第十五章 轴对称 单元练习卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 单元练习卷 一、单选题 1．新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图：的周长为，把的边对折，使顶点和点重合，折痕交边于点，交边与点，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．下面三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①等边对等角；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 5．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．8 B．11 C．16 D．17 8．如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 二、填空题 11．已知点与点关于x轴对称，那么的值为_________． 12．如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是_________． 13．如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 14．如图，已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点．则的度数为__________．    15．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 三、解答题 16．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 17．如图，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且于点P，于点M，于点N．求证：是等边三角形． 18．如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 19．如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 20．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 21．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 单元练习卷》参考答案 1．B 【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查了折叠的性质；由折叠知，，；由的周长为得；而，即可求得的周长． 【详解】解：由折叠知，，， ∴； ∵的周长为， 即， ∴； ∵， 的周长为． 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，同角的补角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆定理存在当且仅当逆命题为真． 【详解】∵ ①等边对等角的逆命题是等角对等边，为真命题，故存在逆定理； ∵ ②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，为真命题，故存在逆定理； ∵ ③同角的补角相等的逆命题是相等的角是同角的补角，不一定成立，故不存在逆定理； ∴存在逆定理的有2个． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 5．D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题关键；由题意得，则，再可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形性质和判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质是解题关键． 由中，，由作法知，可得是的垂直平分线，为等腰三角形，平分，得出，即可求解． 【详解】解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等腰三角形， ∴平分，， ， ∴，故①②③正确． 故选：D． 9．C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵BC＝10，，AD⊥BC于点D， ∴AD＝12， ∵EF垂直平分AB， ∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD， 如图，当P为EF与AD的交点时，PA＋PD取最小值， 此时，PA＋PD＝AD＝12， ∴PB＋PD的最小值为12， 故本题选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度=PB+PD的最小值是解题的关键． 10．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，推出，根据全等三角形的对应边相等，得出对应边相等，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11． 【分析】本题考查坐标与图形轴对称变换，乘方的运算，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：． 12．6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得，设，分别表示两个三角形的周长，根据算式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，设， 的周长为，的周长为， ， ， 解得． 14．/60度 【分析】根据等边三角形性质得出，，证，推出，根据三角形外角性质求出，即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角、全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 15．2或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 16．点即为所求． 【分析】根据题意，结合垂线的作图方法、平行线的判定画图即可． 本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，先过点作直线，再在直线的上方作，交射线于点，则点即为所求． 17． 证明：是等边三角形，， ，， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，得出 ，进而推出，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，掌握“等边三角形三个内角是”以及“直角三角形中两锐角互余”的性质是解题的关键． 18．证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 【详解】证明：略． 19．(1) (2) 证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案； （2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）略 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21．(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $