第十五章 轴对称（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 5 6 个 8 9 10 11 12 C C D C A C C B B B A A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.等边 14.4 15.3.2 16.17 15 17.3或4 18.①②③ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)作图见解析：(2)作图见解析 【解析】解：(1)如图，角平分线AD和高CH即为所求： 图1 (2)如图，直线1点M点N即为所求： 图2 作图依据： 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线I与射线OH相交于K, 图2 由作图知∠MOK=∠NOK,∠OKM=∠OKN=90°，又OK=OK, AOMK≌AONK(ASA) ..OM=ON. 20. 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析，点B的坐标为(2，-2) 【解析】解：(1) 珠 C (2) C 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点8的坐标为(2，-2) 21.【答案】(1)证明见解析；(2)BD=4 【解析】(1)证明：：AB=BC,∠ABC=120°， :∠A=∠C=2080°-∠AB0)=30 :AB的垂直平分线是DE, :AD=BD, ,∠DBA=∠A=30°， :.∠DBC=∠ABC-∠DBA=120°-30°=90°， .BD⊥BC; (2)解：∠DBC=90°，∠C=30°， BD=CD 2 AD=BD, 4D=CD 2 即CD=2AD. AC=AD+CD=12. .AD+2AD=12, AD=4, ∴.BD=AD=4. 22.【答案】(1)证明见解析：(2)60° 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)证明：因为△ABC是等边三角形， 所以AB=CA,∠B=∠BAC=60° 因为点E在边AB上， 所以∠CAE=∠BAC=60°，即∠B=∠CAE 又BD=AE, 所以△ABD≌△CAE(SAS) (2)解：由(1)得∠BAD=∠ACE. 因为E在CF的延长线上(C、F、E共线)， 所以∠AFE是△ACF的外角， 所以∠AFE=∠ACF+∠CAF=∠ACE+∠CAF=∠BAD+∠CAF=∠BAC=60°. 23. 【答案】(1)23：(2)20° 【解析】(1)解：：AB、AC的垂直平分线分别交线段BC于点D、E, ∴AD=BD,AE=CE, △ADE AE+AD+DE =CE+BD+DE=BC+DE+DE=BC+2DE 的周长为 .BC=13,DE=5. .BC+2DE=13+2×5=23, 即△ADE的周长为23： (2)解：：∠BAC=80°， .∠B+∠C=180°-∠BAC=100°， 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BD,AE=CE. ∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, .∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=100°， :∠BAC=∠BAD+∠CAE-∠DAE=80°，即100°-∠DAE=80°， ∴.∠DAE=20° 24.【答案】(1)证明见解析：(2)①90°；②AE=BM-CM,理由见解析 【解析】(1)证明：：△ABC和△EDC都是等边三角形， ∴.CD=CE,CB=CA,∠DCE=∠ACB=60°， .∠DCE-∠DCA=∠ACB-∠DCA, ∴.∠ACE=∠BCD, :△ACE≌ABCD(SAS) (2)解：①：△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， :.CD=CE,CB=CA,∠CED=∠CDE=45°，∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, :△4CE≌ABCD(SAS) .∠AEC=∠BDC=180°-∠CDE=135°， :.∠AEB=∠AEC-∠CED=135°-45°=90°： ②线段CM、AE、BM之间的数量关系为AE=BM-CM, 理由如下： 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CM为等腰直角三角形△EDC中DE边上的高， :.∠MCE=∠MCD=∠CED=∠CDE=45°， .MC=MD=ME. .△ACE≌aBCD(SAS) .AE =BD, BD=BM-DM, .AE=BD=BM-DM=BM-CM 25.【答案】(1)AE=2AB,证明见解析；(2)AB=AC,证明见解析 【解析】(1)解：AE=2AB,证明如下： 延长BD到点F,使得DF=BC.连接EF, EC=ED. ∴.∠ECD=∠EDC, .∠ECB=∠EDF, 在△EBC和△EFD中， EC=ED ∠ECB=∠EDF CB=DF :△EBC≌aEFD(SAS) .EB=EF: :△ABC是等边三角形， .∠B=60°，AB=BC, 6/14 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 “△EBF是等边三角形， .BE=BF. :BC=CD,BC=DF, .BF =3BC, ∴BE=3AB, .AE=BE-BA=2AB: (2)解：AB=AC,证明如下： 作∠DCB的平分线CF,使CF=CA,连接FD,设∠ACD=a, .∠BCD=2∠ACD, .∠DCF=∠FCB=∠ACD=a, :△ABD是等边三角形， .AD=BD=AB,∠DAB=60°， ∠BAC=90°， :.∠DAC=150°， 在△ACD和△FCD中， CA=CF ∠ACD=∠FCD CD=CD △ACD≌△FCD(SAS) :.AD=FD,∠ADC=∠FDC,∠DAC=∠DFC=150°： 延长CB至点E,使CE=CD,连接FE、DE, 7/14 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ∠ADC=∠FDC=B 设 同理可得△FCD≌△FCE(SAS) ∠FEC=∠FDC=B∠EFC=∠DFC=15O°FD=FE .∠DFE=360°-∠DFC-∠EFC=60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴.DE=DF=EF,∠FDE=∠FED=6O°， 、∠CED=∠CEF+∠FED=6O0°+B AD=BD=AB,DF=AD, ∴.DE=DB, :∠EDF=∠BDA=60°， .∠EDF-∠BDF=∠BDA-∠BDF: ,∠EDB=∠FDA=2B ∠DEB=∠DBE=90°-B .∠CED=60°+B 又 :A=15 .a=15°， .∠ACB=45°， ∴.△ABC为等腰直角三角形， .AB=AC 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 150° 150 90°-B 150 B 26. 【答案】(1)10°，(2)40°<∠4CD<45°；(3)70°或25°，(4)∠ACD的度数为32.5°或 77.5°.70°85 或或 【解析】(I)解：：将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, :.∠A'CD=∠ACD=40°， .∠A'CB=90°-∠ACD-∠ACD=10°： (2)解：如图，当A'落在AB边上时，∠ADC=∠ADC=90°， :.∠ACD=90°-∠A=40°， 如图，当A'落在CB边上时，∠ACD+∠A'CD=90°， 、D A'B :将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A'CD=∠ACD=45°， 综上所述，若点A落在△ABC的内部（不包含△ABC的边），则40°<∠ACD<45°： (3)解：，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， .∠B=40°， ,将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, .∠A'=∠A=50°， 如图，当AD⊥AB时，设AC交AB于点E, 可知∠A'DE=90°， .∠A'ED=40°， 、.∠BEC=40°， .∠ACB=180°-∠BEC-∠B=100°>90°，不成立： 如图，当A'D⊥AC时， D B 10114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC⊥AC, .BC∥A'D, .∠BCA'=∠A'=50°， .∠ACA=40°， :∠DC-3∠4C4=20 2 .∠BCD=∠BCA'+∠DCA'=70°： 如图，当A'D⊥BC时， A :AC⊥BC, AC∥AD, ∴.∠ACD=∠A'DC, ,将△ACD沿直线CD翻折后得到△ACD, .∠ACD=∠A'DC=∠ADC, :∠4CD=∠4DC=∠ADC=180,50=65 2 .∠BCD=90°-65°=25°： 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，∠BCD的度数为70°或25°： △A'CQ (4)解： 是轴对称图形， △A'CQ 对称轴两边的角相等， 即∠AC0=∠4'0C度∠AC0=∠CAgt∠CQ=∠A'oc 或 或 :在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， .∠B=40°. ,将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, .∠CA'D=∠A=50°， 如图，当射线DA'与射线CB相交于点O时， B .∠CA'Q=130° 若∠4C0=∠A'0c,则∠4C0=∠A0c=180-130 2 25° .∠ACA'=65°， ,∠DCA=∠4CA=32.5° 2 若<4C0=∠C4Q=130 ,可知不存在： 12114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若<C40=∠A0c=130 可知不存在： 如图，当射线DA与线段CB相交于点O时， B e ∠CAQ=130° 若∠40=∠40c,则∠40=∠40c=180°-130° -=25°<∠B 2 可知不存在： 若∠4C0=∠C40=130 ,可知不存在： 若<C4'0=∠A0c=130 ,可知不存在： 如图，当线段DA'与线段CB相交于点Q时， D B A 设<DC0=e 者∠4C0=∠0c,则∠A0=∠A0c-180,50°-6 2 。 .∠A'CD=∠ACD, .65°+x°=90°-x°， 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=12.5, .∠ACD=90°-12.5°=77.5°. 若4C0=∠C40=50 ∠ACD=∠ACD, 50°+x°=90°-x°， 解得：x=20, .∠4CD=90°-20°=70°； 若C40=∠40c=50°m∠4C0=180°-50°-50°=80 ,则 :∠A'CD=∠ACD. 80°+x°=90°-x°， 解得：x=5, .∠ACD=90°-5°=85°： 综上所述，∠ACD的度数为32.5°或77.5°或70°或85°. 14114 第十五章 轴对称（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，，，则长度为（     ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，若点C的坐标为，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，，．用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等腰三角形个数（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对顶角 D．等边三角形的面积相等 8．如图，和都是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，，，P在内，，，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，将等边三角形折叠，使得点C恰好落在边上的点D处，折痕为，M为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（     ） A．4 B．10 C．8 D．6 11．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论正确的是（     ） ①；②；③是等边三角形；④ 若，则． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 12．如图，在等腰三角形中，，，于点D，点P是的延长线上一点，点O在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 14．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 15．如图，在中，为边上的中线，M为上一点，连接并延长交于N，，若，，则的长度是_________． 16．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 17．如图，已知在中，，，点D为的中点．点P在线段上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若和全等，且和是对应角，则a的值为_________． 18．如图，是等边三角形，F为的中点，点D在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于H，连，当点D在线段上（不与B，C重合）运动时： ①与互补；②；③是定值；④是定值． 以上结论中正确的有___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母． （1）如图1，已知，请你画的角平分线和高； （2）如图2，点P为内的一点，请你确定一条过点P的直线l分别交，于点M，N，使得． 20．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知A，B的坐标分别为，． （1）请在网格内画出平面直角坐标系； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 21．（8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． （1）求证：． （2）求的长． 22．（8分）如图，在等边三角形中，点D在边上，点E在边上，且，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 23．（10分）如图，在中，、的垂直平分线分别交线段于点D、E（点E在线段上）． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 24．（10分）按要求解答： （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．求证：； （2）类比探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． ①试求的度数； ②判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 25．（10分）按要求解题： （1）【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： （2）参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索、数量关系，并证明． 26．（10分）折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折后得到． （1）如图，若，则________． （2）如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为． （3）在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数． （4）在折叠的过程中，射线与射线相交于点Q．若是轴对称图形，直接写出的度数． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列图案中，是轴对称图形的是( 【答案】C 【解析】解：A,不是轴对称图形，不符合题意： B.不是轴对称图形，不符合题意： C.是轴对称图形，符合题意： D.不是轴对称图形，不符合题意 2.如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，AB=5,BC=3,则DE长度为() A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】解：，△ABC与△DEF关于直线MN对称， .AB与DE是对应线段， .DE=AB AB=5, .DE=5. 1/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3在平面直角坐标系中，点4与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，若点C的坐标为（一3,4） 则点A的坐标为() A.(3,4) B.（-3,4) c.（-3,-4) D.(3-4) 【答案】D 【解析】解：“点B与点C关于y轴对称，点C的坐标为(3,4)， 点B的坐标为 3,4) ,点A与点B关于x轴对称， 心点1的坐标为(3,4) 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=70°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称， ∠CAE=10° 接BF,则∠BF 连 的度数是() G A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】C 【解析】解：：△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称， .△AFG≌△ABC, :AB=AC,∠C=70°， :.∠ABC=∠AFG=∠AGF=70°， :.∠BAC=∠GAF=40°， 3/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CAE=10°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称， .∠GAE=10°， .∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°， .∠ABF=∠AFB=40°. 4/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，边AB的垂直平分线交AC于点D,则∠DBC的度数为 A 40 E D A.30° B.20° C.35° D.25 【答案】A 【解析】解：：在△ABC中，AB=AC,∠A=40°， ∠ABC=∠C=180°-∠4=70 2 ,边AB的垂直平分线交AC于点D, ∴.DA=DB, .∠DBA=∠A=40°， :.∠DBC=∠ABC-∠DBA=30° 6.如图所示，AB∥CD,∠ACD=72°.用直尺和圆规作图并保留作图痕迹，依据现有条件，得出的等 腰三角形个数() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 5/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】解：由作图痕迹可知：CE平分∠ACD, ∠ACE=∠DCE= *720=360 :AB∥CD, .∠AEC=∠DCE=36°， .∠ACE=∠AEC=36°， AC=AE, ∴.△ACE是等腰三角形 以A为圆心，AC为半径画弧交CD于F, .AC=AF, :.△ACF是等腰三角形 .∠ACD=∠AFC=72°. :.∠CAF=180°-∠ACD-∠AFC=36°. :.∠CAF=∠ACE=36°， .KC=KA. :.△ACK是等腰三角形， ,·∠CKF=∠ACK+∠CAF=72°=∠AFC, .CF =KC. 6/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△CKF为等腰三角形， :AB∥CD .∠EAK=∠AFC=72°， :∠AKE=∠CKF=72°， ∴.∠EAK=∠AKE, .EA=EK, “.△EAK为等腰三角形， ∴，等腰三角形有5个. 7.下列命题的逆命题是真命题的是() A若=6，则0= B.等边三角形是锐角三角形 C.相等的角是对顶角 D.等边三角形的面积相等 【答案】C 【解折】解：A其逆命思是“若4=分，则4=b。,错误，板是段命愿 B.其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，错误，故是假命题： C.其逆命题是“对项角相等”，正确，是真命题； D.其逆命题是“面积相等的三角形是等边三角形”，错误，故是假命题. 7/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，∠BEC=35°，则∠DBE的度数为() D A.90° B.95° C.100° D.105° 【答案】B 【解析】解：，△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴.AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°， .∠DAB=∠EAC, :△ABD≌△ACE(SAS) .∠ADB=∠AEC, :∠BEC=∠AEC+∠AEB=35°， ∴.∠ADB+∠AEB=35°， ,△ADE是等边三角形， .∠ADE+∠AED=120°. :∠BDE+∠BED=∠ADE+∠AED-(∠ADB+∠AEB)=120°-35°=850 :∠DBE=180°-（∠BDE+∠BED)=180°-85°=950 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°， 则∠PAB=() 8/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.60° B.70° C.75° D.80° 【答案】B 【解析】解：在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC, B :AD=AB=AC,∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°， .∠ACD=∠ADC=80°， .AB=AC,∠BAC=80° .∠ABC=∠ACB=50°， .∠CDB=140°， :∠PBC=10°，∠PCB=30°， .∠BPC=180°-10°-30°=140°， .∠CDB=∠CPB, :∠DCB=30°=∠PCB,BC=CB, :△BDC≌ABPC(AAS) 9/41 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PC=DC, :∠PCD=60°， .△DPC是等边三角形， .PD=PC. AD=AC,AP=AP, :△APD≌aAPC(SSS) :∠D1P=∠CAP-)∠D4C=10e 2 ∴.∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°， 10141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1O.如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点D处，折痕为EF,M为折痕EF 上一动点，若AD=2,BC=6,则△BDM周长的最小值是() D A.4 B.10 C.8 D.6 【答案】B 【解析】：△ABC是等边三角形， .AB=BC=6. AD=2, .BD=AB-AD=6-2=4 折叠后点C与点D关于折痕EF对称， .DM=CM △BDM的周长为C,DN=BD+DM+BM=BD+BM+CM 要使周长最小，只需BM+CM最小 当B、MC三点共线时，BM+CM取得最小值，最小值为BC的长度， ∴.△BDM的周长最小值为：BD+BC=4+6=10」 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的 延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的是() 11/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠DCB=∠B;②2CD=AB;③△ADC是等边三角形：④若∠E=30°，则DE=EF+CF. D A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①② 【答案】A 【解析】：∠ACB=90°， .∠ACD+∠DCB=90°，∠DAC+∠B=90°， :∠DCA=∠DAC, .∠DCB=∠B,①符合题意： ∠DCA=∠DAC,∠DCB=∠B, .AD=CD,CD=BD. :.2CD=AB,②符合题意： :∠DCA=∠DAC,AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形，③不符合题意： ∠E=30°， .∠A=60°， AD=CD, :△ADC是等边三角形， .∠ADC=∠ACD=60°， 12141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADE=∠ACB=90°， .∠CDF=∠BCD=30°， :.CF=DF, .DE=EF +DF. :.DE=EF+CF,④符合题意： 综上，结论正确的是：①②④. 12.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,点P是CA的延长 线上一点，点O在AD的延长线上，OP=OB,下面的结论：①∠APO-∠OBD=30°；②△BPO是正 三角形：@4B-P=A0,④5达形0m=2S,aCc,其中正确的是（) D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】解：设AB交OP于点J,如图所示： B 0 :AB=AC,AD⊥BC, .BD=DC. 13/41 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 :.OB=OC, OP=OB. ..OP =OB=OC, .∠OPC=∠OCP=∠ACB+∠OCB,∠OCB=∠OBC, :AB=AC,∠BAC=120°. .∠ABC=∠ACB=30°， :.∠OPC=30°+∠OCB=30°+∠OBC=∠ABO, ∴.∠APO-∠OBD=30°，故①正确： ,∠AJP=∠BJO. .∠POB=∠PAJ=60°. OP=OB, .△BPO是正三角形，故②正确： 延长AO到T,使得AT=AB,连接BT,如图所示： B D 10 :∠BAT=60°，AT=AB, :.△ABT是等边三角形， 14141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABT=∠PBO=60°， .∠PBA=∠OBT, 在△PBA和△OBT中， BP=BO ∠PBA=∠OBT, BA=BT :PB4≌OBT(SAS) .PA=OT, .AB=AT=AO+OT=A0+PA, .AB-AP=AO,故③正确： :'△PBA≌△OBT, .S.PBA=S.OBT 边形0=Sr, SABT为定值， :△BOC是变化的， :形0a即=2S,0c是错误（与上面定值矛盾），枚④错误： 综上所述：正确的是①②③. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.已知△ABC的三边a,b,c满足(a-b)+b-c=0,则△ABC是 三角形.（填“等 边”“等腰”或“不等边”) 【答案】等边 15141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a-b=0 【解析】解：由题意， 得b-c=0, 所以a=b=C, 所以△ABC是等边三角形. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,分别以A、C为圆心，大于2长为半径画弧，两弧相交于点 MN,连接MN与AC交于点E,若EC=2,则AB的长度为 【答案】4 【解析】解：由作图过程得MN垂直平分AC, ∴.AE=CE=2, .AB=AC=AE+CE=2+2=4 15.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N, ∠AMN=∠MAN.BM=8AN=4.8,CN ,则的长度是 【答案】3.2 【解析】解：如图，延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE, 16141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :AD为BC边上的中线， .BD=CD. :∠BDE=∠CDA, :△BDE≌ACDA(SAS) .∠E=∠MAN,BE=AC, :∠AMN=∠MAN, ∠E=∠AMN, :∠AMN=∠BME, .∠E=∠BME, .BE =BM=AC=8, .CN=AC-AN=8-4.8=3.2 17141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，在△ABC中，AB=16,BC=17,AC=18,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分 线，且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长为 B D E 【答案】17 【解析】解：：BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ·.∠ABP=∠DBP,∠ACP=∠ECP, :PD∥AB,PE∥AC, .∠ABP=∠DPB,∠ACP=∠EPC. ∴∠DBP=∠DPB,∠ECP=∠EPC, ∴BD=PD,PE=CE, ∴，△PDE的周长为PD+PE+DE=BD+CE+DE=BC=17. 17.如图，己知在△ABC中，AB=AC=10,BC=8,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3 个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒个单位长度的速度运 动.设运动时间为1秒，者△CP和△BDP全等，且∠B和∠C是对应角，则a的值为 18/41 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 【答案】3或4 【解析】解：由题意可知：AB=AC=10,BC=8,点D为AB的中点， BD=二AB=5 2 ,∠B=∠C. BP=3t CO=at 设运动时间为t秒，则 .CP=BC-BP=8-3t. 若ACP和△BDP全等，且∠B和∠C是对应角，则分两种情况时论： BD=CP BP=CO 情况一：当 BDP≌aCP时，此时对应边关系为 由BD=CP得：5=8-3t, 解得：t=1, BP=CO 3t=at 由 得： 将t=1代入上式，得：3×1=a×1, 解得：a=3. P BDP≌ACQP 情况二：当 BD=CO BP=CP 时，此时对应边关系为 由BP=CP得：3t=8-3t, 19141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 t=- 解得：3， D=CO 由 得：5=a 4 4 t=- 5=a× 将3代入上式，得： 3, 15 d=- 解得： 4. 15 综上所述，a的值为3或4， 18.如图，△ABC是等边三角形，F为AC的中点，点D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF的 右下方作等边△DEF,ED的延长线交AB于H,连EC,当点D在线段BC上（不与B,C重合）运动 时： B D BC+E BH D∠AHE与∠AFD互补，②∠FEC=∠FDC:③ DC 是定值：④BD是定值. 以上结论中正确的有 【答案】①②③ 【解析】解：：△ABC是等边三角形，△DEF是等边三角形， ∴.∠A=∠FDE=60°， 20141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠FDH=180°-∠FDE=120° 在四边形AHDF中， :∠4+∠AHD+∠HDF+LAFD=360° 又∠A=60°，∠FDH=120° ∴.∠AHD+∠AFD=180°， 即∠AHE与∠AFD互补， 选项①说法正确，符合题意： 如图，在线段CD上截取CG,使得CG=CF, D ,△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， CG=CF, “.△CFG是等边三角形， .∠GFC=60°， ,△DEF是等边三角形， .∠DFE=60°， :.∠GFC=∠GFE+∠EFC=60°∠DFE=∠DFG+∠GFE=60° 21141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LEFC=∠GFC-∠GFE=60°-∠GFE∠DFG=-∠DFE-∠GFE=60°-∠GFE 即LEFC=∠DFG, :△CFG是等边三角形，△DEF是等边三角形， ..CF=FG,EF=DF, 在△EFC与△DFG中， FC=FG ∠EFC=∠DFG EF=DF ÷△EFC≌△DFG(SAS) .∠FEC=∠FDC, 选项②说法正确，符合题意： 同理，如图，在线段CD上截取CG,使得CG=CF, ②中已证，△EFC≌△DFG. ..CE=DG, :△ABC是等边三角形，F为AC的中点， :Fc=4C=BC 2 2 C+EC=FC+EC .2 :△CFG是等边三角形， ..FC=CG. 22141 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 C+EC=FC+EC=CG+EC .2 .CE=DG. C+EC-FC+EC=CG+EC=CG+DG=CD .2 LBC+EC DC =1 选项③说法正确，符合题意： 点D在线段BC上运动，ED的延长线交AB于H, BH 无法证明BD是定值， 选项④说法错误，不符合题意： 综上，说法正确的为①②③. 23141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(8分)用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母. B 图1 图2 (1)如图1，已知△ABC,请你画△ABC的角平分线AD和高CH: (2)如图2，点P为∠AOB内的一点，请你确定一条过点P的直线I分别交OA,OB于点M,N,使得 OM=ON 【答案】(1)作图见解析：(2)作图见解析 【解析】解：(1)如图，角平分线AD和高CH即为所求： 图1 (2)如图，直线1、点M点N即为所求： M B 图2 作图依据： 设直线I与射线OH相交于K, D 图2 24141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由作图知∠MOK=∠NOK,∠OKM=∠OKN=90°，又OK=OK, :△OMK≌aONK(ASA) ..OM=ON 20.(8分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的 交点)上.已知4，B的坐标分别为42)，（-2，-2) (1)请在网格内画出平面直角坐标系： (2)画出△ABC关于'轴对称的 AB,C,并写出点的坐标， B 【答案】（1)作图见解析：(2)作图见解析，点B的坐标为(2，-2) 【解析】解：(1) 、 C 0 州 (2) 25141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C C B 点B的坐标为(2，-2) 21.(8分)如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D,连 接BD,若AC=I2」 (1)求证：BD⊥BC. (2)求DB的长 【答案】(1)证明见解析：(2)BD=4 【解析】(1)证明：：AB=BC,∠ABC=120°， :2A=∠C-3a80-乙ABg=30 :AB的垂直平分线是DE, .AD BD, ∠DBA=∠A=30°， .∠DBC=∠ABC-∠DBA=120°-30°=90°， 26141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD⊥BC: (2)解：：∠DBC=90°，∠C=30°， BD=1CD 2 AD=BD, .AD=1CD 2 即CD=2AD, AC=AD+CD=12. .AD+2AD=12, AD=4. .'BD=AD=4. 27141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(8分)如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，点E在边AB上，且BD=AE,AD与 CE 相交于点F. (1)求证：△ABD≌△CAE: (2)求∠AFE的度数. 【答案】(1)证明见解析；(2)60° 【解析】(I)证明：因为△ABC是等边三角形， 所以AB=CA,∠B=∠BAC=60°， 因为点E在边AB上， 所以∠CAE=∠BAC=60°，即∠B=∠CAE 又BD=AE, 所△ABD≌aCAE(SAS)】 (2)解：由(1)得∠BAD=∠ACE. 因为E在CF的延长线上(C、F、E共线)， 所以∠AFE是△ACF的外角， 所以∠AFE=∠ACF+∠CAF=∠ACE+∠CAF=∠BAD+∠CAF=∠BAC=60° 23.(I0分)如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交线段BC于点D、E(点E在线段BD 28141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上). (1)若BC=13,DE=5,求△ADE的周长： (2)若∠BAC=80°，求∠DAE的度数. 【答案】(1)23：(2)20° 【解析】(1)解：：AB、AC的垂直平分线分别交线段BC于点D、E, ∴.AD=BD,AE=CE, △ADE AE+AD+DE=CE+BD+DE=BC+DE+DE=BC+2DE 的周长为 :BC=13,DE=5, .BC+2DE=13+2×5=23. 即△ADE的周长为23： (2)解：，∠BAC=80°， ∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=100°， AD=BD,AE=CE. .∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, :.∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=100°， :∠BAC=∠BAD+∠CAE-∠DAE=80°，即100°-∠DAE=80°， 29141 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=20° 24.(10分)按要求解答： (I)问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE.求 证：△ACE≌△BCD: D 图① (2)类比探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E 在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE. M D 图② ①试求∠AEB的度数： ②判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析：(2)①90°：②AE=BM-CM,理由见解析 【解析】(I)证明：：△ABC和△EDC都是等边三角形， :.CD=CE,CB=CA,∠DCE=∠ACB=60°， .∠DCE-∠DCA=∠ACB-∠DCA, 30141 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠ACE=∠BCD, :△4CE≌ABCD(SAS) (2)解：①：△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， :.CD=CE,CB=CA,∠CED=∠CDE=45°，∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, ÷△MCE≌aBCD(SAS) :.∠AEC=∠BDC=180°-∠CDE=135°. :.∠AEB=∠AEC-∠CED=135°-45°=90°： ②线段CM、AE、BM之间的数量关系为AE=BM-CM, 理由如下： :CM为等腰直角三角形△EDC中DE边上的高， .∠MCE=∠MCD=∠CED=∠CDE=45°， .MC=MD=ME, △ACE≌aBCD(SAS) .AE BD, BD=BM-DM. .AE=BD=BM-DM=BM-CM 25.(10分)按要求解题： (I)【问题】：如图1，等边△ABC,点E是射线BA上一个动点，延长BC至点D,使EC=ED,当 BC=CD )时，探究1E与1B之间的数量关系，并证明。 31141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助EC=ED的条件，可构造轴对称图形（如图 2),使得△BCE和△FDE全等，进而补全等边△BEF,利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题， D 图1 图2 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为边做等边△ABD,点D在AB上方，连接CD,若 ∠BCD=2∠ACD AB AC ,探索 数量关系，并证明. 图3 【答案】(1)AE=2AB,证明见解析：(2)AB=AC,证明见解析 【解析】(1)解：AE=2AB,证明如下： 延长BD到点F,使得DF=BC.连接EF, EC=ED」 .∠ECD=∠EDC, .∠ECB=∠EDF, 在△EBC和△EFD中， 32141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC=ED ∠ECB=∠EDF CB=DF :△EBC≌AEFD(SAS) EB=EF: ,△ABC是等边三角形， .∠B=60°，AB=BC, .△EBF是等边三角形， .BE=BF. .BC=CD.BC=DF. .BF =3BC, .BE=3AB, .'AE=BE-BA=2AB: (2)解：AB=AC,证明如下：· 作∠DCB的平分线CF,使CF=CA,连接FD,设∠ACD=C, .∠BCD=2∠ACD. .∠DCF=∠FCB=∠ACD=a, ,△ABD是等边三角形， AD=BD=AB,∠DAB=60°， ∠BAC=90°， .∠DAC=150°， 33141 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 在△ACD和△FCD中， CA=CF ∠ACD=∠FCD CD=CD :△MCD≌FCD(SAS) :.AD=FD,∠ADC=∠FDC,∠DAC=∠DFC=150°： 延长CB至点E,使CE=CD,连接FE、DE, ∠ADC=∠FDC=B 设 同理可得△FCD≌aFCE(SAS)】 ∠FEC=∠FDC=B∠EFC=LDFC=150°FD=FE .∠DFE=360°-∠DFC-∠EFC=60°， :△DEF是等边三角形， .DE=DF=EF,∠FDE=∠FED=6O°， ∠CED=∠CEF+∠FED=60°+B .AD=BD=AB,DF=AD, ∴.DE=DB, ∠EDF=∠BDA=60°， .∠EDF-∠BDF=∠BDA-∠BDF: ∠EDB=∠FDA=2B ∠DEB=∠DBE=90°-B 又<CED=60°+B 34141 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :A150 .a=15°， .∠ACB=45°， “.△ABC为等腰直角三角形， :AB=AC. D 150° 150 90°-B 150 26.(10分)折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题 开展数学探究活动.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是边AB上一动点，将△ACD 沿直线CD翻折后得到△A'CD., b B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠ACD=40°，则∠A'CB= (2)如图2，若点A落在△ABC的内部（不包含△ABC的边），则∠ACD的取值范围为. (3)在折叠的过程中，当AD垂直于△ABC某一边时，求∠BCD的度数. 35141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CB △A'C (④在折叠的过程中，射线DA与射线CB相交于点Q.若 是轴对称图形，直接写出∠1CD。 的 度数 【答案】(1)10°，(2)40°<∠ACD<45°：(3)70°或25°：(4)∠ACD的度数为32.5°或 77.5°70°85° 或或 【解析】(1)解：将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, ∴.∠ACD=∠ACD=40°， ：.∠ACB=90°-∠A'CD-∠ACD=10°； (2)解：如图，当A落在AB边上时，∠ADC=∠ADC=90°， B .∠ACD=90°-∠A=40°， 如图，当A'落在CB边上时，∠ACD+∠ACD=90°， A'B :将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, .∠A'CD=∠ACD=45°， 综上所述，若点A'落在△ABC的内部（不包含△ABC的边），则40°<∠ACD<45°： 36141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， .∠B=40°， :将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, :.∠A'=∠A=50°， 如图，当AD⊥AB时，设AC交AB于点E, 74 B 可知∠ADE=90°， .∠AED=40°. .∠BEC=40°， 、∠ACB=180°-∠BEC-∠B=100°>90°，不成立： 如图，当AD⊥AC时， 、D ,BC⊥AC, BC∥A'D, 37141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCA=∠A'=50°， .∠ACA=40°， ∠DCM=∠4CA'=20 2 .∠BCD=∠BCA'+∠DCA=7O°： 如图，当A'D⊥BC时， A :AC⊥BC, .AC∥AD, .∠ACD=∠ADC, :将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, ∴.∠ACD=∠A'DC=∠ADC, .∠ACD=∠ADC=∠ADC=180°-50° =65° 2 :∠BCD=90°-65°=25°： 综上所述，∠BCD的度数为70°或25°： △A'CQ (4)解： 是轴对称图形， 38141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..A4'co 对称轴两边的角相等， m∠AC0=∠4'0c成∠AC0=∠CAe∠CMQ=∠A'oc 或 或 :在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∠B=40°， ,将△ACD沿直线CD翻折后得到△A'CD, .∠CA'D=∠A=50° 如图，当射线DA'与射线CB相交于点O时， 、D B ∠CA'Q=130° 若∠4C0=∠10C,则∠4C0=∠40c-180,130=25 .∠ACA=65°， ,∠DCA=∠AC4=32.50 2 ∠A'C0=∠CAQ=130° 若 ,可知不存在： 若<C40=∠A0c=130 ,可知不存在： 如图，当射线DA'与线段CB相交于点O时， 39141 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 D 4、B ∠CA'Q=130° 若∠4CQ=∠A0C,则∠4c0=∠0c-180,130-25<∠B 2 可知不存在： 若<4C0=∠C40=130 ,可知不存在： 若<C40=∠A0c=130 可知不存在： 如图，当线段DA'与线段CB相交于点Q时， D A 设<DC0=0 若∠ACQ=∠A'QC,则 ∠Ac0=∠A0C=180°，50°=65 2 ,∠A'CD=∠ACD. .65°+x°=90°-x°， 解得：x=12.5, .∠4CD=90°-12.5°=77.5°： 40141 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACQ=∠CA'Q=50° 若 :∠A'CD=∠ACD. .50°+x°=90°-x°， 解得：x=20, .∠ACD=90°-20°=70°： 若2C40=∠40C=50.∠1c0=180-50°-50°=80 ,则 :∠A'CD=∠ACD. .80°+x°=90°-x°， 解得：x=5, :.∠ACD=90°-5°=85°： 综上所述，∠4CD的度数为32.5°或77.5°或70°或85°. 41/41