17.2 用公式法分解因式 知识清单2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十七章　因式分解　17.2 用公式法分解因式 知识地图 ① 公式法　把乘法公式的等号两边互换，用它把某些特殊形式的多项式分解因式，这种方法叫作公式法。 ② 平方差公式　 − = (a + b)(a − b)：两个数的平方差，等于这两个数的和与差的积。 ③ 完全平方公式　 ± 2ab + = (a ± b)2：平方和加（减）积的 2 倍，等于和（差）的平方。 ④ 识别要点　先看项数：两项想平方差，三项想完全平方；再看结构：能否写成平方、符号如何、中间是不是 2 倍积。 ⑤ 一般思路　一提（先提公因式）二套（再套用公式）三检查（每个因式能否再分解，要分解彻底）。 ⑥ 主要应用　把多项式分解因式；进行简便计算；结合整体思想求代数式的值。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解公式法与整式乘法的互逆关系，知道什么是完全平方式 掌握 掌握平方差公式，会把形如 − 的多项式分解因式 掌握 掌握完全平方公式，会把形如 ± 2ab + 的多项式分解因式 应用 会用整体思想处理 (x + p)2 − (x + q)2、(a + b)2 − 12(a + b) + 36 等情形 综合 能综合运用提公因式法与公式法，把多项式分解到底 2. 本节重难点 重点：用平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式。 难点：判断一个多项式能否用公式分解、该用哪个公式；把公式中的字母看成数、单项式或多项式（整体思想）；分解要彻底。 二、公式法 1. 从整式乘法说起 前面学过整式的乘法，其中的乘法公式可以把几个整式相乘的结果直接写出来： 　　平方差公式：(a + b)(a − b) = − ； 　　完全平方公式：(a ± b)2 = ± 2ab + 。 整式的乘法与因式分解方向相反。把上面两个乘法公式的等号两边互换，就得到分解因式的公式： 　　 − = (a + b)(a − b)；　　 ± 2ab + = (a ± b)2。 2. 公式法的定义 把乘法公式的等号两边互换，用来把某些特殊形式的多项式分解因式的方法，叫作公式法。 公式中的字母 a、b，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或多项式，要整体看待。 3. 先看项数，再选公式 用公式法分解因式，第一步是判断多项式属于哪种结构，从而确定用哪个公式。 多项式的结构特点 用哪个公式 公式形式 是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反 平方差公式 − = (a + b)(a − b) 是三项式，首尾两项是两个数（式）的平方且同号，中间一项是这两个数（式）的积的 2 倍 完全平方公式 ± 2ab + = (a ± b)2 三、用平方差公式分解因式（第 1 课时） 1. 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 − = (a + b)(a − b) 2. 结构特点 看什么 要求 举例 项数 是二项式，只有两项 − 9 每项能否写成平方 两项都能写成平方的形式 − 符号 两项的符号相反（一正一负） 不能是 + 9 这三条同时满足，才能用平方差公式分解因式，即能写成「(　)2 − (　)2」的形式。口诀：「两数是平方，减号在中央」。 3. 辨一辨（教材 P128 针对练习） 下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ 多项式 能否 理由 + 不能 是平方和，不是平方差 − 能 两项都是平方且符号相反 − − 不能 提出「−」号后括号内仍是平方和 − + 能 调序后 = − ，是平方差 − 25 能 = − (5y)2，是平方差 − 1 能 = − ，是平方差 4. 公式的几何直观 如图 1，边长 a 的大正方形，右上角挖去一个边长 b 的小正方形，剩下部分的面积是 − ；把剩下部分剪拼成一个长 a + b、宽 a − b 的长方形，它的面积是 (a + b)(a − b)。剪拼前后面积不变，所以两者相等，即 − = (a + b)(a − b)。 图 1　平方差公式分解因式的几何直观 5. 例 1（教材 P128 例 1） 例 1　把下列各式分解因式： (1) 4 − 9；　　(2) − 25。 解：(1) 由于 4 = (2x)2，9 = ，所以 4 − 9 = (2x)2 − ，可以用平方差公式。 　　4 − 9 = (2x)2 − = (2x + 3)(2x − 3)。 　　(2) 由于 25 = (5b)2，所以 　　 − 25 = − (5b)2 = (a + 5b)(a − 5b)。 6. 例 2（教材 P128 例 2） 例 2　把下列各式分解因式： (1) − ；　　(2) (x + p)2 − (x + q)2。 解：(1) 由于 = ()2，所以 　　 − = − ()2 = (x + )(x − )。 　　(2) 把 x + p、x + q 各看成一个整体，设 x + p = A、x + q = B，则原式为 − ，可以用平方差公式。 　　(x + p)2 − (x + q)2 = [(x + p) + (x + q)]·[(x + p) − (x + q)] = (2x + p + q)(p − q)。 ★ 提醒：公式中的 a、b 可以是一个多项式。把 x + p、x + q 看成整体，就能直接套用平方差公式。 四、用完全平方公式分解因式（第 2 课时） 1. 完全平方式 把整式乘法中的完全平方公式反过来看： + 2ab + 和 − 2ab + 这样的式子，叫作完全平方式。 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 ± 2ab + = (a ± b)2 2. 结构特点 看什么 要求 举例 项数 是三项式，共有三项 + 4x + 4 首尾两项 分别是两个数（式）的平方，且符号相同 + 4x + 中间一项 是这两个数（式）的积的 2 倍 4x = 2 · x · 2 三条同时满足，才是完全平方式，才能用完全平方公式分解因式。 3. 例 3（教材 P130 例 1） 例 3　把下列各式分解因式： (1) + 4x + 4；　　(2) 16 − 24x + 9。 解：(1) 4 = ，4x = 2 · x · 2，所以 + 4x + 4 是一个完全平方式。 　　 + 4x + 4 = + 2 · x · 2 + = (x + 2)2。 　　(2) 16 = (4x)2，9 = ，24x = 2 · 4x · 3，所以 　　16 − 24x + 9 = (4x)2 − 2 · 4x · 3 + = (4x − 3)2。 4. 例 4（教材 P130 例 2） 例 4　把下列各式分解因式： (1) (a + b)2 − 12(a + b) + 36；　　(2) − + 4xy − 4。 解：(1) 把 (a + b) 看成一个整体。36 = ，12(a + b) = 2 · (a + b) · 6，所以 　　(a + b)2 − 12(a + b) + 36 = (a + b)2 − 2 · (a + b) · 6 + = (a + b − 6)2。 　　(2) 首项系数是负数，先提出「−」号，使括号内首项为正： 　　− + 4xy − 4 = −( − 4xy + 4) = −[ − 2 · x · 2y + (2y)2] = −(x − 2y)2。 ★ 提醒：提出「−」号后，括号内每一项都要变号；括号内是 (x − 2y)2，平方外面带负号，不能再把负号放进括号里。 5. 例 5（教材 P130 例 3） 例 5　利用因式分解计算： (1) 1002 − 2 × 100 × 99 + 992；　　(2) + 34 × 32 + 。 解：(1) 把 100、99 看成公式中的 a、b，原式 = (100 − 99)2 = = 1。 　　(2) 因为 34 × 32 = 2 × 34 × 16，所以原式 = + 2 × 34 × 16 + = (34 + 16)2 = = 2500。 ★ 提示：中间一项要是首尾两数积的 2 倍，才能凑成完全平方式，否则先把中间项拆出因数 2 再判断。 五、两种公式的对照 平方差公式 完全平方公式 公式 − = (a + b)(a − b) ± 2ab + = (a ± b)2 适用对象 二项式 三项式 关键特征 两项都能写成平方，且符号相反 首尾两项是平方且同号，中间是这两个数（式）积的 2 倍 结果形式 两个因式的积 (a + b)(a − b) 一个因式的平方 (a ± b)2 公式中的 a、b 可以是数、单项式或多项式；分解前先看有没有公因式，分解还要彻底。 六、一提二套三检查（第 3 课时） 1. 分解因式的一般思路 步骤 做法 一提 先看多项式各项有没有公因式，有就先提公因式（17.1 学过的方法） 二套 再按项数套公式：两项想平方差公式，三项想完全平方公式 三检查 检查每个因式能不能继续分解，必须分解到不能再分解为止 2. 例 6（教材 P131 例 1） 例 6　把下列各式分解因式： (1) − ；　　(2) b − ab。 解：(1) − 可以写成 ()2 − ()2 的形式，用平方差公式后再分解一次： 　　 − = ( + )( − ) = ( + )(x + y)(x − y)。 　　(2) b − ab 的两项有公因式 ab，先提公因式，再进一步分解： 　　b − ab = ab( − 1) = ab(a + 1)(a − 1)。 ★ 提醒： + 是平方和，不能再分解； − 还要继续分解成 (x + y)(x − y)。分解要彻底。 3. 例 7（教材 P131 例 2） 例 7　把下列各式分解因式： (1) 3a + 6axy + 3a；　　(2) −a + 2x − 。 解：(1) 先提出公因式 3a，括号内恰好是完全平方式： 　　3a + 6axy + 3a = 3a( + 2xy + ) = 3a(x + y)2。 　　(2) 首项系数为负，先提出「−a」，括号内是完全平方式： 　　−a + 2x − = −a( − 2ax + ) = −a(x − a)2。 4. 例 8（教材 P131 练习） 例 8　把下列各式分解因式： (1) ( − 1) + 2x( − 1) + ( − 1)；　　(2) ( − 1)2 − 6( − 1) + 9。 解：(1) 把 ( − 1) 看成整体并作为公因式提出： 　　原式 = ( − 1)( + 2x + 1) = (y + 1)(y − 1)(x + 1)2。 　　(2) 把 ( − 1) 看成整体，原式 = ( − 1 − 3)2 = ( − 4)2 = (x + 2)2(x − 2)2。 七、典型例题 【基础题】 例 9　把下列各式分解因式： (1) − ；　(2) 9 − 4；　(3) 1 − 16；　(4) − + 。 解：(1) 原式 = (m + n)(m − n)；　(2) 原式 = (3a + 2b)(3a − 2b)； 　　(3) 原式 = − (4x)2 = (1 + 4x)(1 − 4x)；　(4) 原式 = − = (y + x)(y − x)。 例 10　把下列各式分解因式（教材 P130 练习）： (1) + 2a + 1；　　(2) − 12x + 36；　　(3) 4 − 4x + 1；　　(4) −2xy − − 。 解：(1) 原式 = (a + 1)2；　　(2) 原式 = (x − 6)2； 　　(3) 原式 = (2x − 1)2；　　(4) 原式 = −( + 2xy + ) = −(x + y)2。 【提升题】 例 11　把下列各式分解因式： (1) (x + y)2 − 4；　　(2) 9(a + b)2 − 4(a − b)2。 解：(1) 把 (x + y) 看成整体，原式 = (x + y)2 − = (x + y + 2)(x + y − 2)。 　　(2) 原式 = [3(a + b)]2 − [2(a − b)]2 = [3(a + b) + 2(a − b)]·[3(a + b) − 2(a − b)] 　　= (5a + b)(a + 5b)。 例 12　把 (a − b)2 + 4(a − b) + 4 分解因式。 解：把 (a − b) 看成整体，原式 = (a − b)2 + 2 · (a − b) · 2 + = (a − b + 2)2。 【拓展题】 例 13　把 − + 16 分解因式（教材 P131 习题）。 解：先提出「−」号把首项化为正，再用平方差公式两次： 　　− + 16 = 16 − = − ()2 = (4 + )(4 − ) = (4 + )(2 + a)(2 − a)。 例 14　把 3a − 6ax + 3a 分解因式（教材 P131 习题）。 解：先提公因式 3a，再用完全平方公式：3a − 6ax + 3a = 3a(1 − 2x + ) = 3a(x − 1)2。 八、易错清单 序号 易错点 正确做法 1 把平方和当成平方差，如把 + 4 分解 + 4 是平方和，不能用平方差公式 2 分解不彻底，如把 − 停在 ( + )( − ) − 还要分解成 (x + y)(x − y) 3 忘记先提公因式，如直接分解 3a + 6axy + 3a 先提公因式：3a( + 2xy + ) = 3a(x + y)2 4 判断完全平方式时只看首尾，漏看中间项 中间一项必须等于首尾两数（式）积的 2 倍 5 中间项漏乘 2，如把 + 4x + 4 写成 (x + 4)2 4x = 2 · x · 2，应写成 (x + 2)2 6 首项为负时不先提「−」号就硬套公式 先提「−」号，括号内各项都要变号 7 把结果写成两个相同因式相乘，如 + 2ab + 写成 (a + b)(a + b) 完全平方的结果应写成一个因式的平方 (a + b)2 8 不会整体看待，如 (x + p)2 − (x + q)2 直接展开 把 x + p、x + q 看成整体 a、b，直接用平方差公式 附：错解辨析 下面几种错误最常见，请对照检查自己的解法。 题目 错解 错因 正确解 + 4 (x + 2)(x + 2) 平方和不能分解 不能再分解 − ( + )( − ) 分解没有彻底 ( + )(x + y)(x − y) + 4x + 3 (x + 2)2 中间项不是 2 倍积 不能用完全平方公式 − + 4xy − 4 − 4xy + 4 忘记把「−」号提到括号外 −(x − 2y)2 九、方法总结与知识结构 1. 分解因式的一般步骤 步骤 做法 第一步：一提 先看各项有没有公因式，有就先提公因式 第二步：二套 按项数套公式：两项想平方差公式，三项想完全平方公式 第三步：三检查 检查每个因式能否继续分解；把结果乘开，看是否与原式相同 2. 知识结构 公式法：把乘法公式的等号两边互换，用它把某些特殊形式的多项式分解因式。 平方差公式： − = (a + b)(a − b)；用于二项式，两项能写成平方且异号。 完全平方公式： ± 2ab + = (a ± b)2；用于三项式，中间是 2 倍积。 整体思想：公式中的 a、b 可以是数、单项式或多项式，如 (x + p)、x + q 都可整体看待。 一般思路：一提（提公因式）二套（套公式）三检查（分解要彻底）。 主要应用：分解因式；简便计算；结合整体思想求代数式的值。 十、学以致用（即时自测） 1. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A. + 　　B. − − 　　C. − 　　D. + 2xy + 2. 分解因式： − 9 = ____________。 3. 分解因式： + 10x + 25 = ____________。 4. 分解因式：2 − 8 = ____________。 5. 利用因式分解计算： − = ____________。 参考答案 1. C（A、B 是平方和；D 中间项不符合完全平方式）。 2. (x + 3)(x − 3)。　3. (x + 5)2。　4. 2(a + 2)(a − 2)。 5. 原式 = (101 + 99)(101 − 99) = 200 × 2 = 400。 解题小贴士 ① 拿到多项式，先看有没有公因式，再按项数在两种公式中选一个。 ② 两项看是不是「平方 − 平方」；三项看中间是不是首尾两数（式）积的 2 倍。 ③ 分解完别忘了检查每个因式能不能再分解，并「乘开」验证结果。 十一、知识拓展与思考 例 15　已知 − = 15，a + b = 5，求 a − b 的值。 解：因为 − = (a + b)(a − b)，所以 15 = 5 × (a − b)，得 a − b = 3。 例 16　已知 a + b = 3，ab = 2，求 + 的值。 解：把完全平方公式变形，得 + = (a + b)2 − 2ab = − 2 × 2 = 9 − 4 = 5。 想一想：把乘法公式反过来用，为什么有时能让计算或求值一下子变简单？（提示：积的形式便于发现因数和整体代入。） 十二、数学活动 活动一　用公式法简算 例 17　利用因式分解计算： + 492 + 101 × 98。 解：因为 101 × 98 = 2 × 101 × 49，所以原式 = + 2 × 101 × 49 + 492 = (101 + 49)2 = = 22500。 活动二　连续奇数的平方差 例 18　说明：任意两个连续奇数的平方差一定能被 8 整除。 解：设两个连续奇数为 2n + 1 和 2n − 1（n 为正整数），则 　　(2n + 1)2 − (2n − 1)2 = [(2n + 1) + (2n − 1)]·[(2n + 1) − (2n − 1)] = 4n · 2 = 8n。 　　因为结果中含有因数 8，所以两个连续奇数的平方差一定能被 8 整除。 活动三　练一练 例 19　把 ( + 1)2 − 4 分解因式。 解：原式 = ( + 1)2 − (2x)2 = ( + 1 + 2x)( + 1 − 2x) = (x + 1)2(x − 1)2。 十三、综合应用 下面几题都要先把式子用公式法变形成含有「已知式」的形式，再整体代入求值。 例 20　已知 − = 6，x − y = 2，求 x + y 的值。 解：因为 − = (x + y)(x − y)，所以 6 = (x + y) × 2，得 x + y = 3。 例 21　利用因式分解计算： − 1600 × 798 + 。 解：因为 1600 = 2 × 800，所以原式 = − 2 × 800 × 798 + = (800 − 798)2 = = 4。 十四、本课技能自查 对照下表逐项检查，考查的就是这一节的核心技能。 我应掌握的技能 对应例题 说出公式法，说明它与整式乘法的互逆关系 知识地图、二、1 写出平方差公式、完全平方公式的字母表示与语言表述 三、1、四、1 按项数在平方差公式与完全平方公式之间做选择 二、3、例 9、例 10 判断一个多项式能否用公式法分解（排除平方和等反例） 例 9 用平方差公式分解二项式（含调序、提负号） 例 1、例 2、例 9 用平方差公式处理「整体」情形 例 2(2)、例 11(1) 识别完全平方式，用完全平方公式分解三项式 例 3、例 10 把公式用于简便计算 例 5、例 17、例 21 先提公因式再套公式，分解到底 例 6、例 7、例 8、例 13、例 14 说明每一步分解的依据，并检验结果是否正确 例 6、例 8、例 13 结合整体思想变形后求代数式的值 例 15、例 16、例 20 自查提示：第 3、4、9 行是本节最容易失分的地方——「选错公式」与「分解不彻底」几乎占了全部错误。 结语口诀 选公式：两项想平方差，三项想完全平方；首尾平方看符号，中间定要两倍积。 做分解：一提二套三检查，分解一定要彻底；整体代换莫忘记，乘开检验最放心。 学科网（北京）股份有限公司 $