第一章 预备知识（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

该高中数学预备知识单元复习讲义通过思维导图系统梳理集合、常用逻辑用语、不等式等核心内容，结合表格对比常用数集符号、一元二次不等式解集等要点，清晰呈现元素与集合关系、充分必要条件判定等重难点的内在逻辑。 练习设计聚焦参数求解、分类讨论等高频考点，如含参一元二次不等式分类讨论题型，培养学生逻辑推理和数学运算素养。每个题型配典例与变式，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，为教师实施分层教学提供支持。

第一章 预备知识 教学目标 1了解集合的实际背景，掌握集合、元素的定义，掌握集合中元素的三大特性； 2熟记各类常用数集符号，能判断元素与集合的从属关系。 3理解子集、真子集、集合相等、空集的概念；掌握集合交集、并集、补集的运算，会借助 Venn 图、数轴处理集合问题，会计算集合子集、真子集个数。 4理解命题、条件与结论；能判断充分条件、必要条件、充要条件；可以根据充分、必要条件求解参数取值范围。 5理解全称量词与存在量词的含义，能区分全称量词命题、存在量词命题；能正确写出两类量词命题的否定，并能依据命题真假求参数。 6掌握一元二次不等式解法，能对含参一元二次不等式分类讨论；掌握基本不等式，牢记 “一正、二定、三相等”，会求代数式的最值。 教学重难点 1. 重点 集合的概念与表示；子集相关概念；集合交、并、补的运算。 充分条件、必要条件、充要条件的辨别与判断。 全称量词命题、存在量词命题及其否定。 不等式的基本性质；一元二次不等式解法；基本不等式求最值。 2. 难点 区分元素与集合和集合与集合；含参数集合问题，容易遗漏空集的情况。 充分、必要条件的逆向应用，分清命题的条件p与结论q。 含参一元二次不等式的分类讨论； 基本不等式应用中，对 “一正二定三相等” 条件检验；二次不等式恒成立问题。 知识点 01 集合的概念 集合与元素定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体叫作集合；集合中的每个对象叫作这个集合的元素。 集合中元素三大特性 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模糊不清； 互异性：同一个集合中的元素互不相同（解题高频考点，求出参数后要回代检验）； 无序性：集合中元素排列没有先后顺序。 元素与集合的关系 属于：若a是集合A的元素，记作； 不属于：若a不是集合A的元素，记作。 常用数集符号 表格 数集名称 符号 自然数集（含 0） 正自然数集（正整数集） 整数集 有理数集 实数集 集合的两种表示方法 列举法：把集合全部元素一一列举，放在大括号内，适合元素个数较少集合。 描述法：，竖线前写代表元素，竖线后写元素满足共同属性；注意分辨代表元素。 知识点 02 集合的基本关系 子集：对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作。 真子集：若，并且B中至少有一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作。 集合相等：若，则A=B，两个集合元素完全相同。 空集：不含任何元素的集合。 重要结论：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 易错：与{0}不同，{0}是含有元素 0 的集合，没有元素。 集合子集个数公式：若集合A含有n个元素 子集个数：； 真子集个数：； 非空子集个数：； 非空真子集个数：。 知识点 03 集合的基本运算 设集合A、B，U为全集 交集：由既属于A又属于B的所有元素组成集合，；“且” 代表同时满足。 并集：由属于A或者属于B的所有元素组成集合，；“或” 表示至少一个成立。 全集：研究问题时，所有研究对象构成的集合叫全集U。 补集：，全集中去掉A中剩余元素构成的集合。 运算性质 工具：Venn 图、数轴，数集运算多用数轴，注意端点能否取等。 知识点 04 充分条件与必要条件 命题：可以判断真假的陈述句，常见形式：若p，则q；p是条件，q是结论。 逻辑推导符号 若p成立可以推出q成立，记作； 若p不能推出q，记作。 定义 如果，那么p是q的充分条件；q是p的必要条件。 如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件（充分必要条件），p与q等价。 集合角度理解条件关系 若：充分不必要条件； 若必要不充分条件； 若A=B：充要条件。 知识点 05 全称量词与存在量词 全称量词：短语 “所有的”“任意一个”，符号； 全称量词命题：含有全称量词命题，形式：；读作：对任意x属于M，都有p(x)成立。 存在量词：短语 “存在一个”“至少有一个”，符号； 存在量词命题：含有存在量词命题，形式；读作：存在x属于M，使p(x)成立。 命题的否定（核心考点） 全称量词命题的否定：；全称量词变存在量词，否定结论； 存在量词命题的否定：；存在量词变全称量词，否定结论。 重要提醒：只否定结论，条件中的不变；原命题和它的否定真假性一定相反。 知识点 06 等式与不等式 等式的基本性质 若a=b，则； 若a=b，则ac=bc；若，则。 常用因式分解公式 平方差： 完全平方： 十字相乘法： 不等式基本性质 ① 对称性：若a>b，则b<a ② 传递性： ③ 可加性： ④ 可乘性： ⑤ 同向相加： ⑥ 同向正可乘： ⑦ ⑧ 作差比较大小：要比较A,B大小，计算A-B ； ； 。 知识点 07 一元二次不等式 定义：形如叫一元二次不等式。 三个工具：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者结合，判别式。 表格 根 两个不等实根 两个相等实根 无实数根 解集 全体实数 解集 注意：如果\(a<0\)，先两边同乘\(-1\)，不等号方向改变，转化为二次项系数大于 0 再求解；含参不等式，要对二次项系数、判别式、根大小进行分类讨论。 二次恒成立结论 知识点 08 基本不等式 基本不等式：对正数\(a,b\)，，当且仅当时取等号。 叫作\(a,b\)算术平均数；叫作\(a,b\)几何平均数；两个正数算术平均数大于或等于几何平均数。 三要素：一正、二定、三相等 一正：\(a>0,b>0\)；如果为负数，要先变形转化正数； 二定：求和最小值，则积为定值；求积最大值，则和为定值； 三相等：一定要检验等号条件\(a=b\)能不能取到，取不到不能用基本不等式。 重要变形：。 题型01 利用集合互异性求参数 【典例1】已知集合 ，，则__________． 【变式1】已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 【变式2】已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【变式3】已知集合，且，则___________． 题型 02 集合间的基本关系求参数范围 【典例1】已知集合，，若，则的取值是（    ） A．或0 B．或0 C．0或2 D．或2 【变式1】已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 【变式2】设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 题型 03 充分条件与必要条件求参数取值范围 【典例1】已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式1】47．已知：集合， (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【变式2】49．已知或． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【变式3】52．已知集合，集合. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 题型 04 全称命题与存在命题求参数取值 【典例1】已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【变式2】54．已知集合，，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值集合； (2)若，且“”是“”的必要条件，求实数的取值集合. 【变式3】已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 综上： 题型 05 含参一元二次不等式分类讨论 【典例1】（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【变式1】求下列不等式的解集： （1）； （2） 【变式2】解关于x的不等式 (1) (2)． 【变式3】求下列不等式的解集． (1)； (2)． 题型 06一元二次不等式恒成立问题 【典例1】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞） 题型 07 基本不等式求最值 【典例1】若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【变式2】若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 1．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 9．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 12．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 13．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 1．已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 2．已知正实数x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 3．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 1．已知正数，满足，则的最大值为______. 2．已知，且，则的最大值为__________. 3．设a是实数，集合，若，则__________. 4．设集合，，且，则________. 5．解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 1．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是____． 2．已知实数，满足，则的最大值为____________． 3．已知，则的最小值为______． 四、解答题 1．含有三个实数的集合，若且，求的值． 2．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 3．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 4．已知集合，， （1）若，求实数的值． （2）若，求实数的取值范围． 5．设集合. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 6．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 7．已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 8．已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 9．已知集合，，. （1）若命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值集合； （2）若，且“”是“”的必要条件，求实数m的取值集合. 10．已知集合，，． (1)命题，都有，若命题p为真命题，求a的值； (2)若．，求m的取值范围． 11．已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 12．已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 13．（1）解不等式； （2）若，解不等式． 14．解下列不等式 （1）． （2）． 15．（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 16．解下列不等式： （1）； （2）解关于的不等式：. 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 18．设. (1)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 19．设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 20．（1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 21．已知关于的x不等式． (1)若，解这个关于的不等式； (2)恒成立，求a的取值范围． 22．已知不等式的解集为． (1)若，且，求实数a的取值范围． (2)若对于有解，求实数a的取值范围． 23．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 24．已知命题：实数，使成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）命题：任意实数，使恒成立，如果，都是假命题，求实数的取值范围． 25．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 26．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 27．若不等式的解集是，求不等式的解集． 28．若不等式的解集为，求实数的值. 29．已知关于的一元二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识 教学目标 1了解集合的实际背景，掌握集合、元素的定义，掌握集合中元素的三大特性； 2熟记各类常用数集符号，能判断元素与集合的从属关系。 3理解子集、真子集、集合相等、空集的概念；掌握集合交集、并集、补集的运算，会借助 Venn 图、数轴处理集合问题，会计算集合子集、真子集个数。 4理解命题、条件与结论；能判断充分条件、必要条件、充要条件；可以根据充分、必要条件求解参数取值范围。 5理解全称量词与存在量词的含义，能区分全称量词命题、存在量词命题；能正确写出两类量词命题的否定，并能依据命题真假求参数。 6掌握一元二次不等式解法，能对含参一元二次不等式分类讨论；掌握基本不等式，牢记 “一正、二定、三相等”，会求代数式的最值。 教学重难点 1. 重点 集合的概念与表示；子集相关概念；集合交、并、补的运算。 充分条件、必要条件、充要条件的辨别与判断。 全称量词命题、存在量词命题及其否定。 不等式的基本性质；一元二次不等式解法；基本不等式求最值。 2. 难点 区分元素与集合和集合与集合；含参数集合问题，容易遗漏空集的情况。 充分、必要条件的逆向应用，分清命题的条件p与结论q。 含参一元二次不等式的分类讨论； 基本不等式应用中，对 “一正二定三相等” 条件检验；二次不等式恒成立问题。 知识点 01 集合的概念 集合与元素定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，这个整体叫作集合；集合中的每个对象叫作这个集合的元素。 集合中元素三大特性 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模糊不清； 互异性：同一个集合中的元素互不相同（解题高频考点，求出参数后要回代检验）； 无序性：集合中元素排列没有先后顺序。 元素与集合的关系 属于：若a是集合A的元素，记作； 不属于：若a不是集合A的元素，记作。 常用数集符号 表格 数集名称 符号 自然数集（含 0） 正自然数集（正整数集） 整数集 有理数集 实数集 集合的两种表示方法 列举法：把集合全部元素一一列举，放在大括号内，适合元素个数较少集合。 描述法：，竖线前写代表元素，竖线后写元素满足共同属性；注意分辨代表元素。 知识点 02 集合的基本关系 子集：对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作。 真子集：若，并且B中至少有一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作。 集合相等：若，则A=B，两个集合元素完全相同。 空集：不含任何元素的集合。 重要结论：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 易错：与{0}不同，{0}是含有元素 0 的集合，没有元素。 集合子集个数公式：若集合A含有n个元素 子集个数：； 真子集个数：； 非空子集个数：； 非空真子集个数：。 知识点 03 集合的基本运算 设集合A、B，U为全集 交集：由既属于A又属于B的所有元素组成集合，；“且” 代表同时满足。 并集：由属于A或者属于B的所有元素组成集合，；“或” 表示至少一个成立。 全集：研究问题时，所有研究对象构成的集合叫全集U。 补集：，全集中去掉A中剩余元素构成的集合。 运算性质 工具：Venn 图、数轴，数集运算多用数轴，注意端点能否取等。 知识点 04 充分条件与必要条件 命题：可以判断真假的陈述句，常见形式：若p，则q；p是条件，q是结论。 逻辑推导符号 若p成立可以推出q成立，记作； 若p不能推出q，记作。 定义 如果，那么p是q的充分条件；q是p的必要条件。 如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件（充分必要条件），p与q等价。 集合角度理解条件关系 若：充分不必要条件； 若必要不充分条件； 若A=B：充要条件。 知识点 05 全称量词与存在量词 全称量词：短语 “所有的”“任意一个”，符号； 全称量词命题：含有全称量词命题，形式：；读作：对任意x属于M，都有p(x)成立。 存在量词：短语 “存在一个”“至少有一个”，符号； 存在量词命题：含有存在量词命题，形式；读作：存在x属于M，使p(x)成立。 命题的否定（核心考点） 全称量词命题的否定：；全称量词变存在量词，否定结论； 存在量词命题的否定：；存在量词变全称量词，否定结论。 重要提醒：只否定结论，条件中的不变；原命题和它的否定真假性一定相反。 知识点 06 等式与不等式 等式的基本性质 若a=b，则； 若a=b，则ac=bc；若，则。 常用因式分解公式 平方差： 完全平方： 十字相乘法： 不等式基本性质 ① 对称性：若a>b，则b<a ② 传递性： ③ 可加性： ④ 可乘性： ⑤ 同向相加： ⑥ 同向正可乘： ⑦ ⑧ 作差比较大小：要比较A,B大小，计算A-B ； ； 。 知识点 07 一元二次不等式 定义：形如叫一元二次不等式。 三个工具：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者结合，判别式。 表格 根 两个不等实根 两个相等实根 无实数根 解集 全体实数 解集 注意：如果\(a<0\)，先两边同乘\(-1\)，不等号方向改变，转化为二次项系数大于 0 再求解；含参不等式，要对二次项系数、判别式、根大小进行分类讨论。 二次恒成立结论 知识点 08 基本不等式 基本不等式：对正数\(a,b\)，，当且仅当时取等号。 叫作\(a,b\)算术平均数；叫作\(a,b\)几何平均数；两个正数算术平均数大于或等于几何平均数。 三要素：一正、二定、三相等 一正：\(a>0,b>0\)；如果为负数，要先变形转化正数； 二定：求和最小值，则积为定值；求积最大值，则和为定值； 三相等：一定要检验等号条件\(a=b\)能不能取到，取不到不能用基本不等式。 重要变形：。 题型01 利用集合互异性求参数 【典例1】已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 【变式1】已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】集合有三个元素,根据集合元素的互异性, 有,即, ,即, ,即. 综上,x的取值范围是. 【变式2】已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 【变式3】已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 题型 02 集合间的基本关系求参数范围 【典例1】已知集合，，若，则的取值是（    ） A．或0 B．或0 C．0或2 D．或2 【答案】C 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 【变式1】已知集合，，且，则（     ） A．-1 B．1 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或， ，此时，不能满足题意； 时，，满足题意， 故. 【变式2】设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 【变式3】已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 题型 03 充分条件与必要条件求参数取值范围 【典例1】已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式1】47．已知：集合， (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据交集和并集定义可直接得到结果； （2）根据充分条件定义可知，由此可构造不等式组求得结果； （3）分别在和的情况下，根据构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，， ，. （2）是的充分条件， ，则，解得：， 即实数的取值范围为. （3）当时，，解得：，满足； 当时，若，则或，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式2】49．已知或． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由交集的定义得出关于的不等式组，解出的取值范围即可； （2）利用必要条件的定义，结合子集的定义得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）或，， ，解得：， 的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以， 或， 的取值范围是或. 【变式3】52．已知集合，集合. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）∵p是q的充分不必要条件， ∴， ∴是的真子集． 则不同时取等号，解得． 实数的取值范围为． 题型 04 全称命题与存在命题求参数取值 【典例1】已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）由必要不充分条件可知集合是集合的真子集，再分、讨论，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； （2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【变式1】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 【变式2】54．已知集合，，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值集合； (2)若，且“”是“”的必要条件，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题的真假判断，由此可求得答案； （2）由题意可判断，分类讨论，结合元素和集合的关系即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 由命题“，都有”为真命题知, 时，满足题意； 时，， 则， 的取值集合是； （2）“”是“”的必要条件，. 故对于，若，即时，或均不合题意， 又，有两个不等实根，设为， 因此，且， 因此不妨设，则， 的取值集合是. 【变式3】已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，可得，即可根据韦达定理求解， （2）将p是q的必要不充分条件转化为,即可根据，和分别求解. 【详解】（1）由可得， 由于，都有，为真命题，故， 因此,故且，故， （2）由于p是q的必要不充分条件，则,且 因为, 当时，则，则不存在， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上： 题型 05 含参一元二次不等式分类讨论 【典例1】（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）或；（2）答案见解析, 【解析】（1）将不等式因式分解，然后直接求解出解集； （2）先将不等式因式分解，然后根据的大小关系作分类讨论，由此求解出不等式解集. 【详解】（1）原不等式可化为，解之得或； （2）原不等式化为 ①当时，，此时不等式的解集为或； ②当时，，此时不等式的解集为； ③当时，，此时不等式的解集为或 综上，①当时，不等式的解集为或； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或. 【变式1】求下列不等式的解集： （1）； （2） 【答案】（1）  （2）答案见解析 【解析】（1）求出方程的两根，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集； （2）先将不等式转化为，再对进行分类讨论，比较对应方程根的大小关系，结合二次函数的图象，即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以方程有两个不相等的实根，.又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为. （2） 若，原不等式等价于，解得. 若，原不等式等价于，解得或. 若，原不等式等价于. ①当时，，无解； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式不含参和含参问题的求解，考查转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性及结合二次函数的开口方向，求得不等式的解集. 【变式2】解关于x的不等式 (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)解析见答案 【分析】（1）通过因式分解求出不等式的解集即可； （2）通过讨论m的范围，求出对应的方程的根，求出不等式的解集即可. 【详解】（1）∵， ∴，∴， 解得：或， 故不等式的解集是或； （2）∵， ∴， 时，，解得：， 时，， ，或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为， 故不等式的解集是， 时，不等式为， ， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：. 综上可知，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是. 【变式3】求下列不等式的解集． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）先化简，再因式分解，然后求解即可；（2）先分解因式，解出对应的方程的根，然后利用两根的关系，分类讨论，得出不同情况的解集. 【详解】（1）由已知：， ∴， ∴， ∴． （2）由已知：， ∴，， 当时即时，； 当时即时，； 当时即时，． 综上可得，当时，； 当时，； 当时，． 题型 06一元二次不等式恒成立问题 【典例1】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 【变式1】若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 【变式2】若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【变式3】若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞） 【答案】A 【分析】分和两种情况求解 【详解】当时，，得，不合题意， 当时，因为关于x的不等式的解集是R， 所以，解得， 综上，m的取值范围是（1，+∞）， 故选：A 题型 07 基本不等式求最值 【典例1】若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【变式1】若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 【变式2】若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 【变式3】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 1．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 3．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 4．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，集合是点集，元素是点，集合是数集，元素是实数，故． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求得集合和，结合集合交集的定义和运算法则，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，即， 又由方程，解得或或，即，所以. 8．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 9．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 10．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 11．已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】由函数是开口向上的二次函数，且， 若，，即方程有正实根， 则，解得，所以充分性成立； 若，则，即方程有实根， 又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根， 即，，所以必要性成立， 故“，”是“”的充分必要条件． 12．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 13．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 二、多选题 1．已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用“1”的代换法求解最小值可判断A，利用基本不等式积的最大值可判断B，利用消元思想化归到基本不等式求最小值可判断C，利用换元法化归到对勾函数求最小值可判断D. 【详解】对于A，利用"1的代换"可得： ， 等号成立条件： ，即 ，代入 得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将 代入得： ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：， 因此原式化简为： 令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 2．已知正实数x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式求解即可；对于B，由得到， 代入，利用二次函数求解即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用求解；对于D，，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由得到，由，则， 则，当且仅当，等号成立，而，故等号不成立， 则，故D正确. 故选：ACD. 3．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用加减消元法可求方程组的解集. 【详解】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 三、填空题 1．已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 2．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 3．设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 4．设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 5．解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 1．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是____． 【答案】0 【分析】先由2x+y＝6，得y＝6﹣2x，再代入μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y，即可得关于x的二次函数，然后利用配方法将二次函数变形，根据二次函数的性质，结合x的范围即可求出最小值． 【详解】由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0， 解得：0≤x≤3． ∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y ＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x） ＝x2﹣11x+24 ＝﹣， ∴当x≤ 时，y随x的增大而减小， 故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方法并将待求式进行变形转化为二次函数求解是解题的关键． 2．已知实数，满足，则的最大值为____________． 【答案】 【分析】利用约束条件得到，令，通过配方将和分别表达为和，从而将目标函数完全转化为关于的一元函数，由平方的非负性确定的取值范围，对所得函数求导，通过分析导函数的符号变化判断其单调性，利用函数的端点和极值点进而确定最大值点 【详解】由可得：， 令，则： 于是：， ， 因此：， 由于，得：， 由于，得：，故，令， 求导得：， 令，解得， 因为在区间上恒成立（当且仅当时取等号），所以的符号由决定， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故为极大值点， 端点：，， 极大值点：， 因此最大值为：. 3．已知，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，讨论，，分子分母同除以y，转化为关于的式子，令，可得关于t的函数，再由二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式可得所求最小值． 【详解】解：， 则， 若，则，； 若，可得， 设，可设， 即为， 若，可得，成立； 若，则，即， 解得， 即有z的最小值为，此时，成立． 故答案为． 【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和二次方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题． 四、解答题 1．含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 2．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 3．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 4．已知集合，， （1）若，求实数的值． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】⑴；⑵或 【分析】(1)由，则得，求出实数的值 (2)由，则，然后分类讨论求出结果 【详解】⑴由意得，所以      ⑵因为，所以，所以或或或 当时，，解得； 当 时，解得； 当 时，无解； 当 时，解得； 综上得：或 【点睛】本题考查了集合的并集和交集的转化，将题目中的语句转化为子集问题然后求出结果，在求解过程中不要漏掉空集情况的讨论． 5．设集合. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合以及根与系数关系来求得的值； （2）根据，结合判别式进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得或，所以. 对于一元二次方程，至多有个不相等的实数根， 由于，故， 由根与系数关系得，解得 （2）对于一元二次方程， ， 当，即时，，满足. 当，即时，， 解得，则，，不符合题意. 当，即时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 由于，所以，由（1）得. 综上所述，的取值范围是. 6．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 7．已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 8．已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）当时写出集合，利用交集和并集的定义可求得结果； （2）由可得出，分和两种情况讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，因此，，； （2），. ①当时，，即，此时成立； ②当时，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．已知集合，，. （1）若命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值集合； （2）若，且“”是“”的必要条件，求实数m的取值集合. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解方程确定集合，再根据命题为真求得； （2）题意说明是的充分条件，由此可求得值． 【详解】由题意， （1）时，满足题意，时，， 则∵，都有，∴，， ∴的取值集合是； （2）∵“”是“”的必要条件，∴． 若，即时，或均不合题意， 又，∴，因此，又， 因此不妨设，，则． ∴的取值集合是． 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 10．已知集合，，． (1)命题，都有，若命题p为真命题，求a的值； (2)若．，求m的取值范围． 【答案】(1)2或3 (2)或} 【分析】（1）分别化简集合A，B，根据命题p为真命题，可得，通过对B分类讨论即可求a的值； （2）若是的必要条件，可得．通过对C分类讨论，进而得出m的取值范围． 【详解】（1）由，解得或，∴集合，， 命题，都有，若命题p为真命题，则， ①若，则，解得． ②若，则，解得． ∴a的值为2或3． （2）若． ①时，此时，解得． ②时，此时有，方程组无解，m的值不存在． ③时，此时有，方程组无解，m的值不存在． ④，此时，解得． 综上可知：m的取值范围是或}． 11．已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解方程确定集合，再根据命题为真求得； （2）根据”是“”的必要条件，得到，由此可求得值． 【详解】（1）解方程得，或， 所以， 因为是真命题， 所以， 对于方程，因为， 所以该方程一定有解； 当时，方程的解为，此时，满足条件； 当时，方程的解为或， 所以，故， 所以的值为或； （2）因为”是“”的必要条件，所以， 若，则，解得， 若，当，解得，此时或，均不符合题意； 当时，设方程的两根为， 又，所以， 所以， 所以的取值范围为 12．已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题意得到，分或或三种情况，得到方程，求出； （2）由题意得到，从而得到不等式，求出的取值范围. （1）由命题“，都有，”为真命题知， 因为集合非空，所以或或. 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上，实数的取值是1. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 所以， 解得. 故实数的取值范围是. 13．（1）解不等式； （2）若，解不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）整理可得，进而解不等式即可； （2）整理可得，判断两根大小解不等式即可. 【详解】（1）因为，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为， 若，令，解得或，且， 由解得或， 所以不等式的解集为. 14．解下列不等式 （1）． （2）． 【答案】(1) ;(2)见解析. 【分析】（1）首先将二次项系数化正，求出对应方程的根，直接写出解集即可； （2）按照a的正负、两根的大小关系讨论求解即可． 【详解】（）∵  ∴， ∴， 解得或， ∴不等式的解集是或． （）当， 的图像开口向下，与轴交点为， ，且， ∴的解集为： ， 当时， ， ∴无解， 当时，抛物线的图像开口向上，与轴交点为， ， 当时，不等式可化为，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集是， 当时，不等式的解集是， 当时，不等式的解集是或， 当时，不等式的解集是， 当时，不等式的解集是或． 【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集． （2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类． 15．（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）利用不含参二次不等式的解法即可得解； （2）利用含参二次不等式的解法，结合分类讨论法即可得解. 【详解】（1）不等式可化为， 解得，所以原不等式的解集为. （2）不等式可化为， 当时，，此时， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．解下列不等式： （1）； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）求得方程的解为.根据的图象开口向上，可解得原不等式的解是. （2）将原不等式因式分解即，解的根，对参数a分类讨论，分别求得不同范围时对应的不等式解集即可. 【详解】（1）不等式两边同乘以，原不等式可化为. 方程的解为. 而的图象开口向上，可得原不等式的解是. （2）因为， 所以，即. 令，解得. ①当时，， 解集为或； ②当时，，解集为，且； ③当时，，解集为，或. 综上所述：当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为，且；当时，不等式的解集为，或. 【点睛】关键点点睛：解一元二次不等式，带参数时，需对参数分类讨论，才能求得解集. 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 18．设. (1)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）由题设，将问题化为对任意恒成立，讨论、，结合二次函数性质求参数范围； （2）由题设可得，讨论、求对应解集即可. 【详解】（1）由题设，即对任意恒成立， 当，则，显然对任意不恒成立； 当，则，即，故； 综上，. （2）由，则， 所以，显然， 当，即时，解得或，解集为； 当，即时，解得或，解集为. 19．设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 20．（1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）. 【分析】（1）讨论是否为0，再结合一元二次函数及不等式即可求解； （2）讨论与0的关系，并考虑和1的大小关系，再结合一元二次函数及不等式求解； （3）将参变分离，再将恒成立问题转化为最值问题，换元并利用基本不等式求最值. 【详解】解：（1）根据题意：①当，即时， ，解集不为，不合题意； ②当，即时， 的解集为， ，即， 解得． 综上所述，． （2）由题意得，，即， ①当，即时，解集为； ②当，即时，， ，解集为； ③当，即时，， ，解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3），即， 恒成立， ， 若当时，不等式恒成立， 则 设，则，， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 21．已知关于的x不等式． (1)若，解这个关于的不等式； (2)恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）含参数的不等式，分类讨论的范围 （2）不等式的恒成立问题，参变分离后转化成求最值 【详解】（1）当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，                           ①若，可得，解集为； ②若即，可得解集为； ③若即，可得解集为； （2）对任意的恒成立， 等价为在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立，                                  由， 可得， 而在时取得最小值2，在时取得最大值， 可得的最大值为1，则． 即a的取值范围是． 22．已知不等式的解集为． (1)若，且，求实数a的取值范围． (2)若对于有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，将问题转化成在上恒成立，再利用一元二次不等式与一元二次函数间的关系即可求出结果； （2）通过分离常量，得到，从而将问题转化成能成立问题，构造函数，求出的取值范围即可求出结果. 【详解】（1）由题知在上恒成立， 又，所以，解得， 所以，实数a的取值范围为. （2）由，得到， 因为恒成立，故， 令，因为，所以， 故， 又因为对于有解，即在区间上有解， 故，所以实数a的取值范围为. 23．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 【分析】（1）不等式化为，求出的最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 24．已知命题：实数，使成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）命题：任意实数，使恒成立，如果，都是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 【解析】（1）由存在实数，使成立得，得实数的取值范围； （2）由对勾函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可． 【详解】 解：（1）存在实数，使成立或，实数a的取值范围为； （2）任意实数，使恒成立， 由函数在上单调递增. 所以当时，有，， 由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集， 实数a的取值范围. 25．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 26．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 27．若不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】. 【分析】由题可得，为方程的两个根，得出关系即可求解. 【详解】由的解集为， 知，且，为方程的两个根， ∴，，∴，． ∴不等式变为，即， 又，∴，解得， ∴所求不等式的解集为． 故答案为：. 28．若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】. 【分析】利用不等式的解集和对应方程的关系进行求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两个根； 即有，解得. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式的解集求解参数时，通常利用不等式的解集与方程的关系进行求解，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题. 29．已知关于的一元二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集 【答案】． 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，再结合韦达定理求解系数，即可求解不等式. 【详解】由题设知方程有两根2和3， 故由韦达定理得，经检验符合题意； 因此，解得， 则不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $