专题02 圆锥曲线（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆 /考点二 双曲线 /考点三 求轨迹方程 /考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 05 重难题型突破 题型一定义，焦点三角形，焦半径 题型二求标准方程，渐近线，求参数 题型三离心率求值、离心率范围 题型四轨迹方程：直译、定义、相关点 题型五中点弦、点差法 题型六联立韦达，弦长、面积 型七定点、定值、面积最值、参数范围综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①圆锥曲线定义应用（第一定义、焦半径、焦点三角形周长面积）；②标准方程求解，基本量运算；③离心率计算、离心率取值范围；④渐近线、抛物线焦点准线；⑤轨迹方程四种求法（直译、定义、相关点、参数）；⑥直线与圆锥曲线：联立韦达、弦长公式、点差法中点弦；⑦定点、定值、面积最值； 难度分布：基础题集中在定义、求标准方程、简单离心率；中档难点：焦点三角形、点差法、弦长计算；压轴大题：直线与圆锥曲线综合（定点、面积、范围）。 识记 熟记椭圆、双曲线第一定义，区分条件限制；记住a,b,c三者关系式；双曲线渐近线；抛物线定义、焦点、准线；弦长公式；点差法适用条件。 理解 理解定义中常数的边界条件；理解焦点三角形几何特征；区分 “设而不求” 韦达法与点差法；直线与双曲线、抛物线一个交点≠相切；理解离心率几何含义。 应用 利用定义快速处理焦半径、周长；会求各类圆锥曲线标准方程；会求离心率以及离心率范围；会用直译法、定义法、相关点法求轨迹；联立方程 + 韦达定理处理弦长、面积；点差法处理中点弦，检验判别式；解决定点定值、面积最值综合大题。 考点一 椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹； 若2a=2c轨迹是线段；2a<2c无轨迹。 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 参数关系：，a长半轴，b短半轴，c半焦距；焦点或 几何性质：范围、关于 x 轴 y 轴原点对称；顶点； 离心率：；e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆。 焦半径：椭圆上点到焦点距离。 考点二 双曲线 定义：平面内与两定点距离差的绝对值等于常数2a点轨迹； 去掉绝对值仅表示双曲线的一支；2a=2c是两条射线；2a>2c无轨迹。 标准方程 焦点x轴： 焦点y轴： 参数关系：，c>a>0 几何性质：范围、对称性、顶点； 渐近线：焦点 x 轴：；焦点 y 轴：； 离心率，，e越大双曲线开口越开阔。 考点三 求轨迹方程 直译法（直接法）：把几何条件直接翻译成坐标等式； 定义法：判断轨迹满足椭圆 / 双曲线 / 抛物线定义，直接写标准方程； 相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动； 参数法；注意：要剔除不符合条件的点。 考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程 ：两个不同交点（相交）；一个公共点（相切）；无交点。 ⚠️注意：直线与双曲线、抛物线交于一点，不一定相切，有可能直线与渐近线平行 / 与抛物线对称轴平行。 弦长公式 设交点，直线斜率为k 韦达定理（设而不求）：，用于中点、向量、面积计算。 点差法（中点弦）：处理已知弦中点求直线斜率问题，椭圆、双曲线适用，求出结果务必带回检验。 题型一定义，焦点三角形，焦半径 典例1（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．26 迁移应用 1．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二求标准方程，渐近线，求参数 典例1 （安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 2．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为___________． 题型三离心率求值、离心率范围 典例1 （安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）已知双曲线的离心率为2，则点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型四轨迹方程：直译、定义、相关点 典例1 （福建省厦门市第二外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在抛物线上任取一点，过点作x轴的垂线段，为垂足，当点在抛物线上运动时，为线段的中点．（当点经过抛物线与x轴的交点时，规定点M与点重合）． (1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． (2)点在直线上，直线l绕点P旋转，试讨论直线和第（1）题所求曲线的公共点个数． 迁移应用1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 题型五中点弦、点差法 典例1 （福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 迁移应用1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 题型六联立韦达，弦长、面积 典例1（福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； 迁移应用1．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长． 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 型七定点、定值、面积最值、参数范围综合 典例1 （安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，已知椭圆的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中， ①证明：直线过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 迁移应用 1．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 2．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）（1）已知点和圆：，若点在圆上，求点处切线的方程； （2）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切线分别切圆于，两点，求直线的方程； （3）法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述：已知圆锥曲线：.则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.已知点和直线为椭圆：的一对极点和极线. ①根据材料写出极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作直线交椭圆于，两点，记，，所在直线的斜率依次为，，.求证：. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 5．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 7．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 3．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 4．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知椭圆经过点，点（异于）在椭圆上，过且斜率为2的直线交直线于点，直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在第一象限，求四边形面积的最大值； (3)求证：直线经过定点. 5．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 椭圆 /考点二 双曲线 /考点三 求轨迹方程 /考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 05 重难题型突破 题型一定义，焦点三角形，焦半径 题型二求标准方程，渐近线，求参数 题型三离心率求值、离心率范围 题型四轨迹方程：直译、定义、相关点 题型五中点弦、点差法 题型六联立韦达，弦长、面积 型七定点、定值、面积最值、参数范围综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①圆锥曲线定义应用（第一定义、焦半径、焦点三角形周长面积）；②标准方程求解，基本量运算；③离心率计算、离心率取值范围；④渐近线、抛物线焦点准线；⑤轨迹方程四种求法（直译、定义、相关点、参数）；⑥直线与圆锥曲线：联立韦达、弦长公式、点差法中点弦；⑦定点、定值、面积最值； 难度分布：基础题集中在定义、求标准方程、简单离心率；中档难点：焦点三角形、点差法、弦长计算；压轴大题：直线与圆锥曲线综合（定点、面积、范围）。 识记 熟记椭圆、双曲线第一定义，区分条件限制；记住a,b,c三者关系式；双曲线渐近线；抛物线定义、焦点、准线；弦长公式；点差法适用条件。 理解 理解定义中常数的边界条件；理解焦点三角形几何特征；区分 “设而不求” 韦达法与点差法；直线与双曲线、抛物线一个交点≠相切；理解离心率几何含义。 应用 利用定义快速处理焦半径、周长；会求各类圆锥曲线标准方程；会求离心率以及离心率范围；会用直译法、定义法、相关点法求轨迹；联立方程 + 韦达定理处理弦长、面积；点差法处理中点弦，检验判别式；解决定点定值、面积最值综合大题。 考点一 椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹； 若2a=2c轨迹是线段；2a<2c无轨迹。 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 参数关系：，a长半轴，b短半轴，c半焦距；焦点或 几何性质：范围、关于 x 轴 y 轴原点对称；顶点； 离心率：；e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆。 焦半径：椭圆上点到焦点距离。 考点二 双曲线 定义：平面内与两定点距离差的绝对值等于常数2a点轨迹； 去掉绝对值仅表示双曲线的一支；2a=2c是两条射线；2a>2c无轨迹。 标准方程 焦点x轴： 焦点y轴： 参数关系：，c>a>0 几何性质：范围、对称性、顶点； 渐近线：焦点 x 轴：；焦点 y 轴：； 离心率，，e越大双曲线开口越开阔。 考点三 求轨迹方程 直译法（直接法）：把几何条件直接翻译成坐标等式； 定义法：判断轨迹满足椭圆 / 双曲线 / 抛物线定义，直接写标准方程； 相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动； 参数法；注意：要剔除不符合条件的点。 考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程 ：两个不同交点（相交）；一个公共点（相切）；无交点。 ⚠️注意：直线与双曲线、抛物线交于一点，不一定相切，有可能直线与渐近线平行 / 与抛物线对称轴平行。 弦长公式 设交点，直线斜率为k 韦达定理（设而不求）：，用于中点、向量、面积计算。 点差法（中点弦）：处理已知弦中点求直线斜率问题，椭圆、双曲线适用，求出结果务必带回检验。 题型一定义，焦点三角形，焦半径 典例1（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．26 【答案】C 【分析】椭圆方程，左、右焦点分别为，，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆方程，设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆长轴长， ，，得的周长为． 故选：C 迁移应用 1．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线可以得出双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，且椭圆与双曲线有相同焦点，设标准方程为，将点代入椭圆方程，最后计算结果 【详解】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 2．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 题型二求标准方程，渐近线，求参数 典例1 （安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【详解】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 迁移应用 1．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 2．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为___________． 【答案】 【分析】根据椭圆的概念，判断基本量，进而写出椭圆标准方程. 【详解】由题意可知，动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故答案为：. 题型三离心率求值、离心率范围 典例1 （安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的定义，结合，求得，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则， 又因为， 即， 可得，则， 在中，， 即，解得， 所以，则， 所以，解得， 故椭圆的离心率为． 故选：D 迁移应用 1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）已知双曲线的离心率为2，则点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】根据题意，，即，所以，所以，所以双曲线：的渐近线方程为：， 所以点到双曲线渐近线的距离为：，点到双曲线渐近线的距离为：. 故选：B. 2．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 题型四轨迹方程：直译、定义、相关点 典例1 （福建省厦门市第二外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在抛物线上任取一点，过点作x轴的垂线段，为垂足，当点在抛物线上运动时，为线段的中点．（当点经过抛物线与x轴的交点时，规定点M与点重合）． (1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． (2)点在直线上，直线l绕点P旋转，试讨论直线和第（1）题所求曲线的公共点个数． 【答案】(1),开口向右，焦点坐标为，准线为的抛物线； (2) 当或或斜率不存在时，直线和抛物线无公共点； 当或或时，直线和抛物线有一个公共点； 当且时，直线和抛物线有两个公共点. 【分析】(1)设点，，以及轴可得出点坐标，根据和点的位置关系，及点在抛物线上即可求出结果； (2)先分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可得直线方程，当直线斜率存在时，设直线方程为，与(1)中求出抛物线联立，再分与两种情况讨论，当根据判别式即可确定直线和抛物线的公共点个数. 【详解】（1）设点，，根据轴可得出点， 因为为线段的中点，则，即， 又因点在抛物线上， 代入可得，化简可得， 当点经过抛物线与x轴的交点时，点M与点重合，代入也满足， 所以点M的轨迹方程为，它是开口向右，交点坐标为，准线为的抛物线. （2）根据题意当直线斜率不存在时，因为直线恒过点， 可得方程为，代入，可得方程无实数根，此时无公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 当时，直线方程为，代入中可得，此时有一个公共点； 当时，将直线与抛物线联立可得， 整理可得， 计算该方程根的判别式可得 ， 当，即或时，此时直线和抛物线无公共点； 当，即或时，此时直线和抛物线有一个公共点； 当，即且时，直线和抛物线有两个公共点； 综上可得：当或或斜率不存在时，直线和抛物线无公共点； 当或或时，直线和抛物线有一个公共点； 当且时，直线和抛物线有两个公共点. 迁移应用1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，；    （2）设， 联立得， 由韦达定理得， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 题型五中点弦、点差法 典例1 （福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【答案】(1) (2)，5 【分析】（1）根据题意和椭圆的性质求出，的值，写出椭圆方程； （2）用点差法求直线斜率，再结合韦达定理求弦长. 【详解】（1）由题意：，所以. 又因为椭圆：的右顶点为，所以，， 所以的标准方程为. （2）设交点坐标，， 因为弦被点平分，所以，.    又，两式相减得：， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 因为：，与椭圆方程联立， 所以，， 由弦长公式可知. 迁移应用1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，分别求出B点和点坐标，可得b和c的值，根据的关系，可得a值，代入离心率公式，即可得答案. （2）由（1）得椭圆的方程，与直线l联立，可得A点横坐标，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    题型六联立韦达，弦长、面积 典例1（福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； 【答案】(1) (2) （i）易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴. ， 故为定值. 迁移应用1．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值. 【详解】（1）由题可知：，即，可得， 因为点在椭圆上，则， 联立方程，解得， 所以椭圆. （2）由题可知，，故直线的斜率， 且直线与椭圆必相交，设点， 联立直线与椭圆方程，消去y得， 根据韦达定理：，， 所以. 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先连接，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆的定义，即可求出结果； （2）先由题意得到满足条件的点存在，利用椭圆的性质和勾股定理建立方程，再根据三个方程联立，即可求出结果. 【详解】（1）如图，连接，作出符合题意的图形， 由题意得为等边三角形，可知，， 则，可得，得到， 于是， 故椭圆的离心率为. （2）设满足条件的点到的距离， 而，则， ，， ， 整理得，即，记为①式， 又，，记为②式， 联立①②得，，而，， 由于，即，， 当时，， 当时，， 要使方程在上有解，则方程，解得， 所以的取值范围. 型七定点、定值、面积最值、参数范围综合 典例1 （安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，已知椭圆的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中， ①证明：直线过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1)； (2) ①证明：由（1）得，， 直线，的方程分别为，， 由，得， ，可得， ， 由，得， ，可得， ， ， 直线的方程为：， 即， 可得直线过定点. ②. 【分析】（1）由椭圆性质求得，从而可得椭圆方程； （2）①写出直线，方程，与椭圆方程联立求出，的坐标，再求得直线方程后，由方程判断出定点；②设，，设的方程为：，代入椭圆方程可得韦达定理，然后利用点坐标求得，利用函数性质得最大值. 【详解】（1）椭圆的长轴长为4， ，， 又椭圆的离心率为， ，， ， 椭圆的方程为：. （2）①略 ②设的方程为：， 由，得， 设，，则，， ， 令，， 由，且函数在递增， 时， 取得最大值. 迁移应用 1．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）由双曲线的焦距为得到，再由其中一条渐近线方程为，得到求解； （2）设过P点的切线l的方程为，由动圆D的圆心到切线l的距离为，设直线，与双曲线的方程联立，结合韦达定理求得点B和C的坐标，写出直线BC的方程求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 2．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）（1）已知点和圆：，若点在圆上，求点处切线的方程； （2）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切线分别切圆于，两点，求直线的方程； （3）法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述：已知圆锥曲线：.则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.已知点和直线为椭圆：的一对极点和极线. ①根据材料写出极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作直线交椭圆于，两点，记，，所在直线的斜率依次为，，.求证：. 【答案】（1）（2）（3）①  ②因为，所以，即极线与椭圆相交， 设，经过P的直线交椭圆于， 代入椭圆方程可得， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 当过点的直线的斜率为0时，， 所以，， 所以， 综上，. 【分析】（1）当切点不在坐标轴上时，根据切线与过圆心和切点直线垂直，求出切线斜率，即可得到切线方程，再验证切点在坐标轴上也成立即可； （2）根据（1）直接得到过的两条切线，代入点坐标，再证明切点坐标分别满足同一方程，即可得解； （3）①根据新定义直接写出极线方程即可； ②联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理以及斜率公式证明即可 【详解】（1）在圆上， ， 当点不在坐标轴上时， 切线方程为：， 化简得：， 当点在坐标轴上时，可以验证上述方程同样适用, 即切线的方程为：. （2）如图， 设, 由（1）得过两点的切线方程分别为， 因为两切线都过， 所以，， 即的坐标都满足方程， 又两点确定一条直线，所以直线的方程为. （3）①由题意易知，极点，对应极线的方程为，即. ②略 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 2．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】 直线过原点，可设，则，； ，， ，. 故选：B. 3．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 4．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【详解】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 5．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接，    由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 6．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 7．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 8．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程确定即可求解. 【详解】根据题意，，可知， 所以渐近线方程为：． 故选：A 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1)曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线 (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． （2）根据已知作图如下．    由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①，； ②联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）①由弦长公式及三角形面积公式确定三角形面积，再结合二次函数求最值即可；②将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）①设坐标原点到直线的距离为， 联立， 得， 可得， 设，， 则， 所以此时 当，即时， 三角形面积有最大值 ②略 3．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    4．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知椭圆经过点，点（异于）在椭圆上，过且斜率为2的直线交直线于点，直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在第一象限，求四边形面积的最大值； (3)求证：直线经过定点. 【答案】(1)； (2) ； (3) 解法一：设直线的方程为， 点关于直线对称，则 又，且， 所以，， 即． 联立， 所以 所以， 化简得， 即，则或． 若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）； 若，则直线过定点． 解法二：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即． 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 联立整理得， 因为且， 所以，所以， 同理可得， 由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为， 因为在直线上，所以， 所以， 同理可得， 所以是关于k的方程的两个根， 则 所以， 所以， 故直线过定点． 解法三：因为且，不妨取点M在第一象限， 所以为的平分线，所以， 设直线的斜率分别为， 因为， 所以， 即， 所以，即．① 经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立． 设直线的方程为， 把椭圆向左平移2个单位长度，得， 即， 联立， 即，即（等式两端同除）， 所以是方程的两个根，由韦达定理得② 把②代入①得， ，则，解得 此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点． 【分析】（1）依题意直接得到、，从而求出椭圆方程； （2）点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立直线与椭圆方程，根据求出的值，即可求出面积的最大值； （3）法一：设直线的方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，代入求出、的关系，即可求出直线过定点坐标；法二：设直线的斜率分别为，推导出，再设直线的方程为，联立、消元，列出韦达定理，求出、的关系；法三：设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，齐次化，求出此时直线过定点坐标，即可得解. 【详解】（1）根据题意，有， ； （2）因为，所以，即， 因为，即关于直线对称， 所以四边形的面积， 即，且为M到直线的距离， 因为，所以取得最大值时，即为点M到直线的距离最大时． 直线的方程为， 若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大， 设该切线方程为， 联立， ， 因为点M在第一象限内，所以（正值舍去）， 所以点M到直线的距离的最大值为， ， 当时，． （3）略 5．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2) ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【详解】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. （2）①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $