专题07 指数运算与指数函数（知识必备+9大核心题型+分层验收）（期中复习讲义）高一数学上学期北师大版

专题07 指数运算与指数函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根式化简求值 能对根式化简 基础考点，常出现在选择题，填空题 分数指数幂与根式的互化 会对根式、分数指数幂进行互化 基础考点，常出现在选择题，填空题 指数幂的运算 能进行简单的指数运算 期中必考考点，出现在各种题型中 指数函数的图象与性质 能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象及研究其性质 高频考点，涉及各种题型 比较大小 能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。 高频考点，常需引入中间量0或1。 指数不等式 能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。 易错考点，易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。 指数型复合函数的单调性 能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。 易错考点，易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。 指数型复合函数的值域 能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。 高频考点及易错考点，易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域） 知识点01 根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点04 指数函数的图象与性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点，即 0时，1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 知识点05 指数函数的图象变换（拓展） 指数函数的图象可通过“平移、对称、伸缩”变换得到相关函数的图象，核心变换规则如下（以（）为基础函数）： （1）平移变换 水平平移：（为常数）： 当时，图象向左平移个单位； 当时，图象向右平移|h|个单位； （如是向左平移3个单位，过定点）； 垂直平移：（为常数）： 当时，图象向上平移个单位； 当时，图象向下平移|k|个单位； （如是向下平移2个单位，过定点，值域为）． （2）对称变换 关于轴对称：（图象与关于轴对称，值域为）； 关于轴对称：（图象与关于轴对称，若，则，单调性相反）； 关于原点对称：（图象与关于原点对称，值域为）． （3）伸缩变换 水平伸缩：（，）： 当时，图象沿轴压缩为原来的； 当时，图象沿轴拉伸为原来的； 垂直伸缩：（，）： 当时，图象沿轴拉伸为原来的倍； 当时，图象沿轴压缩为原来的倍； （注意：不是严格意义上的指数函数，称为“指数型函数”，但性质与指数函数类似）． 题型一 根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 分数指数幂与根式的互化 解｜题｜技｜巧 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 【典例2】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【变式2-1】(多选)（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段练习）将化简为指数幂的形式： ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）化简： . 题型三 指数幂化简求值 解｜题｜技｜巧 1.指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算。 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数。 4.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 【典例3】（1）化简：． （2）已知，求． 【变式3】（1）求值：； （2）已知，求值：. 题型四 指数函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【典例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【变式4-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】“是函数且）的图象经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五 指数型函数的定义域问题 解｜题｜技｜巧 （1）指数函数的定义域为R； （2）指数型函数的定义域与函数的定义域一致. 【典例5】（2025•宜春期中）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2） 【变式5-1】（2025•威海期末）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞） 【变式5-2】（2025秋•信丰县月考）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 题型六 指数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【典例6-1】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 指数（型）函数单调性的应用 解｜题｜技｜巧 利用指数函数的单调性，可以比较指数幂的大小，解指数不等式，解决最值或值问题等等，应用广泛. 【典例7-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 指数（型）函数的值域或最值 解｜题｜技｜巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【典例8-1】（25-26高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【变式8-1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型九 指数（型）函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 指数函数性质综合应用需紧扣的核心性质.化简求值用指数运算性质统一底数或借定点；比较大小、解不等式靠单调性，复合函数遵 “同增异减”；求最值结合定义域与单调性，遇参数需分类讨论底数范围，灵活转化问题. 【典例9】（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数，. (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)求的最大值； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 【变式9-1】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【变式9-2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3.（25-26高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7.（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 8．（多选）（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，且，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集是 9.（25-26高三上·北京·阶段练习）函数的定义域是 10．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 11．（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 12．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 15．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 17．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 18．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 21．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 23．（25-26高三上·北京·阶段练习）若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 . 24．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围为 . 25．（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 . 26．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 27．（24-25高一上·山东威海·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 28．（24-25高一上·河南·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 29．(多选)（24-25高三上·辽宁·阶段练习）若，使得，且当时，，则称为正移函数.定义符号函数，设，则（   ） A．是奇函数 B．是1－正移函数 C．方程有且仅有两解 D．函数的最小值为 30.已知函数且且，，则实数的取值范围是 . 31．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ． 32．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 33．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 指数运算与指数函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 根式化简求值 能对根式化简 基础考点，常出现在选择题，填空题 分数指数幂与根式的互化 会对根式、分数指数幂进行互化 基础考点，常出现在选择题，填空题 指数幂的运算 能进行简单的指数运算 期中必考考点，出现在各种题型中 指数函数的图象与性质 能根据底数a>1或0<a<1判断函数图象及研究其性质 高频考点，涉及各种题型 比较大小 能将幂值、对数值化归到同一函数，利用单调性比较。 高频考点，常需引入中间量0或1。 指数不等式 能利用单调性（注意底数决定不等号方向）解简单不等式。 易错考点，易错点在底数在(0,1)时不等号要反向。 指数型复合函数的单调性 能判断指对复合函数的单调性，掌握“同增异减”法则。 易错考点，易错点是忽略内层函数f(x)本身的定义域及其单调性对整体的影响。 指数型复合函数的值域 能通过换元法，将复合函数转化为二次函数等基本函数在特定区间上求值域。 高频考点及易错考点，易错点是在换元后，未能准确求出新元（内层函数f(x)）的取值范围（即新函数的定义域） 知识点01 根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点02 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点03 无理指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点04 指数函数的图象与性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点，即 0时，1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 知识点05 指数函数的图象变换（拓展） 指数函数的图象可通过“平移、对称、伸缩”变换得到相关函数的图象，核心变换规则如下（以（）为基础函数）： （1）平移变换 水平平移：（为常数）： 当时，图象向左平移个单位； 当时，图象向右平移|h|个单位； （如是向左平移3个单位，过定点）； 垂直平移：（为常数）： 当时，图象向上平移个单位； 当时，图象向下平移|k|个单位； （如是向下平移2个单位，过定点，值域为）． （2）对称变换 关于轴对称：（图象与关于轴对称，值域为）； 关于轴对称：（图象与关于轴对称，若，则，单调性相反）； 关于原点对称：（图象与关于原点对称，值域为）． （3）伸缩变换 水平伸缩：（，）： 当时，图象沿轴压缩为原来的； 当时，图象沿轴拉伸为原来的； 垂直伸缩：（，）： 当时，图象沿轴拉伸为原来的倍； 当时，图象沿轴压缩为原来的倍； （注意：不是严格意义上的指数函数，称为“指数型函数”，但性质与指数函数类似）． 题型一 根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 分数指数幂与根式的互化 解｜题｜技｜巧 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 【典例2】（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 【变式2-1】(多选)（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段练习）将化简为指数幂的形式： ． 【答案】. 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】将根式化为分数指数，结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 题型三 指数幂化简求值 解｜题｜技｜巧 1.指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算。 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数。 4.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 【典例3】（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 【变式3】（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 题型四 指数函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）牢记指数函数的基本形式，根据底数大小判断图象在第一象限的升降趋势。 （2）利用指数函数图象的平移、对称等变换规律，解决图象相关问题。 （3）结合指数函数图象的性质，分析函数的定义域、值域等。 【典例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图， 由图知不经过第二象限， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质即可得解. 【详解】，故函数恒过点. 故选：A. 【变式4-2】“是函数且）的图象经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象特征，结合与0的关系，即可分别求解充分性和必要性，进而根据充要条件的定义求解. 【详解】解：对于函数且）， 当时，，结合指数函数的图象特征，可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立； 对于函数且），当时，且单调递减，此时它不经过第三象限， 当时，为增函数且，经过第三象限，故符合题意，必要性成立， 综上所述，“”是“函数且）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C． 题型五 指数型函数的定义域问题 解｜题｜技｜巧 （1）指数函数的定义域为R； （2）指数型函数的定义域与函数的定义域一致. 【典例5】（2025•宜春期中）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2） 【答案】B 【分析】可看出，要使函数有意义，则x需满足9﹣3x＞0，解出x的范围即可． 【详解】要使函数f（x）有意义，则9﹣3x＞0； 解得：x＜2； ∴函数f（x）的定义域是（﹣∞，2）． 故选：B． 【变式5-1】（2025•威海期末）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞） 【答案】D 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案． 【详解】由，得，即x≥0． ∴函数的定义域为[0，+∞）． 故选：D． 【变式5-2】（2025秋•信丰县月考）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数，找出函数有意义的关系式，解出即可． 【详解】因为 所以， 所以函数要有意义则：， 即， 即， 所以函数的定义域为：． 故选：D． 题型六 指数（型）函数的单调性 解｜题｜技｜巧 （1）当底数大于 1 时，指数函数单调递增；底数大于 0 小于 1 时，单调递减。 （2）对于指数型复合函数，依据 “同增异减” 原则判断单调性。 （3）注意函数定义域对单调性的影响，分析单调区间要考虑定义域范围。 【典例6-1】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 【典例6-2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 【变式6-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 【变式6-2】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 题型七 指数（型）函数单调性的应用 解｜题｜技｜巧 利用指数函数的单调性，可以比较指数幂的大小，解指数不等式，解决最值或值问题等等，应用广泛. 【典例7-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 【典例7-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意，不等式等价于或，再解不等式组即可. 【详解】由题知或， 或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数是偶函数，再利用指数函数的单调性，以及奇偶性可得，解不等式即可得出结论. 【详解】函数，定义域为，关于原点对称， 又因为，易知是偶函数， 当时，，则在上单调递增． 由，得，解得． 故选：B 题型八 指数（型）函数的值域或最值 解｜题｜技｜巧 （1）根据指数函数的单调性确定值域，如单调递增函数，定义域左端点对应最小值，右端点对应最大值。 （2）对于指数型复合函数，通过换元法转化为熟悉函数求值域和最值。 （3）注意指数函数本身的取值范围限制，如指数函数的值域恒大于 0。 【典例8-1】（25-26高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 【典例8-2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 【变式7-2】（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 题型九 指数（型）函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 指数函数性质综合应用需紧扣的核心性质.化简求值用指数运算性质统一底数或借定点；比较大小、解不等式靠单调性，复合函数遵 “同增异减”；求最值结合定义域与单调性，遇参数需分类讨论底数范围，灵活转化问题. 【典例9】（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数，. (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)求的最大值； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）求得的对称轴，结合条件可得或，求解即可； （2）利用基本不等式可求的最大值； （3）求得函数的值域，设在的值域为，的值域为，由题意可得，进而分类讨论可求得的取值范围. 【详解】（1），对称轴为直线， 因为在上单调，所以或，解得或或， 所以的取值范围为. （2），当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是. （3）因为，，所以，又时，，所以的值域为. 设在的值域为，的值域为， 因为对，，使得，即，所以. 由（1）知的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以满足题意的不存在； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 令和中的最大值为，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以； ③当，即时，在上单调递减， 所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以. 综上所述，，即的取值范围是. 【变式9-1】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）先判定函数定义域，借助求参数，再验证即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）根据（2）的结论，将问题转化为二次方程的根的个数问题，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1），则恒成立，所以定义域为R， 则，所以， 此时，符合题意， 故 （2）由上知， 不妨设，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 即，即在R上单调递增； （3）由上知在R上单调递增，所以， 整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解不等式组得. 【变式9-2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将函数式代入结合指数幂的计算即得证； （2）结合奇函数的性质及函数的单调性计算求解； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）. （2）因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解得，解集为； （3）因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，知在区间上单调递增，故， 由可得， 令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图，    当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 3.（25-26高三上·辽宁·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且， 所以，即. 故选：C. 5．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 6．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 7.（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 8．（多选）（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，且，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】由题意求得即可判断ABC，进一步结合函数单调性，解二次不等式即可判断D. 【详解】对于AB，因为，所以，，故A正确，B错误； 对于C，是增函数，故C正确； 对于D, ，是增函数，所以， 解得，所以不等式的解集是，故D正确. 故选：ACD. 9.（25-26高三上·北京·阶段练习）函数的定义域是 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 10．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 11．（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项，解不等式即可． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 12．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 15．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，利用单调性并结合零点存在性定理确定的大小关系，再利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】令函数， 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 同理函数在R上单调递增，而，， 则；，，则， 即，所以. 故选：C 17．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】C 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 18．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 19．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性，结合单调性与奇偶性得到，解得即可. 【详解】因为，函数的定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 所以，即为偶函数， 又当时，且与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 20．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 21．（多选）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 22．（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BD 【分析】根据奇偶性构造方程组求出函数，，然后根据解析式代入计算可 判断AB；判断函数的单调性，结合奇偶性去掉函数符号求解可判断C；令，将问题转化为方程有两个不相等的正实根，根据韦达定理和判别式列不等式组求解可判断D. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得， 对A， ，A错误； 对B，，B正确； 对C，因为都是在上的增函数，所以在上单调递增， 由为奇函数，所以不等式， 即，解得，C错误； 对D，方程有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实根， 整理得， 令，则有两个不相等的正实根， 由韦达定理和判别式可得，解得，D正确. 故选：BD 23．（25-26高三上·北京·阶段练习）若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过已知条件，结合基本不等式“1”的代换应用，求得的最小值，再根据恒成立的条件，得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】因为两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又恒成立，即恒成立，解得， 所以实数的取值范围是. 24．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分段分析函数的单调性，求出各段的最小值，令最小值都大于0可求的取值范围. 【详解】当时，恒成立，易知函数为增函数， 则，解得； 当时，恒成立，即， 因为在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 由，解得. 综上，的取值范围为. 25．（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析知，原题条件等价于在区间上恒成立，结合基本不等式求解在区间上的最小值即可. 【详解】设函数在上单调递增，函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 在区间上恒成立等价于在区间上恒成立. ，当且仅当时，等号成立， ，即实数的取值范围是. 26．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． （2）若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 27．（24-25高一上·山东威海·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用换元法结合指数函数性质求解不等式即可. （2）（i）将方程有根问题转化为函数交点问题，结合二次函数的性质求解参数范围即可. （ii）利用韦达定理得到，结合求出的参数范围得到，再利用指数函数性质求解不等式，证明原命题即可. 【详解】（1）对于，令， 则可化为， 若，则，即， 解得，得到，解得， 则的取值范围为. （2）（i）若关于的方程有两个不相等的实数根， 则方程有两个不相等的正实数根， 得到与有两个不相同的横坐标大于的交点， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，最小值为，故， （ii）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等的正实数根， 而我们把方程的两个根设为，， 则设的两个根为， 由韦达定理得，即， 结合，得到， 即，解得，原命题得证. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 28．（24-25高一上·河南·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据高斯函数的定义及的值域即可求解． 【详解】， ， ， 当时，； 当时， 的可能取值，0． 故选：B. 29．(多选)（24-25高三上·辽宁·阶段练习）若，使得，且当时，，则称为正移函数.定义符号函数，设，则（   ） A．是奇函数 B．是1－正移函数 C．方程有且仅有两解 D．函数的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性可判断A选项；求导，判断函数单调性与极值情况，再结合一正移函数的定义可判断B选项；根据函数的单调性与取值情况，可判断CD选项. 【详解】对于A：显然有，即，故是奇函数，故A正确； 对于B：时，，时，，单调递减，时，，单调递增，故此时. 而，故时，，注意到在，，的形状与值域相同， 故时，.故是正移函数，故B正确； 对于C：时，，只需考虑， 注意到，时，故方程在上无解， 而，故方程在上有一解，由单调性可知方程在上有且仅有一根，故C错误； 对于D：时，显然，时，， 而在上的值域即为其在上的值域， 由单调性可知值域为，于是在上的值域为， 而当时，， 故易知在上的值域为，于是显然的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 30.已知函数且且，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为且， 不妨设，则， 则， 所以， 令函数 则为上的增函数，则 解得. 故选：D. 31．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果； 【详解】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0， 即，可得解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即此时不等式组无解 综上所述，． 32．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在上递增， 则在上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 33．（2025·海南·模拟预测）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)为有界函数 (2)存在， (3) 【分析】（1）求得函数的表达式，利用二次函数的性质可得函数的最大值，进而判定为有界函数； （2）分离常数，然后利用指数函数的性质可以得到的取值范围，进而得解； （3）将不等式恒成立问题分离参数，然后利用函数的单调性求得参数的取值范围. 【详解】（1）令，则， 当时，函数的最大值为， 所以，即，所以为有界函数． （2）， ，在上递增， ，， ，所以， 存在上界的范围是． （3）由题意知，在上恒成立， ，， 因此在上恒成立， ， 设，由知， 设，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为在上的最小值为， ．的取值范围． 6 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $