第二章 特殊三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册特殊三角形单元能力提升卷，融合中考真题与多地期中试题，覆盖轴对称、等腰三角形等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称性质（第1题）、等腰三角形分类讨论（第2题）|结合中考真题与阶段检测，基础巩固与辨析| |填空题|6/18|折叠变换（第11题）、动态等腰三角形（第12题）|多情境分类讨论，考查空间观念| |解答题|8/72|最值问题（第17题）、数形结合（第23题）|综合探究与数学文化渗透，培养创新意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.C 2.A 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.7 12.45°或135°或90 13.67.5或90或45 14.22.5 15.1 16.16 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)△A1B1C1即为所求； 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4分 (2)解：作点A关于直线MN的对称点A,连接AB与MN交于点P,此时AB的长即为PA+PB的 最小值. B O ,'△PAB周长=AB+PA+PB=AB+PA+PB=AB+AB, △PAB周长的最小值为AB+AB=V22+2+2+4=22+25 8分 18.(8分) 【详解】(1)在△EAB中，AE=BE,∠B=40°， ∴.∠EAB=∠B=40°， :∠AED是△EAB的外角， .∠AED=∠EAB+∠B=80°， .AD是△ABC的高， .∠ADE=90°， 在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠AED=10°： 3分 (2)·∠B为∠EAD的4倍， 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 ∴设∠EAD=C,则∠B=4a, 在△EAB中，AE=BE, .∠EAB=∠B=4a, ,∠AED是△EAB的外角， ∴.∠AED=∠EAB+∠B=8a, .AD是△ABC的高， .∠ADE=90°， 在Rt△ADE中，∠EAD+∠AED=90°. ∴.a+8a=90°， 解得：c=10°， .∠EAB=∠B=4a=40°， ,AE平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠EAB=80°， 在△ABC中，∠C=180°-∠B+∠BAC=180°-40°+80=60°. 8分 19.(8分) 【详解】(1)如图所示， G 3 E B .EF⊥AB, 所以∠A+∠1=90°， .BD⊥AC, 所以∠A+∠B=90, 所以∠1=∠B=35°，即∠AEF=35°： 4分 （2)证明： 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥AB .∠A+∠1=90°， .BD⊥AC, .∠BEF+∠1=90°. .∠A=∠BEF, 又，∠BEF=∠3， .∠3=∠A, 同理∠2=∠B .∠B=∠C, .∠2=∠C, ..EG=CG. 又.∠D+∠C=90°，∠2+∠3=90°， ∴.∠3=∠D, .EG=DG, ..CG=DG. 8分 20.(8分) 【答案】(1) 解：如图（甲），点P即为所求： 图（甲） 4分 (2)解：如图（乙），点G即为所求. 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图（乙） 8分 【详解】(1)在CE上取P,使CP=AB, 由题意知，AB‖CP, ∴.∠BAC=∠PCA, .AB=CP,∠BAC=∠PCA,AC=CA, △APC≌△CBA SAS, ∴.点P即为所求： (2)连接DE,,AE=CE,AD=CD, ∴.DE是线段AC的垂直平分线， 取DE与格点的一个交点为G,连接AG,CG ..AG=CG, ∴点G即为所求。 21.(10分) 【详解】(1)证明： :在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， .AO-DO-BD,CO-DO-BD, ∴.AO=C0 ∴.△AOC为等腰三角形： 3分 (2)解：，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， :A0=D0号BD.C0=D0=BD, 2 ∴.∠OAD=∠ADB=30°，∠OCD=∠BDC=40°， :.∠AOB=∠OAD+∠ADB=60°，∠COB=∠OCD+∠BDC=80°， 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AOC=∠AOB+∠COB=140° 6分 (3)解：，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， :AO=DO=-BD,CO=DO=I BD, .∠OAD=∠ADB,∠OCD=∠BDC, ∴.∠AOB=∠OAD+∠ADB=2∠ADB,∠COB=∠OCD+∠BDC=2∠BDC, ,∠ADC=a, ∴.∠AOG=∠AOB+∠COB =2∠ADB+2∠BDC =2∠ADB+∠BDC =2∠ADC =2a 10分 22.(10分) 【答案】(1)证明：，AD⊥BC, ∴.∠ADC=∠BDF=90°， BF=AC,DF=DC, .Rt△ADC≌△Rt△BDF HL (2)BE=28 4分 (2)解：，Rt△ADC≌△Rt△BDF, ∴.∠C=∠BFD, .∠DBF+∠BFD=90°， ∴.∠C=∠DBF=90°， .BE⊥AC; ,Rt△ADC≌△Rt△BDF, ..AD=BD=4, CD=3,BD=4, BC=BD+CD=7'AC=AD2+CD2=5' 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :SAc=号BCAD=号AC-BE *7×4 x5×BE, BE=28 10分 23.(10分) 【详解】(1)解：如图，作Rt△ABP与Rt△CDP, 且使BP=x,DP=3-X,BD=3,AB=3,CD=1, 则AP=X+9CP=3-x+1 连接AC交BD于点E:则AC=xX+9+3-x+11 过A作AF‖BD交CD延长线于F,则AF=BD=3,DF=AB=3,CF=DF+CD=4, 在Rt△ACF中，AC=-/CF2+AF2=32+4=51 故V又+9+3-x2+1的最小值为5： 2分 (2)解：如图，作Rt△ABP与Rt△CDP, 3 、E8-x D x P 3 且使BP=X,DP=8-X,BD=8,AB=3,CD=3, 则AP=VX+9CP=8-x+9 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AC交BD于点E则AC=Vx+9+8-x+9 过A作AF‖BD交CD延长线于F,则AF=BD=8,DF=AB=3,CF=DF+CD=6, 在Rt△ACF中，AC=/CF2+AF2=V62+82=10 故如/X+9+V8-x+9的最小值为10： 4分 (3)解：①如图，作Rt△ABC与Rt△DBC,且使AC=6,CD=8,BC=X, 6 8 X B10 D 则AB=9/6-X:BD=/82-X:AD=AB+BD=R36-X+64-X=10' 在△ACD中，AD=AC2+CD=6+8=102,即△ACD为直角三角形，则 1x6×8 BC=x= =4.8 3×10 “y36-x+V64-X=10' 36-X=10-64-X 36-X=100-2064-X2+64-X 20/64-x2=128 ∴64-X=6.4 .64-x2=40.96, .x2=23.04, X>0,X=4.8: 7分 ②如图(3)，作Rt△ABC与Rt△ADE,使AC=AD+CD=x+4,BC=4,ED=1, 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4 4 则AB-AE=x+4P+16-X+1 过点E作EF1BC于F:连接BE'则EF=CD=4'CF=DE=1'BF=3'BE=32+4=5' 在△ABE中，由三边关系得：AB-AE<BE, 如图， B E A 4 当A、E、B三点共线时， AB-AE=x+4+16-VX2+1有最大值为BE=5: 10分 24.(10分) 【详解】(1)解：，∠CAB=∠B, ∴.AC=BC=5, .AC⊥BE, ∴.∠ADC=90°， ..CD=VAC2-AD2=52-42=3 2分 (2)证明：，BC=CE,AC=CB, .AC=CE=CB ∴.∠CEA=∠CAE,∠CAB=∠B, .∠AEC+∠B+∠EAB=180°， .∴.2∠AEB+2∠B=180°， .∴.∠AEB+∠B=90°， 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠EAB=90°， .AE⊥AB: 6分 (3)解：SAACD:S△ACE=8:13, .CD:CE=8:13, 设CD=8k,CE=13k,则DE=5k, .AD⊥EC,DE≠CD, ∴.AC≠AE, 当CE=CA=13k时，BC=CA=13k, .'BE=BC+CE=26k, 瓷2 当AE=EC=13k时， .AD=AE2-DE2=13k2-5k2=12k' AC-AD+CD2=12kP+8k2=413k' ∴.BC=AC=413k .BE=BC+CE=413k+13k. 41四 4V13k 41 综上所述，满足条件的 的值为2或1+正 10分 BC 4 10/10 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为（    ） A．8或10 B．10 C．8或12 D．12 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，将一个等腰直角三角形按下图方式依次翻折，若，则下列说法中正确的是 （   ） ①平分； ②的长为； ③是等腰三角形； ④的周长等于的长． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 5．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 14．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 15．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，小林在数学学习小组组徽设计活动中，将两张全等的直角三角形纸片按如图方式放入框中，其中，点D，E分别落在边，上，点F恰好为中点，若，，则的长为______． 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的平分线，点在边上，．若，，则的周长是___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为_________． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． (1)若，求的度数． (2)求证：． 20．（8分）在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，．   (1)求证： (2)若，求的长． 23．（10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 24．（10分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为（    ） A．8或10 B．10 C．8或12 D．12 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，将一个等腰直角三角形按下图方式依次翻折，若，则下列说法中正确的是 （   ） ①平分； ②的长为； ③是等腰三角形； ④的周长等于的长． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 5．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 14．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 15．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，小林在数学学习小组组徽设计活动中，将两张全等的直角三角形纸片按如图方式放入框中，其中，点D，E分别落在边，上，点F恰好为中点，若，，则的长为______． 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的平分线，点在边上，．若，，则的周长是___________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为_________． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． (1)若，求的度数． (2)求证：． 20．（8分）在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，．   (1)求证： (2)若，求的长． 23．（10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 24．（10分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为（    ） A．8或10 B．10 C．8或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②15是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 【详解】解：设腰长为x， ①若12是腰长与腰长的一半的和，则， 解得， 此时，底边， 因此，8、8、11能组成三角形， ②若15是腰长与腰长的一半的和，则， 解得， 此时，底边， 因此，10、10、7能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或10． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键． 由折叠得到，由等腰三角形性质可得，根据三角形的内角和得，代入度数计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，将一个等腰直角三角形按下图方式依次翻折，若，则下列说法中正确的是 （   ） ①平分； ②的长为； ③是等腰三角形； ④的周长等于的长． A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，熟练运用上述性质是解题的关键． ①计算出，可判断不平分； ②易得，利用可得到长为； ③根据折叠的性质得到不是等腰三角形； ④计算的周长为，则有的周长等于的长． 【详解】解：由折叠可得，， ， ， ， ，即不平分， 故①错误； 根据折叠的性质知，，且都是等腰直角三角形， ，， ， ，， 故②正确； ， ， 不是等腰三角形， 故③错误； 的周长，， 的周长等于的长， 故④正确． 故选：B． 5．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， 如图，作点关于的对称点，连接交于，连接， 此时的值最小．最小值，    ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为7． 故选：A． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，为的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，可得，，，由三角形外角的性质，可得，，可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵空白部分的面积为， ∴， ， ， ， ， 阴影部分面积为 ， 故选：D． 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或．故选：C． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 【答案】或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 14．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，小林在数学学习小组组徽设计活动中，将两张全等的直角三角形纸片按如图方式放入框中，其中，点D，E分别落在边，上，点F恰好为中点，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理． 先求出，，由此在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，点F恰好为中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：1． 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的平分线，点在边上，．若，，则的周长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了全等直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点，并能熟练的运用. 过点 作交于点，可证，，，再根据题意设，则，则 ，可证，得，即可求解. 【详解】解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴   ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得：（负值舍去）          ∴ 故答案为：16. 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为_________． 【答案】(1)见后 (2) 【分析】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值作对称图形根据关于轴对称的线段相等的性质解题即可． （1）对称的意义找到对称轴作图即可； （2）作点关于直线的对称点，连接与交于点P，此时可取得周长的最小值． 【详解】（1）即为所求； 4分 （2）解：作点关于直线的对称点，连接与交于点P，此时的长即为的最小值． 周长， 周长的最小值为． 8分 18．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，是的高，． (1)若，求的度数； (2)若为的4倍，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线和高，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质即可得出的度数； （2）根据为的4倍设，则，根据得，利用三角形外角性质得，在中，根据直角三角形性质可得，则，再根据平分得，然后在中，由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，； 3分 （2）∵为的4倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴， 在中，． 8分 19．（8分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见后 【分析】此题考查了同角的余角相等，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同角得余角相等得到即可； （2）根据同角得余角相等得到，然后等量代换得到，然后证明出，得到，即可证明出． 【详解】（1）如图所示， ∵， 所以， ∵， 所以， 所以，即； 4分 （2）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理． ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 8分 20．（8分）在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 【答案】(1) 解：如图（甲），点即为所求； 4分 (2)解：如图（乙），点即为所求． 8分 【分析】（1）如图（甲），在上取，使， 由，可得，证明，则点即为所求； （2）如图（乙），连接，则是线段的垂直平分线，取与格点的一个交点为，则，点即为所求． 【详解】（1）在上取，使， 由题意知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴点即为所求； （2）连接，∵， ∴是线段的垂直平分线， 取与格点的一个交点为，连接， ∴， ∴点即为所求． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形外角定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）证明： ∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； 3分 （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 6分 （3）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 10分 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，．   (1)求证： (2)若，求的长． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用，得，从而证得，再利用三角形全等得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴ (2) 4分 （2）解：∵， ， ， ， ； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 10分 23．（10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； 2分 （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； 4分 （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴； 7分 ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时， 有最大值为． 10分 24．（10分）（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 【答案】(1) (2)证明见后 (3)满足条件的的值为2或 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及勾股定理， （1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可； （2）先证明，得出，再结合，求出，即可证明结论； （3）设，则，先证明，再分两种情况：当时，或当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 2分 （2）证明：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴； 6分 （3）解：， ， 设，则, ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴, ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为2或. 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $