专题04双曲线（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题04 双曲线（期中复习讲义） 双曲线专题在期中考试里，核心考点：双曲线的定义及标准方程，双曲线的简单性质，离心率，焦点三角形，渐近线，点差法，光学性质以及直线与双曲线之间的位置关系；在选填中，重点放在渐近线，离心率的应用上，解答题方面，重点放在直线与双曲线的位置关系中涉及到的面积，向量，共线，斜率，图像，定点，定直线问题上。 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 中点弦公式 点差法的应用和推导 基础考点，常在小题和基础解答题第二问中出现，难点利用点差法求参数的取值范围 直线与双曲线的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 双曲线的标准方程及简单性质 1、双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. ①若，则集合为椭圆；②若，则集合为两条射线． 2、双曲线的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 实轴的长；虚轴的长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 关系 离心率 渐近线方程 焦点到渐近线距离 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点： 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 知识点02 焦点三角形 1、焦点三角形：，，， 2、焦半径：， 易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 中点弦公式（点差法） 1、已知是双曲线上的两个点，为中点，则. 2、已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称. ·易错点：容易出现两个点未关于原点对应或斜率相乘时，就是用点差法推导的中点弦公式，且容易与椭圆的公式混淆. 知识点04 直线与双曲线的位置关系 1、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，在线段上； ，；若，则焦比公式：. 若点在一点，则焦比公式： 2、弦长公式：设直线与双曲线有两个公共点则弦长公式为或． ·易错点：双曲线的倾斜式的表示记混淆，其次在解答题第二问的转化上，存在对应的转化等式的错误. 题型一 双曲线的定义和标准方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 【详解】由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 【变式1】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 题型二 双曲线的简单性质 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的实轴，虚轴，焦距，离心率，且图象关系轴对称 2、双曲线的焦点坐标，顶点坐标. 3、双曲线的通径. 4、双曲线的渐近线方程：. 易｜错｜点｜拨 双曲线中的三角形转化为余弦定理或坐标带入时的方法问题. 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题设得，所以. 故选：B． 【典例2】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【详解】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 【变式3】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 题型三 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质把的三边用，，表示出来，然后用的余弦定理建立起，，的方程，进而可得到答案. 【详解】记为坐标原点，由双曲线的性质可知：在中，，，，． 在中，， 因为，所以，所以， 化简得，即， ，，． 因为，所以． 故选：D 【典例2】（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线，点（不与原点重合）在的一条渐近线上，若点到另一条渐近线的距离与到轴的距离相等，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知为的角平分线，可得渐近线的倾斜角，进而可得离心率. 【详解】设点在另一条渐近线、轴上的投影分别为，则， 可知为的角平分线，即， 根据对称性可得，即， 可知渐近线的倾斜角，斜率， 所以的离心率. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为.圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 【变式3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合勾股定理建立方程求出离心率. 【详解】令点关于原点的对称点为，连接，则四边形为平行四边形， ，由，得，则点共线， 令，则，，， ，由，得为矩形，则， 即，解得，，令， 由，得，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D 题型四 焦点三角形 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 【变式2】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合三角形余弦定理及面积公式列式计算得解. 【详解】双曲线的焦点，， 在中，由余弦定理， 得， 即，解得，又， 令M到x轴的距离为，则， 即，解得，所以M到x轴的距离为2. 故选：C. 题型五 中点弦公式（点差法） 答｜题｜模｜板 中点弦公式： （1）已知是双曲线上的两个点，为中点，则. （2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称. 直线与双曲线相交时，符合中点或两点关于直线对应，即可使用点差法进行中点弦公式的推导，即双曲线的第三定义. 易｜错｜点｜拨 注意：不是所有的中点都是用中点弦公式，要满足相交弦中点才可用点差法进行推导，点在弦上不是中点时，也可以用定比分点的形式进行求解！ 【典例1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 题型五 双曲线的定义 答｜题｜模｜板 1、平面上一点到两个定点距离的差的绝对值的点的轨迹为双曲线，包括： 圆的内切和外切，利用消元进行分析； 2、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，利用相等线之间的关系找到距离差为定值； 3、利用直译法，和双曲线的第三定义，求解双曲线的标准方程. 易｜错｜点｜拨 注意：数形结合上，把椭圆和双曲线的定义混淆 【典例1】．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，圆心，半径， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 【典例2】（22-23高二上·湖北·期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可． 【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点， 所以有，由圆，得，该圆的半径， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 所以，，可得，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B． 【变式1】（20-21高二上·北京海淀·期末）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解. 【详解】解：设动点，则， 则，，， 直线与直线的斜率之积为定值， ，化简可得，， 故点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2】（21-22高三·四川·对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答. 【详解】点，，令为轨迹上任意点，则有， 因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线， 即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 【变式3】（22-23高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点， 所以有， 由，得，该圆的半径为， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以， 所以点的轨迹方程为， 故选：D 题型五 离心率取值范围 答｜题｜模｜板 1、离心率：利用定义（双曲线上的点到焦点距离差的绝对值为定值），坐标（点在双曲线上，渐近线上），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行不等关系的表示. 【典例1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果. 【详解】设，则，即， 设双曲线的半焦距为，则 所以， ， 因为双曲线上的点坐标都满足，所以. 则有即，所以 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解. 【详解】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 题型五 双曲线的光学性质 答｜题｜模｜板 通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足 【典例1】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长则必过点， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式1】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【变式2】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 题型五 双曲线的最值 答｜题｜模｜板 利用双曲线的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 【变式2】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 题型五 双曲线的解答题 答｜题｜模｜板 1、直线与双曲线相交时： （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【变式1】．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 【变式2】．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； （3）先设直线方程，与双曲线方程联立，根据判别式求出的取值范围，再用韦达定理得到与.设点坐标，利用在两条直线上得到相关等式.接着根据向量关系得出与表达式，最后将、代入表达式，结合前面得到的等式化简，得出为定值. 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在， 设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得，代入双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线，所以， 所以离心率为． 故选：B 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定即可得双曲线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得， 实轴长是2可得， 所以， 所以方程是. 故选：B. 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得. 【详解】焦距为，即，； ，，又，， ，即，，解得：. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的离心率为则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B．y=±3x C． D． 【答案】C 【分析】利用离心率公式求出的值，即可求得该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可得，故，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出渐近线的斜率，再根据求双曲线的离心率. 【详解】如图：不妨设点在第一象限. 因为与轴垂直，，且， 所以. 所以点坐标为. 所以. 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得. 故选：. 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 6．（21-22高二下·全国·期末）记双曲线C：（，）虚轴的两个端点分别为M，N，点A，B在双曲线C上，点E在x轴上，若M，N分别为线段EA，EB的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，利用几何知识可得到，从而可求解. 【详解】由题意得，M，N关于x轴对称，则也关于轴对称且， 不妨设点A在双曲线C的右支上且在第一象限，其纵坐标为， 又因为，所以， 所以，则为等边三角形， 故，代入中，得， 则双曲线C的离心率，故C正确. 故选:C. 7．（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线右焦点为，连接. 又中，，则, 由直线可得，则， 又由双曲线可得， 则，则有，即 又，则有， 整理得，解之得 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D 【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 3．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. （2）如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 4．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. (1)求的方程； (2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）运用双曲线的离心率公式和，，的关系，列出方程组后解出即可得到，，的值，即可得的方程； （2）联立直线与曲线方程，借助韦达定理和弦长公式可表示出的面积，借助该面积计算即可得的值，即可得直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故； （2）设，， 由，可得， 则有，解得且， ，， ， 化简得，即， 解得或， 故直线的方程为或. 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【详解】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 6 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线（期中复习讲义） 双曲线专题在期中考试里，核心考点：双曲线的定义及标准方程，双曲线的简单性质，离心率，焦点三角形，渐近线，点差法，光学性质以及直线与双曲线之间的位置关系；在选填中，重点放在渐近线，离心率的应用上，解答题方面，重点放在直线与双曲线的位置关系中涉及到的面积，向量，共线，斜率，图像，定点，定直线问题上。 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 中点弦公式 点差法的应用和推导 基础考点，常在小题和基础解答题第二问中出现，难点利用点差法求参数的取值范围 直线与双曲线的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 双曲线的标准方程及简单性质 1、双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. ①若，则集合为椭圆；②若，则集合为两条射线． 2、双曲线的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 实轴的长；虚轴的长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 关系 离心率 渐近线方程 焦点到渐近线距离 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点： 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 知识点02 焦点三角形 1、焦点三角形：，，， 2、焦半径：， 易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 中点弦公式（点差法） 1、已知是双曲线上的两个点，为中心，则. 2、已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称. ·易错点：容易出现两个点未关于原点对应或斜率相乘时，就是用点差法推导的中点弦公式，且容易与椭圆的公式混淆. 知识点04 直线与双曲线的位置关系 1、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，在线段上； ，；若，则焦比公式：. 若点在一点，则焦比公式： 2、弦长公式：设直线与双曲线有两个公共点则弦长公式为或． ·易错点：双曲线的倾斜式的表示记混淆，其次在解答题第二问的转化上，存在对应的转化等式的错误. 题型一 双曲线的定义和标准方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【变式1】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 题型二 双曲线的简单性质 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的实轴，虚轴，焦距，离心率，且图象关系轴对称 2、双曲线的焦点坐标，顶点坐标. 3、双曲线的通径. 4、双曲线的渐近线方程：. 易｜错｜点｜拨 双曲线中的三角形转化为余弦定理或坐标带入时的方法问题. 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【典例2】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【变式1】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 题型三 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【典例2】（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线，点（不与原点重合）在的一条渐近线上，若点到另一条渐近线的距离与到轴的距离相等，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型四 焦点三角形 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A．1 B． C．3 D． 【变式2】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（ ） A． B． C．2 D． 题型五 中点弦公式（点差法） 答｜题｜模｜板 中点弦公式： （1）已知是双曲线上的两个点，为中心，则. （2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称. 直线与双曲线相交时，符合中点或两点关于直线对应，即可使用点差法进行中点弦公式的推导，即双曲线的第三定义. 易｜错｜点｜拨 注意：不是所有的中点都是用中点弦公式，要满足相交弦中点才可用点差法进行推导，点在弦上不是中点时，也可以用定比分点的形式进行求解！ 【典例1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的定义 答｜题｜模｜板 1、平面上一点到两个定点距离的差的绝对值的点的轨迹为双曲线，包括： 圆的内切和外切，利用消元进行分析； 2、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，利用相等线之间的关系找到距离差为定值； 3、利用直译法，和双曲线的第三定义，求解双曲线的标准方程. 易｜错｜点｜拨 注意：数形结合上，把椭圆和双曲线的定义混淆 【典例1】．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高二上·湖北·期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高二上·北京海淀·期末）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高三·四川·对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型五 离心率取值范围 答｜题｜模｜板 1、离心率：利用定义（双曲线上的点到焦点距离差的绝对值为定值），坐标（点在双曲线上，渐近线上），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行不等关系的表示. 【典例1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 题型五 双曲线的光学性质 答｜题｜模｜板 通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足 【典例1】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的最值 答｜题｜模｜板 利用双曲线的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式2】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．10 D．14 题型五 双曲线的解答题 答｜题｜模｜板 1、直线与双曲线相交时： （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【变式2】．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的离心率为则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B．y=±3x C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ） A． B．2 C． D．4 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 6．（21-22高二下·全国·期末）记双曲线C：（，）虚轴的两个端点分别为M，N，点A，B在双曲线C上，点E在x轴上，若M，N分别为线段EA，EB的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 4．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. (1)求的方程； (2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $