专题05 抛物线（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题05 抛物线（期中复习讲义） 抛物线专题在期中考试里，核心考点：抛物线的定义和方程，抛物线的焦半径，焦点弦的相关性质，中点弦方程，阿基米德三角形，直线与抛物线的位置关系。 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义与方程 抛物线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握抛物线的定义求轨迹方程 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程抛物线的焦半径的应用 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 直线与抛物线的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 抛物线的方程及简单性质 1、抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点为抛物线的焦点；直线为抛物线的准线. 2、抛物线的性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点01 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 题型一 抛物线方程 解｜题｜技｜巧 根据抛物线的定义和方程，求解出抛物线的焦点坐标和准线方程，带入计算即可 通过抛物线的定义推导出抛物线的焦半径坐标式. 易｜错｜点｜拨 容易把的焦点和准线和混淆. 【典例1】（25-26高三上·广西柳州·开学考试）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由准线方程可设抛物线方程为：，据此可得答案. 【详解】因抛物线的准线方程为，则设抛物线方程为：， 则，则抛物线标准方程为：. 故选：C 【变式2】（25-26高三上·全国·阶段练习）若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，点到焦点的最短距离为，代入求解即可． 【详解】抛物线上的点到焦点的最短距离为， ，解得， 所以抛物线方程为． 故选：D． 题型二 抛物线的焦半径 解｜题｜技｜巧 抛物线的焦半径的坐标式：，倾斜式：，抛物线的焦半径的坐标式：，倾斜式： 易｜错｜点｜拨 容易把两个的坐标式和倾斜式的焦半径公式弄混淆. 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 题型三 抛物线的定义（最值） 答｜题｜模｜板 利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离，转化为点到直线的距离公式进行求解. 易｜错｜点｜拨 同意转化为点到点的距离进行错误求解，应该转化为点到直线的距离，垂线段进行求解. 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示： 当三点共线时，取得最小值， 故选：C 【变式1】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果. 【详解】记抛物线C的准线为，作于T，如下图所示： 抛物线定义可知，，且，所以 当P，Q，T三点共线时，有最小值， 最小值为． 故选：D 【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 题型四 抛物线过焦点的简单性质 解｜题｜技｜巧 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； 易｜错｜点｜拨 抛物线与的过焦点的直线的结论即把互换，学生容易把两个用同一结论. 【典例1】（24-25高二上·广西百色·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A． B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】选项A：直线与轴交点即为抛物线的焦点，可得；选项B：抛物线方程为，联立方程可得，进而可得； 选项C：根据线段的中点与半径相等，可判断；选项D：根据，可判断. 【详解】 对于A，因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项错误； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 将直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由选项B可知，由方程可得或， 又到的距离等于到准线的距离，且准线方程为， 当时，，则圆的半径为2，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 当时，，则圆的半径为，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 【变式1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【详解】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可得，解方程组即可求解. 【详解】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：. 联立方程组，消去并整理得. ， 设，，则，. ，，即. 由韦达定理得. 联立方程组，解得或. . 故选：A. 题型五 抛物线过焦点的性质 答｜题｜模｜板 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即，， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 【变式1】（24-25高二下·广东·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据直线过焦点可得选项A正确；求出点坐标，利用两点间距离公式可得选项B正确；联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得选项C错误；求出点坐标，结合焦半径公式可得选项D正确. 【详解】 A.由题意得，，故，，A正确. B.由A得，抛物线标准方程为，准线方程为， ∴，故，正确. .设，由得，， ∴，故，C错误. D.由得，，故， ∴，故， ∴，D正确. 故选：ABD. 【变式3】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．（为坐标原点） D．当取最小值时， 【答案】ABD 【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】依题意得，设直线：， 联立得，则， 则，解得或，则， 或，则直线的斜率，故A项正确. ， 当且仅当时等号成立，故B项正确. 因为，所以，故C项错误. ，则，由抛物线的定义可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确. 故选：ABD 题型六 抛物线的光学性质 答｜题｜模｜板 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 易｜错｜点｜拨 不容易转化为抛物线过焦点的直线的结论进行求解. 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）（多选）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为.设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，.直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若，因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 【变式1】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 【变式2】（2025·广东惠州·一模）（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义即可判断选项A；设直线的方程为，联立方程组求解即可判断选项B；由求出，由两点间的距离求解即可判断选项C；直线的方程为，又，联立求解即可判断选项D. 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确； 设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确； 若点，则，，，故C错误； 直线的方程为，又，即， 令，可得，即， 而直线的方程为，则点在直线上，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【答案】ABC 【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确； 对于B，，故可设，联立， ，，故，故B正确； 对于C，若点，则，则， 故，故C正确； 对于D，由题可得，令得， 所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误； 故选：ABC 题型七 阿基米德三角形 答｜题｜模｜板 过抛物线外一点做抛物线的切线的两条切线，切点与定点之间为阿基米德三角形，重点考查过焦点的直线与抛物线交于两点，过两点做抛物线的切线，切线的焦点在准线上，且为中点的连线与对称轴平行。 1、过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. 2、. 3、. 易｜错｜点｜拨 反向求解时，切线问题用导数进行切线求解，学生不容易掌握 【典例1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）（多选）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（ ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）（多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D. 【详解】设， 设直线：， 联立得， 则， 设过点的切线为， 联立得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为， 所以处切线方程分别为， 联立可得，故A正确； 又即，， 所以，， 所以，， 即，C正确； 又， 所以， ， 所以 ，B错； 由上述知，， 又因为直线斜率为， 所以， 设准线与轴的交点为， 则面积， 当轴时，最短（最短为）， 也最短（最短为）， 此时面积取最小值，D正确. 故选：ACD 【变式2】（23-24高二下·河南驻马店·期末）（多选）点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（ ） A．为直角三角形 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】将抛物线的一部分视为函数，利用导数求出斜率，写出切线方程，并联立得到切点，再证明垂直判断A，针对斜率情况进行讨论，证明垂直判断B，利用基本不等式判断C，在特殊情况下求出关键点的坐标，检验等式判断D即可. 【详解】 对于A，设直线的方程为， 设点的坐标分别为， 令，联立，则 因此，当时，抛物线方程为， ，， 则在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 联立，解得，， 因此M坐标为， ， 因此，所以是直角三角形，故A正确， 对于B，当直线斜率不存在时，此时，所以， 此时，，代入抛物线中得到， 解得，由对称性得到，所以， 根据对称性可得，此时是的中点， 根据三线合一的原理可知， 当直线斜率存在时，可得， 因此，故B正确， 对于C，， 当且仅当，即时取等，故C错误， 对于D，此时，解得，此时直线的斜率不存在， 所以，，， 则，， 故，故D正确. 故选：ABD 题型八 解答题训练 答｜题｜模｜板 1、直线与抛物线相交时： （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入抛物线方程，可求，得抛物线的标准方程. （2）设直线：，与抛物线方程联立，根据韦达定理，表示出，表示，可求其取值范围. （3）设直线，与抛物线方程联立，可得，，再把转化成，可求的值，得到直线方程. 【详解】（1）由题意抛物线C经过点，代入方程可得. 所以抛物线的标准方程为：. （2）如图： 依题意，直线与抛物线有2个交点 所以直线斜率不为0， 设直线 联立，整理得 ． 整理得： 故的取值范围是. （3）如图： 由题意得抛物线的焦点， 又由，可知直线过焦点且斜率不为0 于是可设直线的方程为：， 设 联立方程组得 于是 由可知，，代入上式 所以直线的方程或. 【变式1】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【变式2】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入抛物线方程可得答案. （2）由题可得，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据此可得答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，因为，则，故到轴的距离为3. 故选：A． 3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线的性质和直接可得. 【详解】由抛物线，得准线为，. 再由直线与准线交于点，所以， 则，解得. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可. 【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为， 故由题意可得，，得. 故选：B 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】由抛物线的焦点坐标可判断A，由抛物线的定义计算过焦点的弦长可判断B，根据圆和直线的位置关系可判断C，利用点到直线的距离公式计算高，再由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为， 则，，故A正确； 对于B，设，，联立得， 则，，故B错误； 对于C，， 设中点为，则， ，到直线的距离，以为直径的圆的半径， 由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，到的距离， 则的面积为，故D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则________________. 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 8．（2025·湖南湘潭·一模）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y轴异侧的两点，且的面积为，则__________________. 【答案】 【分析】利用焦半径公式求出A点坐标，再利用的面积结合抛物线方程求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设，则由可得，得， 则，则，不妨取，则， 设，则满足， 由于的面积为即， 即，即，则 又，则，解得或（舍去）， 故，则， 故， 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得. 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3. 故选：B 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，得出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理写出的表达式，即可求出的值. 【详解】由题意， 过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为， ∴直线的斜率为， ∴直线的斜率为， 直线的方程为，即， 联立方程，得恒成立， ∴， ∵，点，在直线上， ∴，， ∴， 解得. 故选：B 5．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于C，由图结合，可得为线段的中点，然后结合抛物线定义可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误；对于A，由CD分析可得直线斜率，结合，可得直线方程；对于B，取线段中点，过作轴于，结合几何知识可判断选项正误. 【详解】抛物线的焦点，准线，. 对于C，如图，因为，所以为线段的中点，， 过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则， 由抛物线的定义可知，，得，故C正确； 对于D，在中，有，得，故D正确； 对于A，，则直线的斜率为，又 所以直线的方程为， 即或，故A错误； 对于B，取线段中点，过作轴于， 则， 所以，即线段中点到轴的距离等于，则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确． 故选：BCD． 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的定义求解判断ABC；表示出的面积，进而求解判断D. 【详解】由抛物线，则，准线， 设直线的方程为，， 联立，则， 则，， 则， ， 而，. 对于A，由，则，即， 则，解得（舍去）或，即， 所以，或，， 则直线的斜率为或，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，， 点到直线的距离为， 则， 当时，的面积取得最小值8，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题设易得，即可得抛物线方程； （2）设，，联立抛物线，应用点线距离公式、韦达定理及弦长公式，结合已知三角形的面积列方程求参数，即可得. 【详解】（1）由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2，则， 不妨令，则，结合，则，解得， 所以； （2）由题设，可设，则到该直线的距离， 联立与，可得，， 若，所以，， 所以，故，可得， 所以，即或. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦半径公式求，即可求抛物线方程； （2）首先设直线，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，即可求解直线方程. 【详解】（1）由条件可知，，得， 所以抛物线方程为； （2）设直线，，，， 联立，得， ，，① 由，可得，② 由①②可知，，或，， 所以或，得或， 即直线的方程为，即或，即. 2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为， 又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么 所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得： ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 4．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点. (1)求的方程. (2)求的取值范围. (3)设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据焦点坐标得出，即可得出抛物线方程； （2）联立直线和抛物线应用判别式列式求解； （3）把转化为应用斜率列式求参. 【详解】（1）因为，所以，的方程为. （2）由得， 则， 得，即的取值范围为. （3）设，，由（2）知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线（期中复习讲义） 抛物线专题在期中考试里，核心考点：抛物线的定义和方程，抛物线的焦半径，焦点弦的相关性质，中点弦方程，阿基米德三角形，直线与抛物线的位置关系。 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义与方程 抛物线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握抛物线的定义求轨迹方程 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程抛物线的焦半径的应用 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 直线与抛物线的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 抛物线的方程及简单性质 1、抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点为抛物线的焦点；直线为抛物线的准线. 2、抛物线的性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点01 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 题型一 抛物线方程 解｜题｜技｜巧 根据抛物线的定义和方程，求解出抛物线的焦点坐标和准线方程，带入计算即可 通过抛物线的定义推导出抛物线的焦半径坐标式. 易｜错｜点｜拨 容易把的焦点和准线和混淆. 【典例1】（25-26高三上·广西柳州·开学考试）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·全国·阶段练习）若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 题型二 抛物线的焦半径 解｜题｜技｜巧 抛物线的焦半径的坐标式：，倾斜式：，抛物线的焦半径的坐标式：，倾斜式： 易｜错｜点｜拨 容易把两个的坐标式和倾斜式的焦半径公式弄混淆. 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【变式2】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 抛物线的定义（最值） 答｜题｜模｜板 利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离，转化为点到直线的距离公式进行求解. 易｜错｜点｜拨 同意转化为点到点的距离进行错误求解，应该转化为点到直线的距离，垂线段进行求解. 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．5 【变式1】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．7 D．9 【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 题型四 抛物线过焦点的简单性质 解｜题｜技｜巧 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； 易｜错｜点｜拨 抛物线与的过焦点的直线的结论即把互换，学生容易把两个用同一结论. 【典例1】（24-25高二上·广西百色·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A． B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．为等腰三角形 【变式1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型五 抛物线过焦点的性质 答｜题｜模｜板 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【变式1】（24-25高二下·广东·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．（为坐标原点） D．当取最小值时， 题型六 抛物线的光学性质 答｜题｜模｜板 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 易｜错｜点｜拨 不容易转化为抛物线过焦点的直线的结论进行求解. 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）（多选）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 【变式1】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【变式2】（2025·广东惠州·一模）（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 题型七 阿基米德三角形 答｜题｜模｜板 过抛物线外一点做抛物线的切线的两条切线，切点与定点之间为阿基米德三角形，重点考查过焦点的直线与抛物线交于两点，过两点做抛物线的切线，切线的焦点在准线上，且为中点的连线与对称轴平行。 1、过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. 2、. 3、. 易｜错｜点｜拨 反向求解时，切线问题用导数进行切线求解，学生不容易掌握 【典例1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）（多选）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（ ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【变式1】（23-24高二上·四川乐山·期末）（多选）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ） A．点在抛物线（）的准线上 B．存在点，使得 C． D．面积的最小值为 【变式2】（23-24高二下·河南驻马店·期末）（多选）点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（ ） A．为直角三角形 B． C． D．若，则 题型八 解答题训练 答｜题｜模｜板 1、直线与抛物线相交时： （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点． (1)求拋物线的标准方程； (2)若直线过定点，求面积的取值范围； (3)若，求直线的方程． 【变式1】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【变式2】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A．3 B． C．4 D．5 3．（25-26高三上·福建福州·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26高三上·北京·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．的面积为 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则________________. 8．（2025·湖南湘潭·一模）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y轴异侧的两点，且的面积为，则__________________. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ） A．12 B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A．2 B．3 C． D．4 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（ ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的方程． 2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点. (1)求的方程. (2)求的取值范围. (3)设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $