专题01 直线与圆（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题01 直线与圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线 / 考点二 圆 05 重难题型突破 题型一倾斜角斜率、直线方程、定点、截距 题型二平行垂直、距离 题型三 圆方程、一般标准互化 题型四直线圆位置，弦长，面积最值 题型五 切线方程 题型六两圆位置、公共弦、切点弦 题型七反射、轨迹、圆上点最值、阿波罗尼斯圆 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①倾斜角斜率计算，过定点动直线；②五种直线方程选用，截距问题；③平行、垂直判定，距离（两点、点到直线、平行线距离）；④圆的一般方程转标准方程，求圆心半径；⑤直线与圆：位置判定、弦长计算、切线方程；⑥两圆位置关系、公共弦直线；⑦几何综合：动点轨迹、圆上点最值、切点弦、光线反射、定点定值； 难度分布：基础题集中在斜率、直线方程、圆基本概念；中档难点：动直线过定点、含参直线、弦长与切线；压轴常为：圆的轨迹问题、切点弦、多条件几何综合大题。 识记 记住倾斜角范围；斜率公式；直线点斜、斜截、两点、截距、一般式；两直线平行垂直判定；三类距离公式；圆标准方程、一般方程成立条件；直线与圆、圆与圆 5 种位置关系；弦长公式。 理解 理解倾斜角与斜率对应关系；分清各类直线方程局限性；理解动直线恒过定点原理；几何法优先于代数法处理圆的问题；理解切点弦、反射问题的对称转化思想。 应用 会求倾斜角斜率，合理选择直线方程；处理截距为 0 特殊情形；熟练计算各类距离；一般式化圆标准方程；会求切线、弦长；会求公共弦；能处理动直线与定圆、定直线与动圆；会利用对称、几何模型求最值与轨迹。 考点一 直线 1 直线的倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上方向与 x 轴正方向夹角，范围 直线斜率不存在。 斜率公式 两点。 2 直线的方程 点斜式：；局限：不能表示斜率不存在垂直 x 轴直线。 斜截式：y=kx+b，b为纵截距；局限同上。 两点式：；不能表示垂直坐标轴直线。 截距式：；a横截距，b纵截距；不能表示过原点、垂直坐标轴直线。 一般式：Ax+By+C=0（A,B不同时为 0），可表示全部直线。 3 两条直线的位置关系 设 平行： 斜率存在时：； 一般式：且。 垂直： 斜率存在：； 一般式通用条件：（包含一条斜率为 0，一条斜率不存在）。 两直线交点：联立方程组，方程组解就是交点坐标；无解两直线平行；无穷多解两直线重合。 4 距离公式 两点距离： 点到直线距离：点，直线 两条平行直线距离： 考点二 圆 1 圆的方程 标准方程：圆心(a,b)，半径r： 圆的一般方程：条件：； 圆心；半径。 若表示一个点；小于 0 无轨迹。 2 直线与圆的位置关系 两种判定方法： 几何法（圆心到直线距离 d，圆半径 r） d>r：相离，无交点； d=r：相切，1 个交点，切线； d<r：相交，2 个交点；弦长公式：。 代数法：联立直线、圆方程，消元得到一元二次方程，判别式 相交；相切；相离。 3 圆与圆的位置关系 两圆圆心距d，半径 ：外离； ：外切； ：相交（2 交点，公共弦）； ：内切； ：内含。 两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程。 题型一倾斜角斜率、直线方程、定点、截距 典例1 （福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果． 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 迁移应用 1．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角的定义求解即可. 【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D. 15．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，求出直线的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论. 【详解】直线，即，令，解得， 直线过定点， ，， 直线可化为，其斜率为， 直线与线段相交，直线斜率为需要满足， 即或. 故选： 题型二平行垂直、距离 典例1 （安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直其斜率乘积为的结论即可得到答案. 【详解】设直线和的斜率分别为， 由题意得直线的斜率，因为直线与垂直， 则，则. 故选：D. 迁移应用 1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定列出式子，解方程组即可得出答案. 【详解】由题意得，， 解得. 故选：D. 题型三 圆方程、一般标准互化 典例1（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 迁移应用 1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 2（安徽省宿州市砀山铁路中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷）圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程整理为标准方程，进而得到圆心坐标. 【详解】圆的方程可整理为：，圆心坐标为. 故选：B. 题型四直线圆位置，弦长，面积最值 典例1 （安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系. 【详解】若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 故选：C. 迁移应用 1．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BD 【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解圆心到直线的距离从而得弦长，即可判断A；根据含参直线确定定点坐标即可判断B；根据相交弦长的公式可得直线过圆心时截得的弦长最大，从而可得直线方程从而得斜率即可判断C；由几何性质，当当时，可得弦长最小值，即可判断D. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为，当时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，此时，被圆截得的弦长为，故A错误； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得因此，恒过点，故B正确； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，故C错误； 对于D选项，记点，则， 当时，设直线的斜率为，此时， 即当时，圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值， 且因为，弦长的最小值为，故D正确． 故选：BD． 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线的斜率，即可得到选项D正确. 【详解】直线，即，直线恒过定点，故A正确； 由，可知在圆内部，故直线与圆相交，故B正确； 如图，直线与圆相交于两点，连接，则， 过点作于点，则，所以， 即点到直线的距离，由得或，故C错误； 由图知，直线于垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因， 此时，，所以直线的方程为， 整理得，故D正确. 故选：ABD 题型五 切线方程 典例1 （福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． (1)当时，求切线长； (2)求证：直线恒过定点； (3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得， 所以直线经过定点； (3)为定值 【分析】（1）求出及圆的半径，再利用勾股定理即可得解； （2）根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，即可得证； （3）根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当时，，则， 因为为圆的切线，所以， 所以； （2）略 （3）因为，所以， 因为在直线上，所以， 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值． 迁移应用 1．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 2.点,Q是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 题型六两圆位置、公共弦、切点弦 典例1（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 迁移应用 1．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 【答案】A 【分析】由两圆外切得圆心距等于两圆半径之和，列方程，求出. 【详解】圆的圆心和半径分别为. 圆的标准方程为，其圆心和半径分别为. 由两圆外切，得，所以，解得. 故选：A. 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 题型七反射、轨迹、圆上点最值、阿波罗尼斯圆 典例1 （安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 迁移应用 1．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知一条光线从点射出，经轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程. 【详解】由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上， 又反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 2．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    2．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交；    又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C 4．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）经过点，且与垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直关系，求直线的斜率，再求直线方程 【详解】直线的斜率为，所以与垂直的直线的斜率为2， 所以直线方程为，即. 故选：D 20．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）已知点，点 5．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，根据直线斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【详解】因向左平移3个单位，得到直线. 如图，设直线过点，向左平移后过，即 若与的距离为，即.则. 所以. 因为直线的倾斜角与相等或互补. 所以直线的斜率为． 故选：B.    6．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由直线，可得，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，则，可得. 故选：B. 7．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程的两点式得直线方程，令，解出即可求解. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得，化简可得， 令，可知，解得，所以直线l在x轴上的截距为. 故选：D. 8．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将直线化为斜截式，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：. 9．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线与圆的位置关系，根据抛物线方程，可得焦点坐标，从而设出直线方程，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得答案. 【详解】如图所示： 由题意可知直线与圆相切或相离， 则圆心到直线的距离， 由抛物线可得焦点， 易知直线的斜率存在，设为，则直线， 由，整理可得， 解得， 所以直线的斜率的最大值为， 故选：D. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方． (1)求圆的方程； (2)设，，若圆是△ABC的内切圆，求，边所在直线的斜率（用表示）； (3)在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的值． 【答案】(1) (2)， (3)最大值为24，或. 【分析】（1）设圆心坐标，由圆心到直线的距离为等量关系建立方程，解得圆心坐标，然后写出圆的方程； （2）设直线，的直线方程，由直线与圆相切建立等量关系，然后表示出两直线的斜率； （3）联立直线，的直线方程，解得交点横坐标，求，从而得到面积S的关系式，由（2）中结果结合题意求得面积的最大值及此时的值. 【详解】（1）设圆心， 由已知得到的距离，即， 又∵在l的上方，∴， ∴，∴， 故圆的方程为. （2）设斜率为，斜率为， 则直线的方程为，直线的方程为 由于圆与相切，所以，∴； 同理，，∴； （3）联立两条直线与得， 点的横坐标为， ∵， 由（2）得：， ∵，由二次函数的性质得， ，，， ∴，此时，∴或． 综上：的面积S的最大值为24，此时或. 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】（1）解：设圆坐标为， 因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）解：因为，所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 即，又由圆， 两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为. 3．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； (3)，两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）设直线方程为，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式求解即可； （2）求得线段的中垂线方程，设圆心为，利用，求得，可求圆的方程； （3）设，，求得直线的方程，根据，可求直线的方程． 【详解】（1）点，设直线方程为，，， 由，得，则， 从而， 所以，则，抛物线的方程为． （2）由（1）知，，则线段的中点为， 从而线段的中垂线方程为，即， 由此可设所求圆的圆心为， 则， 由圆与的准线相切，得圆的半径为， 又，，在中， 即，即，解得或1， 从而圆的方程为或． （3）如图： 设，，则， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为 ，即，又， 则，即，同理可得， 所以直线的方程为． 4．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    5．（福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 6．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知顶点坐标分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3) 依题意，设直线的方程为， 由联立消去，可得， 则由可得， 设，则（*）， 则， 即， 将（*）式代入整理上式得：，故得或. 当时，直线经过原点，不合题意； 当时，直线经过定点. 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出参数值，即得圆的方程； （2）设，利用可得点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，由题意知圆与圆有公共点，故得，求解即得参数的取值范围； （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，写出韦达定理，结合，推出，依题排除，得，将其代入直线方程即可求得定点. 【详解】（1）设圆的一般方程为：， 依题意，有，解得， 故的外接圆圆的方程为. （2）设，由代入点的坐标，可得 ， 整理得，易得， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆). 依题意，圆与圆有公共点. 圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2， 而， 所以在圆外，所以， 解得， 即实数的取值范围为. （3）略 7．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)存在，，或，. 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 8．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； （2） 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合；         ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线 / 考点二 圆 05 重难题型突破 题型一倾斜角斜率、直线方程、定点、截距 题型二平行垂直、距离 题型三 圆方程、一般标准互化 题型四直线圆位置，弦长，面积最值 题型五 切线方程 题型六两圆位置、公共弦、切点弦 题型七反射、轨迹、圆上点最值、阿波罗尼斯圆 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①倾斜角斜率计算，过定点动直线；②五种直线方程选用，截距问题；③平行、垂直判定，距离（两点、点到直线、平行线距离）；④圆的一般方程转标准方程，求圆心半径；⑤直线与圆：位置判定、弦长计算、切线方程；⑥两圆位置关系、公共弦直线；⑦几何综合：动点轨迹、圆上点最值、切点弦、光线反射、定点定值； 难度分布：基础题集中在斜率、直线方程、圆基本概念；中档难点：动直线过定点、含参直线、弦长与切线；压轴常为：圆的轨迹问题、切点弦、多条件几何综合大题。 识记 记住倾斜角范围；斜率公式；直线点斜、斜截、两点、截距、一般式；两直线平行垂直判定；三类距离公式；圆标准方程、一般方程成立条件；直线与圆、圆与圆 5 种位置关系；弦长公式。 理解 理解倾斜角与斜率对应关系；分清各类直线方程局限性；理解动直线恒过定点原理；几何法优先于代数法处理圆的问题；理解切点弦、反射问题的对称转化思想。 应用 会求倾斜角斜率，合理选择直线方程；处理截距为 0 特殊情形；熟练计算各类距离；一般式化圆标准方程；会求切线、弦长；会求公共弦；能处理动直线与定圆、定直线与动圆；会利用对称、几何模型求最值与轨迹。 考点一 直线 1 直线的倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上方向与 x 轴正方向夹角，范围 直线斜率不存在。 斜率公式 两点。 2 直线的方程 点斜式：；局限：不能表示斜率不存在垂直 x 轴直线。 斜截式：y=kx+b，b为纵截距；局限同上。 两点式：；不能表示垂直坐标轴直线。 截距式：；a横截距，b纵截距；不能表示过原点、垂直坐标轴直线。 一般式：Ax+By+C=0（A,B不同时为 0），可表示全部直线。 3 两条直线的位置关系 设 平行： 斜率存在时：； 一般式：且。 垂直： 斜率存在：； 一般式通用条件：（包含一条斜率为 0，一条斜率不存在）。 两直线交点：联立方程组，方程组解就是交点坐标；无解两直线平行；无穷多解两直线重合。 4 距离公式 两点距离： 点到直线距离：点，直线 两条平行直线距离： 考点二 圆 1 圆的方程 标准方程：圆心(a,b)，半径r： 圆的一般方程：条件：； 圆心；半径。 若表示一个点；小于 0 无轨迹。 2 直线与圆的位置关系 两种判定方法： 几何法（圆心到直线距离 d，圆半径 r） d>r：相离，无交点； d=r：相切，1 个交点，切线； d<r：相交，2 个交点；弦长公式：。 代数法：联立直线、圆方程，消元得到一元二次方程，判别式 相交；相切；相离。 3 圆与圆的位置关系 两圆圆心距d，半径 ：外离； ：外切； ：相交（2 交点，公共弦）； ：内切； ：内含。 两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程。 题型一倾斜角斜率、直线方程、定点、截距 典例1 （福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 迁移应用 1．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 15．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知点，若直线与线段相交，则该的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二平行垂直、距离 典例1 （安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 迁移应用 1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C．或1 D． 题型三 圆方程、一般标准互化 典例1（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（安徽省宿州市砀山铁路中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷）圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 题型四直线圆位置，弦长，面积最值 典例1 （安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 迁移应用 1．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，l的斜率为1 D．被圆截得的弦长的最小值为 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 题型五 切线方程 典例1 （福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． (1)当时，求切线长； (2)求证：直线恒过定点； (3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 迁移应用 1．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 2.点,Q是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型六两圆位置、公共弦、切点弦 典例1（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 迁移应用 1．（安徽省江淮名校2025-2026学年高二上学期期中阶段检测数学试题）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 题型七反射、轨迹、圆上点最值、阿波罗尼斯圆 典例1 （安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知一条光线从点射出，经轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 2．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）经过点，且与垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 7．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A．2 B． C． D． 8．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 9．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得的弦长为，且圆心在直线的上方． (1)求圆的方程； (2)设，，若圆是△ABC的内切圆，求，边所在直线的斜率（用表示）； (3)在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的值． 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 3．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； (3)，两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 4．（安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 5．（福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 6．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知顶点坐标分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 7．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $