第二章 函数（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 第二章函数单元强化卷，120分钟150分，覆盖单调性、奇偶性等核心知识，通过基础巩固到综合应用的梯度设计适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|单调性、同一函数判断|基础概念辨析，如第1题单调区间求解| |多选|3/18|函数性质综合判断|多维度辨析，如第9题充要条件与定义域| |填空|3/15|奇偶性、不等式解集|性质应用，如第13题偶函数单调性解不等式| |解答题|5/67|单调性证明、解析式、最值|综合应用，如第15题单调性证明与大小比较，培养推理能力|

第二章 函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．若函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 11．下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图象关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数，若，则______. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 14．已知函数为奇函数，则________. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 16．（15分）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 17．（15分）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 18．（17分）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 19．（17分）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C DB A A A B D 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 BD BD ABD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12．或/或 13． 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 【答案】(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 17．（15分） 【答案】(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 18．（17分） 【答案】(1) (2)为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）略 19．（17分） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 2．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 3．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 4．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 5．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 6．是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数且周期为， 所以， 当时，，则， 所以. 7．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 由， 可得， 所以． 8．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 10．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 11．下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图象关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为， 由得，则函数的定义域为，A错误； 对于B，由反比例函数单调性可知， 函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到函数的图象， 所以函数的对称中心为，C正确； 对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数， 根据幂函数定义和性质可得，解得，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据偶函数的性质转化不等式，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 14．已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则 因为 ， 所以， 则， 解得. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 【答案】(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 16．（15分）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 17．（15分）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 18．（17分）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）略 19．（17分）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $