专题01 预备知识（期中复习讲义）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题01 预备知识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 集合 / 充要条件与逻辑用语 / 不等式性质/ 基本不等式 05 重难题型突破 集合的基本运算与集合间关系/充分必要条件的判定/全称量词与存在量词命题 /基本不等式求最值/一元二次不等式求解/一元二次不等式恒成立、能成立问题 /不等式实际应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点集合交并补运算、集合包含关系与参数求解；充分、必要条件判定，全称 / 存在量词命题否定；不等式性质判断；基本不等式求最值（乘 1 法、配凑定值）；一元二次不等式求解、含参二次不等式讨论；二次不等式恒成立、能成立问题；结合实际应用的利润最值模型。难度分布：基础题占比大，中档题集中在含参集合、恒成立与能成立、基本不等式配凑；压轴常为二次不等式综合、实际应用题。 识记 熟记集合元素三大特性、常用数集符号；记住子集、真子集、交并补、空集定义；分清充分条件、必要条件、充要条件；记住全称量词、存在量词，掌握命题否定规则；记住不等式基础性质；牢记基本不等式 “一正二定三相等”；掌握三个二次对应关系。 理解 辨析空集易错点；理解小范围推大范围（集合与充分必要条件转化）；区分恒成立 vs 能成立；理解基本不等式等号成立条件；理解含参一元二次不等式讨论顺序：二次项系数→判别式 Δ→两根大小。 应用 会处理集合含参问题，会转化充分必要条件为集合包含关系；会写全称、存在量词命题否定；会用基本不等式解决最值；会解含参一元二次不等式；会处理恒成立、能成立；会建立函数模型解决实际利润、面积最值应用题。 考点一 集合 1 集合与元素的基本概念 元素：研究的所有对象统称为元素，常用小写字母表示； 集合：把一些确定的对象汇集在一起构成集合，常用大写字母表示； 元素与集合关系 属于：在集合A中，记作； 不属于：不在集合A中，记作； 判断能否构成集合标准：对象必须具备确定性，模糊描述（好看、高个子、接近 1 的数）不能组成集合。 2 集合元素三大特性 确定性：给定集合，任一对象能明确判断属于 / 不属于； 互异性：集合中任意两个元素互不相同（解题核心，含参必检验）； 无序性：集合内元素无先后顺序。 3 常用数集符号 表格 数集名称 符号 含义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 所有整数、分数 实数集 有理数 + 无理数 4 集合的分类（按元素个数） 有限集：元素个数有限； 无限集：元素无限多； 空集：不含任何元素，记作； 易错：{0}不是空集，含元素 0；无元素。 5.空集 定义：若集合A中任意一个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作，读作 “A包含于B”。 逻辑判定：。 基础性质： ① 任何集合是自身子集：； ② 空集是任意集合的子集：； ③ 传递性：。 6集合间的关系 真子集：定义：，且存在元素属于B但不属于A，则A是B的真子集，记作。 判定：。 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集：； ② 传递性：； ③ 一个集合不能是自身的真子集：。 集合相等等价条件：； 含义：两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 有限集合子集个数公式 设集合A含有n个元素： 子集总数：和集合本身）； 真子集个数：个（去掉集合自身）； 非空子集个数：个（去掉空集）； 非空真子集个数：个（去掉空集、集合自身）。 7 集合间的运算 交集定义：由所有同时属于集合A、集合B的元素组成的集合； 图形：Venn 图两集合重叠区域； 核心性质： 并集定义：由所有属于 A 或属于 B的元素组成的集合； 图形：Venn 图两集合全部覆盖区域； 核心性质： 全集定义：研究问题时，所有涉及元素构成的整体集合，记作U； 说明：全集随研究场景变化，数集问题常取为全集。 补集 定义：全集中不属于集合A 的全部元素构成的集合； 图形：全集内除去A剩余部分； 基础性质： 考点二 充要条件与逻辑用语 1 命题、条件与结论 命题定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题、假命题。 标准形式：若p，则q p：命题的条件； q：命题的结论。 推出符号： 若p成立一定推出q成立：记作； 若p成立不能推出q成立：记作。 2 充分条件的定义 若，则称： p是q的充分条件；q是p的必要条件。 通俗理解：有p就足够推出q，p是q成立的充分理由。 逻辑语言：p成立一定成立。 3 必要条件的定义 若，则q是p的必要条件。 通俗理解：要想p成立，必须先保证q成立，没有q就一定没有p。 逆否等价：（q不成立，则p一定不成立）。 4 四种条件关系完整分类 设条件p对应集合A，条件q对应集合B 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要）： 既不充分也不必要：互不包含 5 条件与集合范围转化 口诀：小范围推大范围 小集合大集合；大集合小集合。 对应关系： ：p是q充分不必要； ：p是q必要不充分； A=B：充要条件。 6 全称量词与全称量词命题 全称量词：表示全体、全部对象的词语 常见词汇：所有、任意、全部、每一个、一切、凡是 符号：，读作 “任意” 全称量词命题：含有全称量词的命题 标准形式：文字翻译：对集合M中任意一个x，都满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中所有元素都满足p(x)； 假命题：只需找到1 个反例，存在使不成立。 7 存在量词与存在量词命题 存在量词：表示部分、至少有一个对象的词语 常见词汇：存在、有一个、至少有一个、有些、某个 符号：，读作 “存在” 存在量词命题：含有存在量词的命题 标准形式：文字翻译：集合M中存在至少一个x，满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中能找到至少 1 个元素满足p(x)； 假命题：集合M中全部元素都不满足p(x)。 8 全称量词命题与存在量词命题的否定（核心考点） 核心改写规则：量词互换，结论否定 全称命题的否定 → 存在命题 原命题：否定： 逻辑：“全部都成立” 的反面是 “至少有一个不成立” 存在命题的否定 → 全称命题 原命题：否定： 逻辑：“存在一个成立” 的反面是 “全部都不成立” 常见结论否定对照表 表格 原结论 否定形式 > < = 是 不是 都有 / 全部成立 不都有、至少一个不成立 至多 1 个 至少 2 个 至少 1 个 一个都没有 考点三 不等式性质 1 实数比较大小公理（作差法依据） 任意实数，有等价关系： 拓展：正数可用作商法： 2 不等式 5 条基础性质（核心） 设 对称性： 传递性： 可加性：；同向可加 可乘性 （易错：乘负数变号） 正数同向可乘： 移项法则： 3 正数衍生性质（乘方、开方、倒数） 若 倒数：（必须同号才成立） 乘方： 开方： 考点四 基本不等式 1 重要不等式 对任意实数，平方重要不等式： 当且仅当时，等号成立。 推导：。 拓展变形：。 2 基本不等式 若，则 其中：算术平均数；：几何平均数； 文字表述：两个正数的几何平均数不大于算术平均数； 等号条件：当且仅当取等。 三大使用准则：一正、二定、三相等 一正：均为正数； 二定：和为定值，或积为定值； 三相等：存在实数能使。 3 两类标准最值模型 积定和最小 若（定值），则； 当时，取得最小值。 和定积最大 若（定值），则； 当时，取得最大值。 4 基本不等式变形拓展 时： （调和 / 几何 / 算术 / 平方均值链） 含负变量变形：时令，转化正数再求解。 5 三元均值不等式拓展（多变量） 若，则，当且仅当取等； 适用：三项式求最值，配凑三项和 / 积定值。 考点五 一元二次不等式 1 一元二次函数三种表达式（解析式） 一般式：，适合已知任意三点； 顶点式：，顶点(h,k)，对称轴x=h，由配方法得到； 零点式：，为函数零点，仅可用。 核心技能：一般式与顶点式互相转化（配方法）。 2 二次函数图象与基本性质 函数，抛物线： 开口方向：向上，向下；越大，图象越窄； 对称轴：；顶点坐标 ； 单调性：以对称轴分界，左右单调相反； 最值：顶点处取得唯一最值；只有最小值，只有最大值。 3 三个二次之间的关系（核心主干） 设 ：方程两根解集：解集： ：方程有相等实根解集：解集： ：方程无实数根解集：；解集： 口诀：大于取两边，小于取中间 4 含参数一元二次不等式讨论逻辑 讨论固定顺序： 第一层：二次项系数 a=0（一次不等式）、a>0、a<0； 第二层：判别式； 第三层：时，比较两根大小。 5 已知一元二次不等式解集求参数 核心结论： 若不等式解集为，可得： ①；②是方程两根； 利用韦达定理（根与系数关系）建立方程求参数。 6 一元二次不等式在实数集上恒成立 设 对恒成立 2.对恒成立 补充讨论：退化为一次不等式的情形。 7.一元二次不等式在某区间上恒成立 常用两种思路： 最值法：在区间恒成立；在区间恒成立； 分离参数法，转化为函数最值问题； 需要结合对称轴与区间位置分类讨论。 在区间上有解 ；在区间上有解 ； ⚠易混对比： 恒成立：全部 x 满足；有解：至少存在一个 x 满足。 题型一：集合的基本运算与集合间关系 典例1 1.整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则整数属于同一个类 迁移应用 1．某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 2．已知集合，集合，． (1)求； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 题型二：充分必要条件的判定 典例1 1.下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 迁移应用 1．已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________. 2．设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足. (1)若，当命题p和q都为真命题时，求实数x的取值范围； (2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 题型三：全称量词与存在量词命题 典例1 1.下列说法中正确的是（    ） A．命题“”是真命题 B．若命题是假命题，则的取值范围为 C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 迁移应用 1．已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 2．若“”是假命题，则的取值范围为__________. 题型四：基本不等式求最值 典例1 1.已知，当取最小值时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 迁移应用 1．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五：一元二次不等式求解 典例1 1.若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 迁移应用 1.不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)当时，求满足的实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式. 题型六：一元二次不等式恒成立、能成立问题 典例1 1.设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围. (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 迁移应用 1．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设，求关于x的不等式的解集； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 题型七：不等式实际应用 典例1 1.深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 迁移应用 1．青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 2．我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知集合，若，则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 6．设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 综合进阶练（限时：15分钟） 1．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)若，求的最小值． 2．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 4．已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)在（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 5．已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 6．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 7．已知函数且经过两点． (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当是定义在上的函数时，解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 预备知识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 集合 / 充要条件与逻辑用语 / 不等式性质/ 基本不等式 05 重难题型突破 集合的基本运算与集合间关系/充分必要条件的判定/全称量词与存在量词命题 /基本不等式求最值/一元二次不等式求解/一元二次不等式恒成立、能成立问题 /不等式实际应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点集合交并补运算、集合包含关系与参数求解；充分、必要条件判定，全称 / 存在量词命题否定；不等式性质判断；基本不等式求最值（乘 1 法、配凑定值）；一元二次不等式求解、含参二次不等式讨论；二次不等式恒成立、能成立问题；结合实际应用的利润最值模型。难度分布：基础题占比大，中档题集中在含参集合、恒成立与能成立、基本不等式配凑；压轴常为二次不等式综合、实际应用题。 识记 熟记集合元素三大特性、常用数集符号；记住子集、真子集、交并补、空集定义；分清充分条件、必要条件、充要条件；记住全称量词、存在量词，掌握命题否定规则；记住不等式基础性质；牢记基本不等式 “一正二定三相等”；掌握三个二次对应关系。 理解 辨析空集易错点；理解小范围推大范围（集合与充分必要条件转化）；区分恒成立 vs 能成立；理解基本不等式等号成立条件；理解含参一元二次不等式讨论顺序：二次项系数→判别式 Δ→两根大小。 应用 会处理集合含参问题，会转化充分必要条件为集合包含关系；会写全称、存在量词命题否定；会用基本不等式解决最值；会解含参一元二次不等式；会处理恒成立、能成立；会建立函数模型解决实际利润、面积最值应用题。 考点一 集合 1 集合与元素的基本概念 元素：研究的所有对象统称为元素，常用小写字母表示； 集合：把一些确定的对象汇集在一起构成集合，常用大写字母表示； 元素与集合关系 属于：在集合A中，记作； 不属于：不在集合A中，记作； 判断能否构成集合标准：对象必须具备确定性，模糊描述（好看、高个子、接近 1 的数）不能组成集合。 2 集合元素三大特性 确定性：给定集合，任一对象能明确判断属于 / 不属于； 互异性：集合中任意两个元素互不相同（解题核心，含参必检验）； 无序性：集合内元素无先后顺序。 3 常用数集符号 表格 数集名称 符号 含义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 所有整数、分数 实数集 有理数 + 无理数 4 集合的分类（按元素个数） 有限集：元素个数有限； 无限集：元素无限多； 空集：不含任何元素，记作； 易错：{0}不是空集，含元素 0；无元素。 5.空集 定义：若集合A中任意一个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作，读作 “A包含于B”。 逻辑判定：。 基础性质： ① 任何集合是自身子集：； ② 空集是任意集合的子集：； ③ 传递性：。 6集合间的关系 真子集：定义：，且存在元素属于B但不属于A，则A是B的真子集，记作。 判定：。 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集：； ② 传递性：； ③ 一个集合不能是自身的真子集：。 集合相等等价条件：； 含义：两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 有限集合子集个数公式 设集合A含有n个元素： 子集总数：和集合本身）； 真子集个数：个（去掉集合自身）； 非空子集个数：个（去掉空集）； 非空真子集个数：个（去掉空集、集合自身）。 7 集合间的运算 交集定义：由所有同时属于集合A、集合B的元素组成的集合； 图形：Venn 图两集合重叠区域； 核心性质： 并集定义：由所有属于 A 或属于 B的元素组成的集合； 图形：Venn 图两集合全部覆盖区域； 核心性质： 全集定义：研究问题时，所有涉及元素构成的整体集合，记作U； 说明：全集随研究场景变化，数集问题常取为全集。 补集 定义：全集中不属于集合A 的全部元素构成的集合； 图形：全集内除去A剩余部分； 基础性质： 考点二 充要条件与逻辑用语 1 命题、条件与结论 命题定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题、假命题。 标准形式：若p，则q p：命题的条件； q：命题的结论。 推出符号： 若p成立一定推出q成立：记作； 若p成立不能推出q成立：记作。 2 充分条件的定义 若，则称： p是q的充分条件；q是p的必要条件。 通俗理解：有p就足够推出q，p是q成立的充分理由。 逻辑语言：p成立一定成立。 3 必要条件的定义 若，则q是p的必要条件。 通俗理解：要想p成立，必须先保证q成立，没有q就一定没有p。 逆否等价：（q不成立，则p一定不成立）。 4 四种条件关系完整分类 设条件p对应集合A，条件q对应集合B 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要）： 既不充分也不必要：互不包含 5 条件与集合范围转化 口诀：小范围推大范围 小集合大集合；大集合小集合。 对应关系： ：p是q充分不必要； ：p是q必要不充分； A=B：充要条件。 6 全称量词与全称量词命题 全称量词：表示全体、全部对象的词语 常见词汇：所有、任意、全部、每一个、一切、凡是 符号：，读作 “任意” 全称量词命题：含有全称量词的命题 标准形式：文字翻译：对集合M中任意一个x，都满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中所有元素都满足p(x)； 假命题：只需找到1 个反例，存在使不成立。 7 存在量词与存在量词命题 存在量词：表示部分、至少有一个对象的词语 常见词汇：存在、有一个、至少有一个、有些、某个 符号：，读作 “存在” 存在量词命题：含有存在量词的命题 标准形式：文字翻译：集合M中存在至少一个x，满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中能找到至少 1 个元素满足p(x)； 假命题：集合M中全部元素都不满足p(x)。 8 全称量词命题与存在量词命题的否定（核心考点） 核心改写规则：量词互换，结论否定 全称命题的否定 → 存在命题 原命题：否定： 逻辑：“全部都成立” 的反面是 “至少有一个不成立” 存在命题的否定 → 全称命题 原命题：否定： 逻辑：“存在一个成立” 的反面是 “全部都不成立” 常见结论否定对照表 表格 原结论 否定形式 > < = 是 不是 都有 / 全部成立 不都有、至少一个不成立 至多 1 个 至少 2 个 至少 1 个 一个都没有 考点三 不等式性质 1 实数比较大小公理（作差法依据） 任意实数，有等价关系： 拓展：正数可用作商法： 2 不等式 5 条基础性质（核心） 设 对称性： 传递性： 可加性：；同向可加 可乘性 （易错：乘负数变号） 正数同向可乘： 移项法则： 3 正数衍生性质（乘方、开方、倒数） 若 倒数：（必须同号才成立） 乘方： 开方： 考点四 基本不等式 1 重要不等式 对任意实数，平方重要不等式： 当且仅当时，等号成立。 推导：。 拓展变形：。 2 基本不等式 若，则 其中：算术平均数；：几何平均数； 文字表述：两个正数的几何平均数不大于算术平均数； 等号条件：当且仅当取等。 三大使用准则：一正、二定、三相等 一正：均为正数； 二定：和为定值，或积为定值； 三相等：存在实数能使。 3 两类标准最值模型 积定和最小 若（定值），则； 当时，取得最小值。 和定积最大 若（定值），则； 当时，取得最大值。 4 基本不等式变形拓展 时： （调和 / 几何 / 算术 / 平方均值链） 含负变量变形：时令，转化正数再求解。 5 三元均值不等式拓展（多变量） 若，则，当且仅当取等； 适用：三项式求最值，配凑三项和 / 积定值。 考点五 一元二次不等式 1 一元二次函数三种表达式（解析式） 一般式：，适合已知任意三点； 顶点式：，顶点(h,k)，对称轴x=h，由配方法得到； 零点式：，为函数零点，仅可用。 核心技能：一般式与顶点式互相转化（配方法）。 2 二次函数图象与基本性质 函数，抛物线： 开口方向：向上，向下；越大，图象越窄； 对称轴：；顶点坐标 ； 单调性：以对称轴分界，左右单调相反； 最值：顶点处取得唯一最值；只有最小值，只有最大值。 3 三个二次之间的关系（核心主干） 设 ：方程两根解集：解集： ：方程有相等实根解集：解集： ：方程无实数根解集：；解集： 口诀：大于取两边，小于取中间 4 含参数一元二次不等式讨论逻辑 讨论固定顺序： 第一层：二次项系数 a=0（一次不等式）、a>0、a<0； 第二层：判别式； 第三层：时，比较两根大小。 5 已知一元二次不等式解集求参数 核心结论： 若不等式解集为，可得： ①；②是方程两根； 利用韦达定理（根与系数关系）建立方程求参数。 6 一元二次不等式在实数集上恒成立 设 对恒成立 2.对恒成立 补充讨论：退化为一次不等式的情形。 7.一元二次不等式在某区间上恒成立 常用两种思路： 最值法：在区间恒成立；在区间恒成立； 分离参数法，转化为函数最值问题； 需要结合对称轴与区间位置分类讨论。 在区间上有解 ；在区间上有解 ； ⚠易混对比： 恒成立：全部 x 满足；有解：至少存在一个 x 满足。 题型一：集合的基本运算与集合间关系 典例1 1.整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则整数属于同一个类 【答案】ABD 【分析】根据题干的定义，通过计算可判断A，通过推理判断B和D，通过举特殊值可判断C. 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，，不妨令，，，， 则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确. 故选：ABD. 迁移应用 1．某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    2．已知集合，集合，． (1)求； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解出各个集合，再利用集合的交并补混合运算求解即可. （2）结合必要条件的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）令，解得，则， 令，解得，则， 可得，故. （2）令，解得，则， 因为是的必要条件，所以，解得. 题型二：充分必要条件的判定 典例1 1.下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【分析】选项A，根据充分条件与必要条件的概念判断；选项B，结合解一元二次不等式，充分条件与必要条件的概念判断；选项C，假设都不大于2，推出矛盾；选项D，列举法表示集合即可判断. 【详解】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误； 选项B，由解得， 由能够得到，充分性成立， 由不能够得到，必要性不成立，所以B正确； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾， 所以要满足，中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确. 故选：BCD. 迁移应用 1．已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求解集合，再根据求解即可. 【详解】因等价于且，则， 若是的充分不必要条件，所以， 则，得， 故的取值范围为. 故答案为：. 2．设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足. (1)若，当命题p和q都为真命题时，求实数x的取值范围； (2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求得不等式的解，由命题p和q都为真命题求得实数x的取值范围； （2）由¬p是¬q的充分不必要条件，得q是p的充分不必要条件.列出实数a满足的条件，求得实数a的取值范围. 【详解】（1）命题p：实数x满足，解得， 命题q：实数x满足，解得. 若a＝1，则命题p：. 当命题p和q都为真命题时， 则解得， ∴实数x的取值范围是. （2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件. 所以，解得. 当时，命题p：.q是p的充分不必要条件； 当时，命题p：.q是p的充分不必要条件. ∴实数a的取值范围是. 题型三：全称量词与存在量词命题 典例1 1.下列说法中正确的是（    ） A．命题“”是真命题 B．若命题是假命题，则的取值范围为 C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】A应用特殊值0判断；B由已知命题为假有求参数范围判断；C利用根与系数关系，两根乘积为负，结合充要条件定义判断；D列举法表示集合判断. 【详解】A：当时，有，故题设命题为假命题，错； B：由题设命题为假命题，则有，可得，对； C：由方程的根一正一负，则必有两根之积，即题设条件关系为充要关系，对； D：由，共有4个元素，错. 故选：BC 迁移应用 1．已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 2．若“”是假命题，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围． 【详解】“”是假命题， 则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为． 故答案为：． 题型四：基本不等式求最值 典例1 1.已知，当取最小值时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取最小值. 所以,取最小值时，实数. 故选：B. 迁移应用 1．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 2．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 题型五：一元二次不等式求解 典例1 1.若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和2，且， 则，解得， 故函数， 则与轴的交点坐标为和，所以零点为和. 故选：D. 迁移应用 1.不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 2．已知函数. (1)当时，求满足的实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）将转化为一元二次不等式，由此可求实数的取值范围； （2）将转化为一元二次不等式，根据解集直接确定出的值； （3）对进行分类讨论，根据的大小关系求解出不等式解集. 【详解】（1）当时，，解得或， 所以实数的取值范围是. （2）因为，且的解集为， 所以的解集为， 所以，所以. （3）， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 题型六：一元二次不等式恒成立、能成立问题 典例1 1.设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围. (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【详解】（1）要使，恒成立，需. 函数在上单调递增，当时，. 因此有，即，解得. 即 （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为， 在区间上有， 则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 迁移应用 1．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为5，最小值为； (2). 【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解； （2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． （2）因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 2．已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设，求关于x的不等式的解集； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 若，的解集为； 若，的解集为； 若，的解集为． (3) 【分析】（1）由题意得对任意恒成立，结合判别式即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，利用分类讨论的方法，即可求得不等式解集； （3）由题意可得，结合，设，则，由此求出，即可得答案. 【详解】（1）由题意得对任意，恒成立， 得对任意恒成立， 即，解得，即． （2）因为， 令，则，， ①当时，，则； ②当时，若，则或； ③当时，若，则或， 综上，若，的解集为； 若，的解集为； 若，的解集为． （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 题型七：不等式实际应用 典例1 1.深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. 【详解】（1）由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以． （2）当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 迁移应用 1．青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 2．我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知集合，若，则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合包含关系的定义，由可知集合中的元素必在集合中，因此分情况讨论求解的值. 【详解】因为且，所以，又因为，所以或， 当时，，此时满足，该情况成立； 当时，或： 若，则，此时满足，该情况成立； 若，则，此时满足，该情况成立； 所以满足条件的的个数为3个. 故选：C. 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则恒成立，之间的大小关系不一定，即充分性不成立； 而，则，一定有，即必要性成立. 故选：B 3．已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，及充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】若关于的不等式在上恒成立， 则，，解得， 因为是的真子集， 所以“关于的不等式在上恒成立”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得对于恒成立，讨论和即可求解. 【详解】若命题：，是真命题， 则对于恒成立， 当时，可得：不满足对于恒成立，所以不符合题意； 当时，需满足解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于对于恒成立，需讨论和，当时，结合二次函数图象即可得等价条件. 5．存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（   ） A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．、都是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件的定义判断即可. 【详解】对于命题在上单调递减，且恒成立， 当时，此时， 又因为在上单调递减，所以， 又因为恒成立，所以， 所以，所以命题⇒命题， 对于命题在上单调递增，且存在使得， 当时，此时，， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以命题⇒命题， 所以、都是的充分条件， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握函数单调性的定义，找到相应的值，从而得解. 6．设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求解即可. 【详解】, 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 7．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集求出之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集. 【详解】的解集为， 且为方程的解， ，即， ，解得，， 的解集为. 故选：C. 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）由的两个根为，结合韦达定理即可求解； （2）由即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以的两个根为，且， 由根与系数的关系： ，得， 又因为，即，得， 所以； （2）由题意，可得， 可得 当且仅当，即时，等号成立， 可得的最小值为3． 2．已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以，解得. （3）由，可得， ①当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ②当，即时，，满足； ③当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 3．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为. 【分析】（1）方程的两根为1和，且，及求解； （2）原不等式可以化为，对a分类讨论求解． 【详解】（1）关于的不等式的解集为 方程的两根为1和，且 由韦达定理得：，解得. （2）原不等式可以化为. 方程的两根为， ①当，即时，不等式即为，解集为， ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为 综上所述，当时，不等式解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 4．已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； (2)在（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）整理不等式，由二次不等式解集得到二次方程的根，代入求得，然后解方程得到. （2）将（1）中结果代入等式，然后利用基本不等式求得的最小值，由不等式恒成立建立新的不等式，解二次不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 可化为， 移项整理，得的解集为或， 或是方程的两个根，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得，即，即， 故，. （2）由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故 ， 恒成立， ， ， ， ， ，故的取值范围是. 5．已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将问题转为对一切恒成立，设，，求出的最小值即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根，且，所以，解得； （2）若不等式对一切恒成立，则不等式对一切恒成立， 由于当，， 所以对一切恒成立， 设，，所以在上单调递增，则，则，即, 所以不等式对一切恒成立，则实数k的取值范围为 6．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 7．已知函数且经过两点． (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当是定义在上的函数时，解不等式． 【答案】(1) (2) 任取， 则 ， 因为，所以， 故， 故，所以在上单调递增； (3) 【分析】（1）代入，得到方程组，求出，得到解析式； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）判断出函数的奇偶性，结合单调性和定义域得到不等式组，求出不等式解集. 【详解】（1）将代入解析式得， 解得，故； （2）略 （3）， 又定义域为，故为奇函数， 由（2）知，在上单调递增， 故， 故，解得， 故不等式解集为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $