专题06 幂函数与二次函数（知识必备+9大核心题型+分层验收）（期中复习讲义）高一数学上学期北师大版

专题06 幂函数与二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数 能理解幂函数的概念，能借助幂函数图象及性质解决相关问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 二次函数的图象 会画二次函数的图象，利用图象比较大小、求参等 基础考点，常出现在选择题，填空题 二次函数的性质 能通过配方研究二次函数的性质，能利用二次函数的性质解决相关问题 重难必考点，涉及各种题型 知识点01 幂函数的概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． ·易错点：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象与性质 1.五个常见幂函数的图象    2.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． (2)如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． (3)如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 3.常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 知识点03 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即． 题型一 幂函数的解析式 解｜题｜技｜巧 幂函数的定义是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例1-1】（2025·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【典例1-2】（2025·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【变式1-1】（2025·高一·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【变式1-2】幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 题型二 幂函数的图象 解｜题｜技｜巧 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    【变式2-1】（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型三 幂函数的单调性与奇偶性 解｜题｜技｜巧 (1)当幂函数的指数为偶数时，它为偶函数；当幂函数的指数为奇数时，它为奇函数. (2)当幂函数的指数为正数时，它在第一象限为增函数；当幂函数的指数为负数时，它在第一象限为减函数. 【典例3】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【变式3-2】（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 函数性质比较大小 解｜题｜技｜巧 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【典例4-1】（2025·高一·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 题型五 利用幂函数性质解不等式 解｜题｜技｜巧 先确定所给幂函数的单调性，再利用单调性将原不等式转化求解. 【典例5】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【变式5-1】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【变式5-2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 题型六 幂函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于幂函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解. 【典例6】（2025·高一·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-1】已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 题型七 求二次函数的解析式 解｜题｜技｜巧 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【典例7】若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________． 【变式7】已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式． 条件①：函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}； 条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x＋x＝10. 题型八 二次函数的图象及应用 解｜题｜技｜巧 识别二次函数图象应学会“三看” 【典例8】(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0 C．a－b＋c＞0 D．abc＜0 【变式8-1】　一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是(　　) 【变式8-2】在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   题型九 二次函数的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1．决定二次函数单调性的两个关键因素：开口方向与对称轴. 2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法： (1)利用对称轴一侧的单调性比较大小 (2)利用图象中对应点的高低关系比较大小 当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)． 3．对于含参的二次函数的最值问题，一般利用分类讨论思想求解: (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【典例9-1】若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【典例9-2】设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值． 【变式9-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【变式9-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知当时，函数的最大值为，求的值. 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 3．（24-25高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 6．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期中）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 8．（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 9．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 11．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 12．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 14．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A．“”是“为偶函数”的充要条件 B．“在区间上单调递减”是“”的充要条件 C．“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件 D．“在区间上仅当时取最大值”是“”的充分不必要条件 18．（多选）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 20.（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为 ． 21．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 22．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 23．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（   ） A．， B．，8098 C．， D．，4049 24．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 25．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 26．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂函数与二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数 能理解幂函数的概念，能借助幂函数图象及性质解决相关问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 二次函数的图象 会画二次函数的图象，利用图象比较大小、求参等 基础考点，常出现在选择题，填空题 二次函数的性质 能通过配方研究二次函数的性质，能利用二次函数的性质解决相关问题 重难必考点，涉及各种题型 知识点01 幂函数的概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． ·易错点：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点02 幂函数的图象与性质 1.五个常见幂函数的图象    2.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． (2)如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． (3)如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 3.常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 知识点03 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即． 题型一 幂函数的解析式 解｜题｜技｜巧 幂函数的定义是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【典例1-1】（2025·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】/ 【解析】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 【典例1-2】（2025·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【解析】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 【变式1-1】（2025·高一·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【解析】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 【变式1-2】幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 题型二 幂函数的图象 解｜题｜技｜巧 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【典例2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【变式2-1】（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 【变式2-2】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图象，当时，图象递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象递减，且越大，图象越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 题型三 幂函数的单调性与奇偶性 解｜题｜技｜巧 (1)当幂函数的指数为偶数时，它为偶函数；当幂函数的指数为奇数时，它为奇函数. (2)当幂函数的指数为正数时，它在第一象限为增函数；当幂函数的指数为负数时，它在第一象限为减函数. 【典例3】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 【变式3-1】幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 【变式3-2】（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 题型四 利用幂函数性质比较大小 解｜题｜技｜巧 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【典例4-1】（2025·高一·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 【典例4-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 【变式4-1】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 【变式4-2】已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 【变式4-3】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 题型五 利用幂函数性质解不等式 解｜题｜技｜巧 先确定所给幂函数的单调性，再利用单调性将原不等式转化求解. 【典例5】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 【变式5-1】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 【变式5-2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 题型六 幂函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于幂函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解. 【典例6】（2025·高一·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 【变式6-1】已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 题型七 求二次函数的解析式 解｜题｜技｜巧 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【典例7】若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________． 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7 【详解】解法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴f(x)的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴m＝.又根据题意函数f(x)有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用两根式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数f(x)有最大值8，即＝8，解得a＝－4，∴f(x)的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【变式7】已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式． 条件①：函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}； 条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x＋x＝10. 【详解】函数f(x)＝x2＋bx＋c， 则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c， 因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)， 即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1. 若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5， 所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3. 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. 若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}， 可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1. 若选条件③，方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x＋x＝10. 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c， 又(x1＋x2)2＝x＋x＋2x1x2， 所以4＝10＋2c，解得c＝－3. 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. 题型八 二次函数的图象及应用 解｜题｜技｜巧 识别二次函数图象应学会“三看” 【典例8】(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0 C．a－b＋c＞0 D．abc＜0 【答案】AD 【解析】由图象可知a＜0，f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝1，则b＝－2a，则b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，则a－b＋c＜0，由于f(1)＞0，则a＋b＋c＞0.故选AD. 【变式8-1】　一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是(　　) 【答案】C 【解析】若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C. 【变式8-2】在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【答案】D 【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【详解】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 题型九 二次函数的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1．决定二次函数单调性的两个关键因素：开口方向与对称轴. 2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法： (1)利用对称轴一侧的单调性比较大小 (2)利用图象中对应点的高低关系比较大小 当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)． 3．对于含参的二次函数的最值问题，一般利用分类讨论思想求解: (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 【典例9-1】若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 【典例9-2】设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值． 【详解】(1)若f(0)≥1，则－a|－a|≥1， 显然a<0，则－a(－a)≥1，即a2≥1， 解得a≤－1， 所以a的取值范围为(－∞，－1]． (2)当x≥a时，f(x)＝2x2＋(x－a)2＝3x2－2ax＋a2， 此时f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝， (ⅰ)当≤a，即a≥0时，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，此时f(x)min＝f(a)＝2a2； (ⅱ)当>a，即a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时f(x)min＝f＝3－2a·＋a2＝a2. 当x≤a时，f(x)＝2x2－(x－a)2＝x2＋2ax－a2， 此时f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝－a， ①当－a<a，即a>0时，f(x)在(－∞，－a]上单调递减，在(－a，a]上单调递增，此时f(x)min＝f(－a)＝－2a2； ②当－a＝a，即a＝0时，f(x)＝x2，f(x)在(－∞，0]上单调递减，此时f(x)min＝f(0)＝0； 由①②得，当a≥0时，f(x)min＝－2a2. ③当－a>a，即a<0时，f(x)在(－∞，a]上单调递减，此时f(x)min＝f(a)＝2a2. 综上，当a≥0时，因为2a2≥－2a2， 所以f(x)min＝－2a2； 当a<0时，因为2a2>a2， 所以f(x)min＝a2. 故f(x)min＝ 【变式9-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 【变式9-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 【变式9-3】已知当时，函数的最大值为，求的值. 【答案】或 【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可. 【详解】函数的对称轴为， 当，即时，， 解得或（舍）； 当，即时，， 解得或（舍）， 综上知，的值为2或-1. 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断. 【详解】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 4．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 6．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 7．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期中）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 【答案】AC 【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 8．（多选）（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 9．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 10．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性可得在时不单调或，即可求解. 【详解】当时，为增函数，且当时，， 因为存在，且，使得成立， 所以在时不单调或， 即或，解得或， 所以实数k的取值范围是. 11．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1) (2)8． 【分析】（1）令前面括号内得1，求出后再验证即可； （2）根据题意求出的表达式后利用基本不等式的乘1法可得. 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 12．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 13．（24-25高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 14．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 15．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 16．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、分别求解即可. 【详解】，，的最小值是， 若，即时， 则，解得，符合题意； 若，即时， ，，不合题意舍去. 故. 故选：D. 17．（多选）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A．“”是“为偶函数”的充要条件 B．“在区间上单调递减”是“”的充要条件 C．“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件 D．“在区间上仅当时取最大值”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】根据二次函数的对称性及偶函数性质及充要条件的概念可判断A；根据二次函数单调性与充分条件、必要条件的概念判断BC，根据二次函数的最值求得，然后利用充要条件的概念可判断D. 【详解】对于A，为偶函数，故选项A正确； 对于B，若在区间上单调递减，则， 反之，当时，，满足，但是在区间上先减后增， 故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，若在区间上单调递增，则， 由得不到，由可推出， 故“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件，选项C正确； 对于D，因为在区间上仅当时取最大值，所以， 故“在区间上仅当时取最大值”是“”的充要条件，选项D错误. 故选：AC 18．（多选）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 20.（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用二次函数的图象，开口向上，可知最大值一定在端点处取到，再结合不等式的加法性质即可求得的最大值. 【详解】因为过点，所以， 所以，即． 因为是开口向上的抛物线，所以． 由得，两式相加得，解得， 当时，有，满足题意， 即的最大值为1． 21．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，列出恒成立的不等式并分离参数求解. （3）按函数图象对称轴与区间位置关系分类求出最小值. 【详解】（1）依题意，设，由，得，则， 所以的解析式为. （2）由（1）知：，由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. （3）函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 22．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)① ；② 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 23．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（   ） A．， B．，8098 C．， D．，4049 【答案】A 【分析】由幂函数的概念和单调性的定义可得，从而，再由对称性可知曲线的对称中心为，得到，由，，根据二次函数的性质可得.由对称性可得曲线关于点对称，利用倒序相加可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即， 解得或．当时，；当时，． 因为函数对任意的，且，满足， 所以函数在上单调递增，所以，∴曲线C：， 因为， 得曲线的对称中心为，所以，即，， 又因为A、B两点不重合，故，得，所以. ∵， ∴曲线关于点对称. 设①， ②， 两式相加得. 故选：A． 24．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 【答案】ACD 【分析】根据函数“倍增区间”的定义，对于A，由，求解即可判断，对于B，假设存在，结合函数单调性得到，求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断，对于D，假设存在“2倍增区间”，由，结合一元二次方程求解即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1倍增区间”，则，则或 （舍去），A正确； 对于B，函数中x的取值范围为 ， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有，则，解得 ，不符合或，所以B错误； 对于C，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”（）， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需 ，解得，C正确； 对于D，若函数存在“2倍增区间”， 设定义域为，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选：ACD ． 25．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 26．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 20 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $