精品解析：广东东莞高级中学 2026-2027学年上学期第一次教学质量检查高二数学试题

东莞高级中学2026-2027学年上学期第一次教学质量检查 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 13. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 14. 已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为__________，此时点的坐标为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量，并求的模长； （2）求与所成角的余弦值． 16. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 17. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. （1）证明：平面； （2），P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 18. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线：上． （1）求圆的方程； （2）已知点在圆上，求的最大值； （3）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 19. 平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． （1）如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞高级中学2026-2027学年上学期第一次教学质量检查 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，然后利用倾斜角与斜率的关系得到直线的倾斜角. 【详解】直线可化为. 于是设直线倾斜角为，则， 所以，即倾斜角为. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3. 若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线与平行，，解得. ，即. 与的距离. 4. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法求解即可. 【详解】由题意知， 所以点到平面的距离. 故选：A. 6. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 7. 已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点有2个的条件列不等式求解的取值范围. 【详解】因为圆的圆心,半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可得， 即， 所以， 解得. 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长，​ 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线截距的概念可判断A选项；利用直线方向向量的概念可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，将直线方程化为截距式方程得， 所以该直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 故直线在坐标轴上的截距之和为，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 故向量是直线的一个方向向量，B对； 对于C选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线平行， 这两直线间的距离为，C错； 对于D选项，直线方程可化为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的范围是，D对. 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 13. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 14. 已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为__________，此时点的坐标为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对称性求出点关于直线的对称点，再利用两点的距离说明最小值的位置，求解即可． 【详解】解：如图所示： ， 设点关于轴的对称点为，，点关于直线直线的对称点为，， 连接交于点，交轴于点，则此时的周长取最小值，且最小值为． 与关于直线对称， ，解得，， 与关于轴对称，， 此时直线的方程为即 由解得即 的最小周长，此时点的坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的问题，体现了数形结合的思想，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量，并求的模长； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【小问1详解】 ， ，所以 【小问2详解】 设为异面直线与所成的角， ，所以异面直线与所成的角. 16. 已知直线和圆 . （1）直线交圆C于A，B两点，求弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【小问1详解】 由圆C：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 【小问2详解】 ① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线； ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即， 因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 17. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. （1）证明：平面； （2），P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）连接，交于点，连接，如图所示. 三棱柱的所有棱长均相等，四边形是菱形； ，是的中点； 是的中点，. ，，平面. 平面，平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连结，利用棱柱性质及线面平行的判定定理完成证明； （2）结合平面平面，是等边三角形，，证明，，两两垂直，以此为基础建立空间直角坐标系，设参数表示向量，分别求出平面和平面的一个法向量，根据二面角的余弦值公式列方程，求解参数后计算的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 三棱柱的所有棱长均相等，是等边三角形； 是的中点，. ，，，，； 在中，，，得，即. 平面平面，平面平面， 平面. 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，； ，， 平面，平面的一个法向量为. 为线段上一点，设. 四边形是菱形，，. . 设平面的一个法向量为， 则，即，得. 令，则，，得. 设二面角的夹角为，则，解得. ，. ，即为的中点，即. 的长为. 18. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线：上． （1）求圆的方程； （2）已知点在圆上，求的最大值； （3）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出圆心和半径，可确定圆的方程. （2）问题转化为根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围. （3）利用相关动点法求动点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即. 与直线：联立解得. 所以圆心的坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为. 【小问2详解】 设，由题意，直线与圆：有公共点， 所以. 所以的最大值为. 【小问3详解】 设，线段的中点为，，为中点， 所以. 如图： 因为端点在圆：上运动，所以， 所以，整理得：. 所以线段的中点的轨迹方程是． 19. 平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． （1）如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（i）由，得平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，又因为， 平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． （ii）. （2）存在，且． 如图，分别取线段的中点，，，， 连接． 首先证明：平面． 因为点，，，在球的球面上，所以， 又因为为公共边， 所以与全等， 因此， 而，所以， 因此，又因为平面， 所以平面，同理平面． 再考虑各二面角的平面角． 由，分别为中点知，， 又因为，所以， 又因为平面，所以为在平面内的射影， 结合三垂线定理知，所以二面角的平面角为，记为， 同理，二面角的平面角为，记为， 由平面平面知，分别为平面，平面的法向量， 所以与的夹角或， 而为锐角，因此， 综上可知，， 且， 所以， 若，则，因此， 即，解得或（舍去）． 综上存在，且． 【解析】 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （ii）在平面内作，垂足为，利用线面角的定义得到线面角的平面角，再求出其正弦值即可； （2）作出相关辅助线，首先证明平面，平面，再找到二面角的平面角，从而得到关于的方程，解出即可. 【小问1详解】 （i）略； （ii）如图在平面内作，垂足为，连接． 由（i）－知平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，因此为在平面内的射影， 故为与平面所成角的平面角，且， 由知，， 由（i）知平面平面，所以，结合，得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $