专题03椭圆（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题03 椭圆（期中复习讲义） 椭圆专题在期中考试里，核心考点：椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，焦点三角形，离心率，中点弦公式，光学性质以及直线与椭圆之间的位置关系；在选填中，重点放在了焦点三角形，离心率，中点弦公式的应用上，在解答题方面，重点放在直线与椭圆的位置关系中涉及到的面积，向量，共线，斜率，图形，定点，定直线问题上。 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义与方程 椭圆的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握椭圆的定义求轨迹方程 椭圆的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 椭圆的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 中点弦公式 点差法的应用和推导 基础考点，常在小题和基础解答题第二问中出现，难点利用点差法求参数的取值范围 直线与椭圆的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 椭圆的标准方程及简单性质 1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. ①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集． 2、椭圆的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 长轴长：，短轴长：，焦距：. 关系 离心率 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点：长轴，短轴，通径的长度未知，利用数形结合掌握椭圆的定义及其应用上，消参的表示为易错点. 知识点02 焦点三角形 1、焦点三角形：，，，为内切圆半径 ； 当为上、下顶点时，角度最大. 2、焦半径：， 3、椭圆参数方程：，其中为参数. ·易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 中点弦公式（点差法） 1、中点弦公式 （1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则. （2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称. ·易错点：容易出现两个点未关于原点对应或斜率相乘时，就是用点差法推导的中点弦公式. 知识点04 直线与椭圆的位置关系 1、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点； ，若，则焦比公式：. 2、弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或． ·易错点：椭圆的倾斜式的表示记混淆，其次在解答题第二问的转化上，存在对应的转化等式的错误. 题型一 椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、椭圆的标准方程，通过椭圆上的点到两个焦点的距离等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】由题可得动点的轨迹是椭圆，即可求出动点的轨迹方程. 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为. 故选：A 【典例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式2】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 题型二 椭圆的简单性质 解｜题｜技｜巧 1、椭圆的长轴，短轴，焦距，离心率，且图象关系轴对称 2、椭圆的焦点坐标，顶点坐标，且椭圆的离心率越大，椭圆越扁. 3、椭圆的通径. 易｜错｜点｜拨 椭圆中的三角形转化为焦点三角形周长计算时容易转化出现错误. 【典例1】（2025·河北石家庄·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆定义利用焦点三角形的周长列出方程，求出，根据焦点坐标求出，即可求出离心率. 【详解】因为的周长为20，所以， 由椭圆定义可知：，即， 又因为，所以椭圆C的离心率为. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】记椭圆的左焦点为，连接，利用中位线的性质求出，再利用椭圆的定义可求得. 【详解】记椭圆的左焦点为，连接， 又点是线段的中点，为的中点，所以， 又，所以， 在椭圆中，， 又点是上的一点，所以，所以． 故选：A． 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将代入椭圆方程得， 整理得， 由，得，代入上式， ， 因此，点和的坐标分别为和， 弦长为， 由已知，有， ， 离心率，其中，代入， 因此：. 故选：B 题型三 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在椭圆上，利用坐标法带入椭圆方程，求解出之间的关系即可； 2、点在椭圆上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 【变式1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 题型四 焦点三角形 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆半径 ； 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算. 【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（ ） A．24 B．33 C．9 D．18 【答案】D 【分析】判断出四边形为矩形，根据将椭圆与联立，解出点P,Q的坐标，进而即得. 【详解】由题意可知四边形为矩形， P,Q可看作是椭圆：与圆关于坐标原点对称的两个交点， 不妨设P,Q位置如图所示分别位于一、三象限. 由得， 所以， 因为，所以. 所以. 故选：D 【典例2】（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出的面积，利用（r为三角形内切圆半径，l为三角形周长），即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距， 当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点， 此时的面积为， 设内切圆半径为r,则, 即； (三角形内切圆半径公式的推导： ) 当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内， 此时,此时，由为等腰三角形， 可知,则， 的面积为， 则,即， 综合可得的内切圆半径为或， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据条件得到，设，再利用椭圆的定义及条件得到且，即可求出结果. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·四川成都·期末）曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线关于轴、轴均对称； ②曲线上存在点，使得； ③若点在曲线上，则的面积最大值是1； ④曲线上存在点，使得为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据题意得曲线的方程为，可判断①错误；②假设结论成立，推得曲线不存在；当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线上再寻找一个特殊点P（0，y），验证即可判断④正确． 【详解】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为 . ①错误，在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称； 同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误. ②错误，若，则 曲线不存在，故②错误. ③正确， P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确； ④正确，由③可知，取曲线上点，此时， 下面在曲线上再寻找一个特殊点，， 则， 把两边平方， 整理得， 解得，即或. 因为，则取点， 此时.故④正确． 故答案为：C． 题型五 中点弦公式（点差法） 答｜题｜模｜板 中点弦公式： （1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则. （2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称. 直线与椭圆相交时，符合中点或两点关于直线对应，即可使用点差法进行中点弦公式的推导，即椭圆的第三定义. 易｜错｜点｜拨 注意：不是所有的中点都是用中点弦公式，要满足相交弦中点才可用点差法及逆行推导. 【典例1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据韦达定理求参数、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】求出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理列式求解即得. 【详解】直线的斜率，其方程为， 由消去得，， 由AB的中点坐标为，得，整理得，而， 解得，此时，， 所以C的方程为. 故选：A 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：A 【变式2】（22-23高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆C：（）的长轴为4，直线与椭圆C相交于A、B两点，若线段的中点为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设的中点坐标为，代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解. 【详解】设，直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线斜率， 代入椭圆方程得， 两式相减得 ， 又，所以 所求的椭圆方程为. 故选:B. 题型六 离心率的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、离心率：利用定义（椭圆上的点到焦点距离为定值），坐标（点在椭圆内，上，外），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行表示及化简. 【典例1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图： 根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 题型七 椭圆的实际应用 答｜题｜模｜板 航天时，中心天体在椭圆轨道的其中一个焦点上，利用长轴，短轴，焦点，焦距，对称等关系，表示出对应的的关系. 易｜错｜点｜拨 没把中心天体看成一个焦点位置进行求解 【典例1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】星体运行轨道问题 【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D. 【详解】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【知识点】星体运行轨道问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【变式2】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道II的焦距为； ②若不变，越大，轨道II的短轴长越小； ③轨道II的长轴长为； ④若不变，越大，轨道II的离心率越大. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、星体运行轨道问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，然后结合圆的半径和，分别表示出焦距，短轴，长轴，离心率后逐一分析选项即可. 【详解】由已知得圆形轨道I的半径为， 设轨道II的方程为，则， 又因为圆形轨道III的半径为，则， 联立，解得， 所以轨道II的焦距为，故①正确； 又， 所以， 所以若不变，越大，轨道II的短轴长越大，故②不正确； 长轴，故③正确； 所以离心率， 若不变，越大，轨道II的离心率越大，故④正确. 故选：C. 题型八 椭圆的光学性质 答｜题｜模｜板 通过椭圆一焦点的光线，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用椭圆的定义，三角三角形的面积公式等进行求解. 易｜错｜点｜拨 椭圆的焦点三角形面积公式上，角平分线（即法线）的表述或应用上不足 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆与反光镜的设计问题、根据椭圆方程求a、b、c、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】椭圆与反光镜的设计问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于． 故选：D. 【变式2】（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆与反光镜的设计问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率. 【详解】如图，是的平分线，则⊥， 设，则， 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为， ， ∵为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为 ， ∴，故，， 又，由余弦定理，可得 ， ∴，即，故， ∴的离心率为. 故选：C． 题型九 椭圆的定义（最值） 答｜题｜模｜板 利用椭圆的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 【典例2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C 【变式2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图, 由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 题型十 椭圆的定义（数形结合） 答｜题｜模｜板 1、当圆与圆外切时，两圆心距等于两半径的和，当圆与圆内切时，两圆心距等于两半径的差，利用消元法，表示出圆心动点到两定点距离的和为定值，即椭圆； 2、利用垂直平分线上的点到两端点的距离相等，进行等量代换，从而找到动点到定点距离的和为定值，即椭圆； 3、利用相关点法，直译法，进行椭圆方程的表示和求解. 易｜错｜点｜拨 【典例1】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、利用椭圆定义求方程 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、轨迹问题——椭圆 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 【变式3】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 题型十一 直线与椭圆的位置关系 答｜题｜模｜板 1、直线与椭圆相交时 （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 【典例2】（2025·山东聊城·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系数的关系上来，最后可得，从而可证直线过定点. 【详解】（1）由题意得：， ，所以解得， 即椭圆方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 其中， 设，则， 由已知得：， 再化简得：， 代入得：， 整理得：， 因为直线不经过点，所以， 即， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，为圆上的动点，过点作直线垂直轴于点，点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用向量的坐标运算把点的坐标用点表示，再带入点的方程即可； （2）直线与曲线联立，计算点到直线距离以及弦长，然后写出的表达式，最后再利用均值不等式求出最大值. 【详解】（1）设点，则，由，可得，即， ． （2）将曲线与直线联立得 消去得． 直线与曲线交于A，B两点，设， ． 又． 点到直线的距离， ， ， ， 当且仅当，即时取等号． 三角形面积的最大值为． 【变式2】（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，记直线，的斜率分别为，，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】已知两点求斜率、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列式计算求参，即可得出椭圆的标准方程； （2）根据斜率为0及不为0设出方程联立得出韦达定理，再应用两点求斜率再代入计算求值. 【详解】（1）由题意得：，又，故 又因为经过，将点带入椭圆方程：， ，，椭圆方程为：． （2）若直线的斜率为0，则， 当若直线的斜率不为0，设直线的方程为：，， 联立方程可得：， 则，由韦达定理可知：， ， 综上：故． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 2．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 3．（24-25高二上·天津红桥·期中）椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆标准方程有，结合椭圆定义求到另一个焦点的距离. 【详解】由椭圆方程知，根据椭圆定义，到另一个焦点的距离为. 故选：D 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 5．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 6．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、圆锥曲线新定义 【分析】根据离心率公式得到，再利用给定结论求解即可. 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 7．（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为： (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由短轴长可求得，利用椭圆过点，可求，进而求得椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为和的坐标分别为。联立方程组，由根与系数的关系可求得，利用弦长公式可求得的值. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。 所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为和的坐标分别为。 由，可得， 整理得，，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以 整理得，解得或（舍去）， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得，由图知，， 则的面积为， 解得，则椭圆的离心率为. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案. 【详解】设，则从而， 故．由题意可得， 则，从而，故椭圆C的离心率． 故选：A. 4．（2025·四川攀枝花·三模）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 5．（2025·江西·模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件，设出,写出其他线段的代数式，利用三角形相似，得出关于的关系式，进而求出离心率. 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 6．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求C的方程； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交y轴于点Q，，为椭圆C的左、右焦点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆所过的点求椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程并应用韦达定理，求坐标，再由及已知列方程求参数，即可得. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的方程为． （2）由题意得，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， 由根与系数的关系得，所以， 所以，，又因为，， 所以，，， 所以，所以， 即，解得， 所以直线的方程为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 2．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，根据点总在椭圆内部，可得，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围． 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，， 因为，所以点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆． 又点总在椭圆内部， 所以该圆内含于椭圆，即，所以，则． ，，即椭圆离心率的取值范围是． 故选：C． 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的长轴、短轴、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 47 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆（期中复习讲义） 椭圆专题在期中考试里，核心考点：椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，焦点三角形，离心率，中点弦公式，光学性质以及直线与椭圆之间的位置关系；在选填中，重点放在了焦点三角形，离心率，中点弦公式的应用上，在解答题方面，重点放在直线与椭圆的位置关系中涉及到的面积，向量，共线，斜率，图形，定点，定直线问题上。 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义与方程 椭圆的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握椭圆的定义求轨迹方程 椭圆的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 椭圆的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 中点弦公式 点差法的应用和推导 基础考点，常在小题和基础解答题第二问中出现，难点利用点差法求参数的取值范围 直线与椭圆的位置关系 弦长和面积，向量，共线，斜率，图形等的描述 必考点，常在解答题中出现，难点在面积的最值，向量的转化，三点共线，斜率及图形的转化求解. 知识点01 椭圆的标准方程及简单性质 1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. ①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集． 2、椭圆的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 长轴长：，短轴长：，焦距：. 关系 离心率 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点：长轴，短轴，通径的长度未知，利用数形结合掌握椭圆的定义及其应用上，消参的表示为易错点. 知识点02 焦点三角形 1、焦点三角形：，，，为内切圆半径 ； 当为上、下顶点时，角度最大. 2、焦半径：， 3、椭圆参数方程：，其中为参数. ·易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 中点弦公式（点差法） 1、中点弦公式 （1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则. （2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称. ·易错点：容易出现两个点未关于原点对应或斜率相乘时，就是用点差法推导的中点弦公式. 知识点04 直线与椭圆的位置关系 1、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点； ，若，则焦比公式：. 2、弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或． ·易错点：椭圆的倾斜式的表示记混淆，其次在解答题第二问的转化上，存在对应的转化等式的错误. 题型一 椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、椭圆的标准方程，通过椭圆上的点到两个焦点的距离等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 椭圆的简单性质 解｜题｜技｜巧 1、椭圆的长轴，短轴，焦距，离心率，且图象关系轴对称 2、椭圆的焦点坐标，顶点坐标，且椭圆的离心率越大，椭圆越扁. 3、椭圆的通径. 易｜错｜点｜拨 椭圆中的三角形转化为焦点三角形周长计算时容易转化出现错误. 【典例1】（2025·河北石家庄·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型三 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在椭圆上，利用坐标法带入椭圆方程，求解出之间的关系即可； 2、点在椭圆上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型四 焦点三角形 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆半径 ； 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算. 【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（ ） A．24 B．33 C．9 D．18 【典例2】（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2】（23-24高三上·四川成都·期末）曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线关于轴、轴均对称； ②曲线上存在点，使得； ③若点在曲线上，则的面积最大值是1； ④曲线上存在点，使得为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④ 题型五 中点弦公式（点差法） 答｜题｜模｜板 中点弦公式： （1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则. （2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称. 直线与椭圆相交时，符合中点或两点关于直线对应，即可使用点差法进行中点弦公式的推导，即椭圆的第三定义. 易｜错｜点｜拨 注意：不是所有的中点都是用中点弦公式，要满足相交弦中点才可用点差法及逆行推导. 【典例1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆C：（）的长轴为4，直线与椭圆C相交于A、B两点，若线段的中点为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 题型六 离心率的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、离心率：利用定义（椭圆上的点到焦点距离为定值），坐标（点在椭圆内，上，外），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行表示及化简. 【典例1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 题型七 椭圆的实际应用 答｜题｜模｜板 航天时，中心天体在椭圆轨道的其中一个焦点上，利用长轴，短轴，焦点，焦距，对称等关系，表示出对应的的关系. 易｜错｜点｜拨 没把中心天体看成一个焦点位置进行求解 【典例1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【变式2】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道II的焦距为； ②若不变，越大，轨道II的短轴长越小； ③轨道II的长轴长为； ④若不变，越大，轨道II的离心率越大. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型八 椭圆的光学性质 答｜题｜模｜板 通过椭圆一焦点的光线，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用椭圆的定义，三角三角形的面积公式等进行求解. 易｜错｜点｜拨 椭圆的焦点三角形面积公式上，角平分线（即法线）的表述或应用上不足 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C．4 D．8 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型九 椭圆的定义（最值） 答｜题｜模｜板 利用椭圆的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A． B．4 C． D．5 【变式2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型十 椭圆的定义（数形结合） 答｜题｜模｜板 1、当圆与圆外切时，两圆心距等于两半径的和，当圆与圆内切时，两圆心距等于两半径的差，利用消元法，表示出圆心动点到两定点距离的和为定值，即椭圆； 2、利用垂直平分线上的点到两端点的距离相等，进行等量代换，从而找到动点到定点距离的和为定值，即椭圆； 3、利用相关点法，直译法，进行椭圆方程的表示和求解. 易｜错｜点｜拨 【典例1】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（ ） A． B． C． D． 题型十一 直线与椭圆的位置关系 答｜题｜模｜板 1、直线与椭圆相交时 （1）设直线方程，联立化简，表示出韦达定理 （2）利用题目给出的信息，表示出题目要求解的内容，包括面积，向量，斜率等等式 （3）围绕着坐标进行化简，将韦达定理带入进行求解，从而化简出所求的问题 易｜错｜点｜拨 当直线设，忘记考虑斜率不存在的情况，因此注意根据图象注意点斜式，斜截式的表示，使用或. 【典例1】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【典例2】（2025·山东聊城·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【变式1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，为圆上的动点，过点作直线垂直轴于点，点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值． 【变式2】（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，记直线，的斜率分别为，，证明为定值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A．或 B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·天津红桥·期中）椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·三模）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求C的方程； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交y轴于点Q，，为椭圆C的左、右焦点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D． 2．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $