专题02 函数（期中复习讲义）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题02 函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数的定义 /考点二 函数的单调性 考点三 函数的奇偶性 /考点四 函二次函数图像与性质 05 重难题型突破 题型一 函数三要素、定义域值域 题型二 分段函数 题型三 函数的奇偶性 题型四 函数单调性、奇偶综合解不等式 题型五 二次函数闭区间最值 题型六 抽象函数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①函数三要素（同一函数判断、具体 + 抽象函数定义域求解，值域求法）；②分段函数求值、分段函数单调性（含参）；③单调性定义证明、单调性应用解不等式、比较大小；④奇偶性判断、奇偶函数解析式求法，奇偶 + 单调性综合解不等式；⑤二次函数：定轴动区间、动轴定区间闭区间求最值；⑥抽象函数赋值法求值、证明奇偶、证明单调；⑦函数实际建模，求最值；⑧函数图像识别、对称性。 难度分布：基础题侧重三要素、简单奇偶单调；中档难点：分段含参单调性、抽象函数、二次函数区间最值；压轴常为抽象函数综合、函数实际应用题。 识记 记住函数三要素；会求解析式、定义域；掌握抽象复合函数定义域规则；记住增、减函数定义；奇偶函数定义、图像特征，奇函数的前提；掌握二次函数三种解析式，对称轴、顶点，判别式；记住定义法证明单调性四步骤。 理解 理解 “任意x对应唯一y” 函数判定；理解分段函数是一个函数；理解 “任取” 不能替换为 “存在”；理解复合函数 “同增异减”，必须先求定义域；理解偶函数对称区间单调性相反，奇函数对称区间单调性相同；分清定轴动区间、动轴定区间分类逻辑；读懂抽象函数赋值法。 应用 熟练求解具体、抽象函数定义域值域；会处理分段函数含参单调性；会用单调性奇偶性脱去\(f()\)外壳解函数不等式；会求二次函数闭区间最值（动轴 / 动区间）；抽象函数使用赋值法求值、证奇偶、证单调；能建立函数模型解决实际最值应用题。 考点一 函数的定义 1 函数的概念 函数定义：设A，B是两个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。记作。 x叫作自变量；A叫作函数的定义域； 集合叫作函数的值域，值域是集合B的子集。 函数三要素：定义域、对应关系、值域 两个函数为同一个函数条件：定义域相同，并且对应关系完全一致，与字母符号无关。 判断对应是否为函数：任意x只能对应唯一y；一个y可以对应多个x。 2 函数的定义域与值域 （1）求定义域（使解析式有意义的x范围） 分式：分母； 偶次根式：被开方数； 0次幂：底数； 多个限制条件取交集； 抽象复合函数定义域： f(x)定义域为，求f(g(x))定义域：令，解出x； f(g(x))定义域已知，求f(x)定义域：求g(x)的值域，即为f(x)定义域。 （2）函数值域：函数所有输出y的集合 常用方法：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图像法、单调性法。 3 函数的表示法与分段函数 三种表示方法 解析法：用代数式表示对应关系； 列表法：表格列出自变量与函数值； 图象法：平面直角坐标系中的图像。 分段函数 在定义域不同部分，有不同解析式的函数； 分段函数是一个函数，不是多个函数； 求值：看自变量属于哪一段，代入对应解析式； 图像：每一段分别画图；分段点要注意空心点、实心点。 考点二 函数的单调性 增函数定义：设函数y=f(x)的定义域为I，区间。任取，当，都有，就说f(x)在区间D上是增函数。 减函数定义：任取，当，都有，就说f(x)在区间D上是减函数。 注意：“任取” 不能改成 “存在”；单调区间不能随便取并集。 定义法证明单调性四步：①任取；②作差；③变形；④判号下结论。 最大值：，对，是最大值； 最小值：，对，是最小值。 运算性质（区间内同增同减） f(x),g(x)同为增，则f(x)+g(x)增；同为减，则f(x)+g(x)减； -f(x)与f(x)单调性相反。 复合函数单调性（同增异减）：y=f(g(x)) 内外函数单调性相同，复合后为增；内外单调性相反，复合后为减。⚠️先求定义域。 考点三 函数的奇偶性 前提条件：函数定义域必须关于原点对称！定义域不关于原点对称→函数非奇非偶。 偶函数：定义域内任意x，都满足 图像特征：关于轴对称；若x在定义域，则-x也在定义域。 奇函数：定义域内任意x，都满足 图像特征：关于原点中心对称； 重要推论：奇函数若在x=0处有定义，则。 奇偶运算性质 表格 函数 奇偶性 奇 ± 奇 奇函数 偶 ± 偶 偶函数 奇 × 奇、偶 × 偶 偶函数 奇 × 偶 奇函数 奇偶 + 单调性综合：偶函数在对称区间增减性相反；奇函数对称区间增减性相同。 考点四 函二次函数图像与性质 二次函数 开口：a>0开口向上；a<0开口向下； 对称轴：；顶点坐标； ，判别式决定与x轴交点； 单调区间： a>0：递减；递增； a<0：递增；递减。 闭区间\m,n]求最值核心：看对称轴落在区间左侧、区间内部、区间右侧三种位置。 定轴动区间：对称轴固定，区间变化； 动轴定区间：区间固定，对称轴含参数移动。 题型一 函数三要素、定义域值域 典例1 （安徽省合肥市长丰北部联盟校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数，则的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 所以， 所以， 当时，. 故选：B 迁移应用1（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用具体函数与抽象函数定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：; 所以函数的定义域为; 故选：A 2．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域满足不等式,解得且, 则函数的定义域为; 故选：A 题型二 分段函数 典例1 （安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 迁移应用1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或 解得或，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（安徽省皖豫�县中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（黄山专版））已知函数的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】借助分段函数、二次函数及反比例型函数的性质计算即可得． 【详解】由题意知，解得或， 当时，的图象在处断开，不符合题意； 当时，符合题意，当时，令，得， 令，得或； 当时，令，得； 如图，作出的大致图象，    由图可知，当时，取得最大值，为4． 故选：D. 题型三 函数的奇偶性 典例1 （安徽省六安市舒城县晓天中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知 是偶函数，定义域为 ，则单调递减区间是_______． 【答案】 【分析】利用是定义在上的偶函数，即可求解，又，求出，最后由二次函数即可求解. 【详解】由是定义在上的偶函数，所以，解得， 所以，又有：， 所以，又不恒为，所以， 所以，定义域为，所以的单调减区间为， 故答案为：. 迁移应用1（安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷B）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】根据奇偶性可得函数对称中心，利用对称性求函数值即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以的图象关于对称． 故 故答案为： 2．（安徽省皖豫�县中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（黄山专版））已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型四 函数单调性、奇偶综合解不等式 典例1 （安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 迁移应用1．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明函数是偶函数，在是减函数，然后由奇偶性、单调性转化求解． 【详解】易知的定义域为， ，所以是偶函数， 当时，为减函数，为增函数，所以为减函数， 则等价于，所以， ，解得或. 故选：B. 题型五 二次函数闭区间最值 典例1（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)作出的函数图象； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用二次函数的图象，作出函数的函数图象； （3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以. 当时，则，， 所以， 所以当时，， 所以 （2）略 （3）由（2）知，的单调递减区间为，， 因为在上单调递减，所以. 所以，解得，故实数的取值范围是 迁移应用1．（安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷A）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 2．（安徽省阜新市部分重点高中2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，当时结合对勾函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】若，则在上单调递增，符合题意； 若，则，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意； 当，则，则， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 题型六 抽象函数 典例1 （安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数定义域为，满足对于任意，当时都有，且当时. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)若不等式在上恒成立，求的值. 【答案】(1) 由题意知任意，当时都有， 令，得，令，得，所以为奇函数； (2) 设， 由题意知，当时， 所以， 所以，函数在上单调递增， 由（1）知为奇函数，且，所以在单调递增； (3) 【分析】（1）利用赋值法即可证明函数奇偶性； （2）利用时，根据函数单调性定义及奇偶性即可判断证明； （3）利用（1）（2）的结论，建立不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知在为奇函数，所以， 即，即， 由（2）知在单调递增， 所以，即在上恒成立，所以①， 又，所以在上恒成立，②， 由①②可知，. 迁移应用1．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增，证明： 因为为奇函数，所以， 即，整理得，解得， 又因为，解得，可得 在上单调递增，证明如下： 对于任意，且， ，即， ， 在上单调递增，得证； (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数定义求解函数，利用函数单调性定义证明； （2）利用奇函数和单调性求解不等式； （3）先求出函数的最大值，则对恒成立，即，求解即可. 【详解】（1）略 （2）由是奇函数，则不等式等价于， 因为是定义在的奇函数，图象连续，且在上单调递增， 所以在上是增函数， 则，解得， 所以的取值范围是 （3）由题意知对，恒成立， 因为，所以恒成立， 即， 所以对恒成立， 即， 得或或， 所以的取值范围为． 2．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由求解，并验证即可. 【详解】因是定义域上的奇函数， 所以，得， 经验证时，是奇函数，故. 故选：C 2．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 3．（安徽省合肥市蜀山区合肥百花中学等四校联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 4．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：C. 5．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的解析式变形为，利用双勾函数的单调性可得出函数的单调区间，结合可判断出函数的图像. 【详解】， 故该图像是由函数的图像先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 又，故函数的图像大致为D选项. 故选：D 6．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案. 【详解】因为定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 7．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省滁州市2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【详解】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 2．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知符号函数，下列说法中正确的是（　　） A．是奇函数 B．对任意的实数 C．函数的值域为 D．直线和函数的图象至多有2个公共点 【答案】AC 【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，根据绝对值以及符号函数的定义可判断BC，作出函数图象，即可求解D. 【详解】解：对于A，当时，，则， 当时，，则， 当时，， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，令， 当时，，当时，，当时，， 所以的值域为，故C正确： 对于D，当时，或， 当时，或， 当时，， 所以， 设， 作出函数的图象如图所示， 由图可知，当或时，与的图象无交点， 当或时，与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 综上所述，与图象至多有3个公共点，故D错误． 故选：AC. 3．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）下列命题正确的有（　　） A．函数与是同一个函数 B．函数值域为 C．命题“”的否定为“，有” D．若函数的定义域为，则 【答案】BD 【分析】利用同一函数的判断法则判断A，利用换元法求解值域判断B，利用命题的否定规则判断C，将原问题转化为恒成立问题，对二次项系数进行讨论，进而求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 所以函数与不是同一个函数，故A错误， 对于B，令，解得， 可得，即，原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，且， 则函数值域为，故B正确， 对于C，由命题的否定规则得，原命题的否定为“，有”，故C错误， 对于D，若函数的定义域为， 则在上恒成立，当时，得到，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得，故D正确. 故选：BD 4．（安徽省合肥市长丰北部联盟校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）下列说法中正确的是（    ）． A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据全称量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，根据同一函数的定义判断即可；对于C，利用换元法求解判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 的定义域为，两者定义域不同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，由，令，则， 所以，解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则，即， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ACD 5．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）函数的图象如图所示，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，只有唯一的与之对应 D． 【答案】ABD 【分析】按函数的定义逐项判断即可 【详解】函数的定义城为，值域为. A，B正确. 当时，只有唯一的与之对应，C错误. . D正确. 故选：ABD 6．（安徽省六安市舒城县晓天中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）设，则（    ） A． B．（） C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】代入以及，即可判断AB；利用增函数的定义，即可判断C；由已知，即可求函数的值域. 【详解】，得，所以函数的定义域为， ，即，故A正确； ，，故B正确； 设， 则， 因为，所以，且，， 所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； 由，得，由，得或， 所以函数的值域为，故D错误. 故选：ABC 7．（安徽省六安市六安第二中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）下列说法不正确的是（      ） A．函数 在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．已知函数  在 上是增函数，则实数的取值范围是 D．若的定义域为，则 的定义域为 【答案】ABC 【分析】对于AB，取，即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于AB，若，因为，是奇函数，但，时，无意义，故AB描述不正确，符合题意； 对于C，已知函数  在 上是增函数， 首先当时，单调递增，则， 其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即， 但若要保证函数  在 上是增函数，还需满足，即， 所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意； 对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意. 故选：ABC. 8．（安徽省A10联盟＆宿州十三校2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学（人教A版）试题）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1) (2)4 (3)3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元 【分析】（1）当时，，且，代入求得值，即可解； （2）分段求解不等式； （3）因为，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， （2）由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. （3）由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数的定义 /考点二 函数的单调性 考点三 函数的奇偶性 /考点四 函二次函数图像与性质 05 重难题型突破 题型一 函数三要素、定义域值域 题型二 分段函数 题型三 函数的奇偶性 题型四 函数单调性、奇偶综合解不等式 题型五 二次函数闭区间最值 题型六 抽象函数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①函数三要素（同一函数判断、具体 + 抽象函数定义域求解，值域求法）；②分段函数求值、分段函数单调性（含参）；③单调性定义证明、单调性应用解不等式、比较大小；④奇偶性判断、奇偶函数解析式求法，奇偶 + 单调性综合解不等式；⑤二次函数：定轴动区间、动轴定区间闭区间求最值；⑥抽象函数赋值法求值、证明奇偶、证明单调；⑦函数实际建模，求最值；⑧函数图像识别、对称性。 难度分布：基础题侧重三要素、简单奇偶单调；中档难点：分段含参单调性、抽象函数、二次函数区间最值；压轴常为抽象函数综合、函数实际应用题。 识记 记住函数三要素；会求解析式、定义域；掌握抽象复合函数定义域规则；记住增、减函数定义；奇偶函数定义、图像特征，奇函数的前提；掌握二次函数三种解析式，对称轴、顶点，判别式；记住定义法证明单调性四步骤。 理解 理解 “任意x对应唯一y” 函数判定；理解分段函数是一个函数；理解 “任取” 不能替换为 “存在”；理解复合函数 “同增异减”，必须先求定义域；理解偶函数对称区间单调性相反，奇函数对称区间单调性相同；分清定轴动区间、动轴定区间分类逻辑；读懂抽象函数赋值法。 应用 熟练求解具体、抽象函数定义域值域；会处理分段函数含参单调性；会用单调性奇偶性脱去\(f()\)外壳解函数不等式；会求二次函数闭区间最值（动轴 / 动区间）；抽象函数使用赋值法求值、证奇偶、证单调；能建立函数模型解决实际最值应用题。 考点一 函数的定义 1 函数的概念 函数定义：设A，B是两个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。记作。 x叫作自变量；A叫作函数的定义域； 集合叫作函数的值域，值域是集合B的子集。 函数三要素：定义域、对应关系、值域 两个函数为同一个函数条件：定义域相同，并且对应关系完全一致，与字母符号无关。 判断对应是否为函数：任意x只能对应唯一y；一个y可以对应多个x。 2 函数的定义域与值域 （1）求定义域（使解析式有意义的x范围） 分式：分母； 偶次根式：被开方数； 0次幂：底数； 多个限制条件取交集； 抽象复合函数定义域： f(x)定义域为，求f(g(x))定义域：令，解出x； f(g(x))定义域已知，求f(x)定义域：求g(x)的值域，即为f(x)定义域。 （2）函数值域：函数所有输出y的集合 常用方法：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图像法、单调性法。 3 函数的表示法与分段函数 三种表示方法 解析法：用代数式表示对应关系； 列表法：表格列出自变量与函数值； 图象法：平面直角坐标系中的图像。 分段函数 在定义域不同部分，有不同解析式的函数； 分段函数是一个函数，不是多个函数； 求值：看自变量属于哪一段，代入对应解析式； 图像：每一段分别画图；分段点要注意空心点、实心点。 考点二 函数的单调性 增函数定义：设函数y=f(x)的定义域为I，区间。任取，当，都有，就说f(x)在区间D上是增函数。 减函数定义：任取，当，都有，就说f(x)在区间D上是减函数。 注意：“任取” 不能改成 “存在”；单调区间不能随便取并集。 定义法证明单调性四步：①任取；②作差；③变形；④判号下结论。 最大值：，对，是最大值； 最小值：，对，是最小值。 运算性质（区间内同增同减） f(x),g(x)同为增，则f(x)+g(x)增；同为减，则f(x)+g(x)减； -f(x)与f(x)单调性相反。 复合函数单调性（同增异减）：y=f(g(x)) 内外函数单调性相同，复合后为增；内外单调性相反，复合后为减。⚠️先求定义域。 考点三 函数的奇偶性 前提条件：函数定义域必须关于原点对称！定义域不关于原点对称→函数非奇非偶。 偶函数：定义域内任意x，都满足 图像特征：关于轴对称；若x在定义域，则-x也在定义域。 奇函数：定义域内任意x，都满足 图像特征：关于原点中心对称； 重要推论：奇函数若在x=0处有定义，则。 奇偶运算性质 表格 函数 奇偶性 奇 ± 奇 奇函数 偶 ± 偶 偶函数 奇 × 奇、偶 × 偶 偶函数 奇 × 偶 奇函数 奇偶 + 单调性综合：偶函数在对称区间增减性相反；奇函数对称区间增减性相同。 考点四 函二次函数图像与性质 二次函数 开口：a>0开口向上；a<0开口向下； 对称轴：；顶点坐标； ，判别式决定与x轴交点； 单调区间： a>0：递减；递增； a<0：递增；递减。 闭区间\m,n]求最值核心：看对称轴落在区间左侧、区间内部、区间右侧三种位置。 定轴动区间：对称轴固定，区间变化； 动轴定区间：区间固定，对称轴含参数移动。 题型一 函数三要素、定义域值域 典例1 （安徽省合肥市长丰北部联盟校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数，则的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 迁移应用1（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型二 分段函数 典例1 （安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 迁移应用1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省皖豫�县中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（黄山专版））已知函数的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 函数的奇偶性 典例1 （安徽省六安市舒城县晓天中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知 是偶函数，定义域为 ，则单调递减区间是_______． 迁移应用1（安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷B）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是___________． 2．（安徽省皖豫�县中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（黄山专版））已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 题型四 函数单调性、奇偶综合解不等式 典例1 （安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 迁移应用1．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 二次函数闭区间最值 典例1（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)作出的函数图象； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 迁移应用1．（安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷A）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（安徽省阜新市部分重点高中2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 抽象函数 典例1 （安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数定义域为，满足对于任意，当时都有，且当时. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)若不等式在上恒成立，求的值. 迁移应用1．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 2．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 2．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省合肥市蜀山区合肥百花中学等四校联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 4．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 7．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省滁州市2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 2．（安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷）已知符号函数，下列说法中正确的是（　　） A．是奇函数 B．对任意的实数 C．函数的值域为 D．直线和函数的图象至多有2个公共点 3．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）下列命题正确的有（　　） A．函数与是同一个函数 B．函数值域为 C．命题“”的否定为“，有” D．若函数的定义域为，则 4．（安徽省合肥市长丰北部联盟校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）下列说法中正确的是（    ）． A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 5．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）函数的图象如图所示，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，只有唯一的与之对应 D． 6．（安徽省六安市舒城县晓天中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）设，则（    ） A． B．（） C．在上单调递增 D．的值域为 7．（安徽省六安市六安第二中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）下列说法不正确的是（      ） A．函数 在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．已知函数  在 上是增函数，则实数的取值范围是 D．若的定义域为，则 的定义域为 8．（安徽省A10联盟＆宿州十三校2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学（人教A版）试题）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $