方公式分解因式， ∴不能是，故D符合． 故选：D． 4．对因式分解，嘉嘉的解答为：；琪琪的解答为：，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的结果对 B．只有琪琪的结果对 C．两人的结果都对 D．两人的结果都不对 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的正确步骤，需先提取公因式，再利用平方差公式分解，同时要保证因式分解结果与原式等价且分解彻底． 【详解】解：∵原式为 ∴先提取公因式4，得 又∵符合平方差公式（其中，） ∴ ∴最终因式分解结果为，即嘉嘉的结果正确 ∵琪琪的结果展开后为，与原式不相等 ∴琪琪的结果错误， ∴只有嘉嘉的结果对． 故选：A． 题型四：公式法因式分解进行求值 📝方法技巧 核心思路：先因式分解，再整体代入求值，优先把代数式用平方差、完全平方变形化简，不直接代入硬算 1．若，则的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 将 代入得 原式 ． 2．若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题运用积的乘方运算性质和平方差公式，对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 由平方差公式得 ∵ ∴原式 3．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 4．若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 【详解】解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 5．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及了整体代入的思想方法．先对所求代数式因式分解，转化为含已知条件的形式，再代入已知值计算求解． 【详解】∵ 又∵ ∴ 且 ∴原式， 故选：A． 题型五：公式法因式分解中的整除问题 📝方法技巧 核心思路：先因式分解，把原式写成几个整式乘积的形式；若乘积里面包含除数这个因式，则原式能被该数（整式）整除 1．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 2．利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除． 故选：D． 3．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 题型六：因式分解的应用 📝方法技巧 核心思路：把多项式化成整式乘积形式. 1．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 2．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 3．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $