广东汕头市金山中学2026-2027学年高二上学期10月阶段考试数学试题

2025级高二第一学期阶段考试数学科试卷 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.56 D．0.5 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 7．三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．对圆上任意一点，若的值与都无关，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分． 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（），则下列说法正确的是（     ） A．若，则C为直角 B．若，则B为钝角 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为第二象限角，且，则__________． 13．已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 14．一个正四棱台形盒子（厚度不计），底边长为1，顶边长为3，容积为，放进一块正四面体积木后盖上盖子，若积木能在其中自由转动，则积木体积的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 (1)求A； (2)若BC边上的高为1，且，求． 16．（本小题满分15分）某学校高二年级举办一次数学竞赛，对报名的500名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这500名学生测试分数的90%分位数； (2)采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，再从抽出的5人中随机选取2人，查看他们的答题情况，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17．（本小题满分15分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足////平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分17分）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分）已知函数. (1)证明：，都有； (2)当时，求不等式的解集； (3)是否存在实数，对任意一个整数，关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ■ 2026-2027第一学期高二数学阶段考试答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 考号 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 [o][0] [0] [0] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 [1] [1] [1] [1] [1] 皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 [3] [3] [3] [3] [3] 域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] 6] [6] [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [9] 9] 9] [9] [9] 单选题 1[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 多选题 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14 I 1 囚▣囚■ 第1页共6页 ■ ■ ▣ 15. 个 ■ 囚囚■囚 a 第2页共6页 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App ■ (用户名和初始密码均为准考证号) ■ 2026-2027第一学期高二数学阶段考试答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 考号 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 [0] [0] [0] [0] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 [1] [1] [1] [1] [1] 皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 [3] [3] [3] [3] [3] 域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [ [5] [6] [6] [61 [6] 正确填涂 缺考标记 ▣ [7] 7] [7] I 8] [8 [9] [ 9] h冈S I I 1 ㄖ囚■■ 第3页共6页 ■ ■ ▣ 17. 1 G F E C B 囚■囚囚 a 第4页共6页 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App ■ (用户名和初始密码均为准考证号) a 2026-2027第一学期高二数学阶段考试答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 考号 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清 楚。 [0] [0] [0] [0] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 [1] [1] [1] [1] [1] 皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 [3] [3] [3] [3] [3] 域书写无效。 [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] 正确填涂 缺考标记 口 J [7] [7] [8 [8] [8] [81 [9] [9] [9] [9] [9] 18. I I 1 囚■囚■ 第5页共6页 ■ ■ ▣ 19 1 ■ ㄖ■■囚 a 第6页共6页 2025级高二第一学期阶段考试数学科试卷答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C C A B D ABC BCD BC 二．填空题 12. 13. 14 . 15.【详解】（1）解法一：由，及正弦定理得， 所以， 即，即， 因为、，则，所以，所以， 解法二：由及余弦定理得， 所以，即，所以， 又，所以． （2）记边上的高为，则， 由（1）得，所以， 所以由余弦定理可得， 所以，所以， 所以或（舍），故． 16.【详解】（1）根据频率分布直方图，求得各组的频率； 组的频率为，组的频率为， 组的频率为，组的频率为， 因此组的频率为， 所以； 前四组的累积频率为，所以分位数应在区间， 设分位数为分，则，解得， 故分位数为分； （2）采取分层抽样，区间与区间的频率比为， 而两区间总计抽出人，故从区间抽出人，从区间抽出人， 记区间的两人为，区间的三人为, 从这五人中抽出两人，样本空间， 样本空间有个元素， 其中至少一人在区间内的元素有个， 所以这人中至少一人分数在内的概率为. 17.【详解】（1）(1)证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以 设平面的法向量为，则 令，得，所以. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 18.【详解】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    19．【详解】(1)因为，所以，都有. （2）因为，且，所以， 所以，则 则 又，所以，所以， 所以，则， 所以，，解得，， 又，所以. （3）假设存在正数，对于任意，关于的方程在 区间内至少有三个不同实数解. 所以， 所以①，或② 对于方程①，若，则，方程①不成立，所以 所以对于任意恒成立，所以，所以. 对于方程②， （Ⅰ）若，则，当为奇数时，，方程②无解； （Ⅱ）若，则对于任意，，所以，得. （Ⅲ）若，则对于任意，，则，则 （Ⅳ）若，则，所以且， 所以，因此方程②无解. 综上，原方程的解为或或. 若，则方程的解为，，；若，则方程的解为，，； 所以若，对任意一个整数， 关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解， 故正数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $