精品解析：广东惠州市惠阳区新世纪实验学校2026-2027学年九年级上学期10月随堂练习数学

2026—2027学年第一学期随堂练习 九年级数学学科 注意事项： 1．全卷共4页，满分120分，练习时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．练习结束，将答题卡交回． 一、单项选择题：（每小题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 6. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 7. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（ ） A. 210 B. 100 C. 78 D. 45 9. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的二次函数（），下列说法中正确的个数有( ) ①若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点； ②若，则该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点； ③若，则该二次函数的图象与x轴无公共点； ④若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 当______时，函数是二次函数． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 三、解答题：（16—18题每题7分，19—21题每题9分，22题13分，23题14分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； 17. 已知二次函数 （1）当时，y的值是多少？ （2）当x为何值时，y的值为0？ 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19. 宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． （2）上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． （3）若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 20. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 21. 如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 22. 综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系． 问题解决： （1）求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）设刹车时间为m，n，对应的刹车距离分别为，．若，试判断与75的大小关系，并证明你的结论． 23. 材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： （1）如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． （2）实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． （3）实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期随堂练习 九年级数学学科 注意事项： 1．全卷共4页，满分120分，练习时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．练习结束，将答题卡交回． 一、单项选择题：（每小题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的标准形式及其各项的识别. 将方程化为标准形式后，确定各项系数及符号. 【详解】原方程整理为标准形式：. 其中，二次项为，一次项为，常数项为. 故选：C． 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 4. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 5. 如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 6. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 7. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 8. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（ ） A. 210 B. 100 C. 78 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 9. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 10. 已知关于x的二次函数（），下列说法中正确的个数有( ) ①若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点； ②若，则该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点； ③若，则该二次函数的图象与x轴无公共点； ④若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数（）的图象与轴的公共点个数由的符号决定，据此逐一分析各说法． 【详解】解：①若，则．当与同号时，，图象与轴无公共点，故①错误． ②若，则，图象与轴仅有一个公共点，故②正确． ③若，则． ， ， ， ∴图象与轴无公共点，故③正确． ④若，则， ， ， ∴图象与轴总有公共点，故④正确． 综上，正确的说法有3个． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 13. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴的交点得方程的两个根． 【详解】解：由图可知，抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性，另一个交点到对称轴的距离与相等， ∵， ∴另一个交点的横坐标为，即交点为． 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标， 故解为． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 15. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题：（16—18题每题7分，19—21题每题9分，22题13分，23题14分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 17. 已知二次函数 （1）当时，y的值是多少？ （2）当x为何值时，y的值为0？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 19. 宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． （2）上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． （3）若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】（1） （2）直线； （3） 由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【小问1详解】 解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． 【小问2详解】 解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． 【小问3详解】 略 20. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】（1）， （2）当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【解析】 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 21. 如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） 【解析】 【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可． （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴． （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 【详解】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． 22. 综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系． 问题解决： （1）求二次函数的解析式，并化为顶点式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）设刹车时间为m，n，对应的刹车距离分别为，．若，试判断与75的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）该二次函数的解析式为，顶点式为 （2）经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 （3），证明如下： 由题意可得：， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，则有， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）根据y的值代入求t值； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为由条件可得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为，配成顶点式为； 【小问2详解】 解：当汽车开始刹车后行驶的距离， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距． 【小问3详解】 略 23. 材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： （1）如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． （2）实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． （3）实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割的定义分别计算和的长，可得的长； （2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入可得结论； （3）根据定义列两个等式，将代入分别解方程可得结论． 【小问1详解】 解：∵，点C和点D是线段的黄金分割点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵b为0，1的黄金数，且实数， ∴， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵a为0，1的白银数，且实数， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数， ∴， ∵， 由①得：，由②得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $