专题03 指数与指数函数（期中复习讲义）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题03 指数与指数函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 指数运算性质 / 指数函数 05 重难题型突破 指数根式化简求值/指数函数定义、定点/指数比较大小/幂函数/分段指数含参单调性 /指数不等式、恒成立、换元二次/指数实际应用题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①根式、分数指数幂化简计算；②指数函数定义辨析，过定点问题；③指数函数单调性，指数式比较大小；④指数函数图像平移、对称、翻折变换；⑤幂函数定义、图像与单调性奇偶性；⑥分段指数函数单调性（含参）；⑦指数型恒成立问题；⑧指数函数实际建模应用题。 难度分布：基础题集中在指数运算、定点、简单比大小；中档难点：含参分段指数函数、复合指数函数、幂函数综合；压轴常为指数幂函数综合、恒成立、实际应用题。 识记 牢记 n 次方根概念，根式重要公式；掌握分数指数幂互化；实数指数幂四条运算性质；记住指数函数定义形式、定义域值域、恒过定点；记住幂函数定义；掌握图像平移、对称翻折变换规则。 理解 理解偶数次根式开方必须加绝对值；理解指数幂运算成立前提；区分指数函数与指数型函数；理解幂函数只允许系数为 1；底数对指数函数图像高低的影响。 应用 熟练根式与分数指数幂化简求值；利用单调性比较指数、幂形式数的大小；会处理指数型分段含参单调性；会求指数型函数过定点；幂函数结合奇偶、单调性求参数；解决指数恒成立；读懂指数实际模型，求解实际问题。 考点一 指数运算性质 1：n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② ⚠️易混易错 易错点：偶数次根式开出来一定是非负数，要加绝对值。 2：分数指数幂（正分数指数幂） 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 3 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： ⚠️易混易错 运算性质成立条件；底数为负数时，分数指数幂不能随便套用公式。 ，没有分配律！ 考点二 指数函数 1：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 2：指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 3：指数函数的图像特征 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 4：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 5：底数大小对图像的影响 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 6：指数函数图像变换 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型一指数根式化简求值： 典例1 1．（安徽省合肥市卓越中学2025-2026学年高一上学期期中教学质量检测数学试题）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 迁移应用 1．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）将化为有理数指数幂的形式为______. 2．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）若，，则________. 题型二指数函数定义、定点： 典例1 1．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）下列说法正确的是（    ） A．奇函数的定义域为，则 B．函数，则 C．函数且的图象恒过定点 D．一次函数满足，则 迁移应用 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数且，则（    ） A．函数为非奇非偶函数 B．若，则 C．若，则函数单调递增 D．函数的图象过定点 2．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）函数且的图象过定点，则___________． 题型三指数比较大小： 典例1 1．（安徽省智学大联考�皖中名校联盟合肥市第八中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试卷）若，其中为圆周率，为自然常数，，则（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型四幂函数： 典例1 1．（安徽省淮北、宿州部分中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 迁移应用 1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知幂函数满足，则______ 2．（安徽省“皖南八校”2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（人教版））已知幂函数的图象经过点和点，则______． 题型五分段指数含参单调性： 典例1 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省临泉第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型六指数不等式、恒成立、换元二次： 典例1 1．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 迁移应用 1．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 2．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 题型七指数实际应用题： 典例1 1．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 迁移应用 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省滁州市2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 4．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 5．（安徽省A10联盟＆宿州十三校2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学（北师大版）试题）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 6．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知，且，则（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 3．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知，，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（安徽省临泉第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷）下列判断正确的是（    ） A．方程组的解集为 B．命题“，”的否定是“，； C．若函数的定义域为，则的定义域为 D．函数过定点 5．（安徽省智学大联考�皖中名校联盟合肥市第八中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试卷）下列结论中，正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 6．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知集合． (1)若，求； (2)若且，求的取值范围． 7．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）（1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指数与指数函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 指数运算性质 / 指数函数 05 重难题型突破 指数根式化简求值/指数函数定义、定点/指数比较大小/幂函数/分段指数含参单调性 /指数不等式、恒成立、换元二次/指数实际应用题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①根式、分数指数幂化简计算；②指数函数定义辨析，过定点问题；③指数函数单调性，指数式比较大小；④指数函数图像平移、对称、翻折变换；⑤幂函数定义、图像与单调性奇偶性；⑥分段指数函数单调性（含参）；⑦指数型恒成立问题；⑧指数函数实际建模应用题。 难度分布：基础题集中在指数运算、定点、简单比大小；中档难点：含参分段指数函数、复合指数函数、幂函数综合；压轴常为指数幂函数综合、恒成立、实际应用题。 识记 牢记 n 次方根概念，根式重要公式；掌握分数指数幂互化；实数指数幂四条运算性质；记住指数函数定义形式、定义域值域、恒过定点；记住幂函数定义；掌握图像平移、对称翻折变换规则。 理解 理解偶数次根式开方必须加绝对值；理解指数幂运算成立前提；区分指数函数与指数型函数；理解幂函数只允许系数为 1；底数对指数函数图像高低的影响。 应用 熟练根式与分数指数幂化简求值；利用单调性比较指数、幂形式数的大小；会处理指数型分段含参单调性；会求指数型函数过定点；幂函数结合奇偶、单调性求参数；解决指数恒成立；读懂指数实际模型，求解实际问题。 考点一 指数运算性质 1：n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② ⚠️易混易错 易错点：偶数次根式开出来一定是非负数，要加绝对值。 2：分数指数幂（正分数指数幂） 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 3 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： ⚠️易混易错 运算性质成立条件；底数为负数时，分数指数幂不能随便套用公式。 ，没有分配律！ 考点二 指数函数 1：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 2：指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 3：指数函数的图像特征 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 4：图像对比a>1与0<a<1 表格 项目 定义域 值域 恒成立 恒成立 过定点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 x>0 y>1 0<y<1 x=0 y=1 y=1 x<0 0<y<1 y>1 图像趋势 从左下往右上上升，x 趋向 从左上往右下下降，x 趋向， 图像共性：全部在x轴上方，x轴是指数函数的渐近线，图像无限靠近 x 轴，但永不与 x 轴相交。 5：底数大小对图像的影响 在y轴右侧x>0：图像越高，底数越大。 x>0时：a越大，函数值越大。 在y轴左侧x<0：图像越高，底数越小。 的图像关于轴对称。 ，互为偶函数变换，关于 y 轴对称。 6：指数函数图像变换 设基础函数 左右平移：向右移h单位；h<0向左移|h|单位。 上下平移：，k>0向上移k；k<0向下移|k|。 对称变换 ：与关于轴对称； ：与关于轴对称； ：与关于原点中心对称。 翻折变换 ：保留图像；x<0部分把x>0图像沿 y 轴向右翻折；是偶函数。 恒成立，图像不变。 题型一指数根式化简求值： 典例1 1．（安徽省合肥市卓越中学2025-2026学年高一上学期期中教学质量检测数学试题）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 迁移应用 1．（安徽省宿州市灵璧县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）将化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）若，，则________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则可计算得出所求代数式的值. 【详解】，，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 题型二指数函数定义、定点： 典例1 1．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）下列说法正确的是（    ） A．奇函数的定义域为，则 B．函数，则 C．函数且的图象恒过定点 D．一次函数满足，则 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性的性质计算可判断A；构造奇函数，计算可判断B；求得定点坐标判断C；利用待定系数法求得解析式判断D. 【详解】对于A，奇函数的定义域为，则，故A正确； 对于B，令，可得定义域为， 又，所以是奇函数， 所以，所以， 所以，故B错误； 对于C，且，当时，，即的图像恒过定点，故C正确； 对于D，一次函数满足， 设，则，， 当时，不符合题意，当时，，即，故D正确. 故选：ACD. 迁移应用 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数且，则（    ） A．函数为非奇非偶函数 B．若，则 C．若，则函数单调递增 D．函数的图象过定点 【答案】ACD 【分析】利用奇偶函数的定义可判断A；由指数函数的性质可判断B,C,D. 【详解】故是非奇非偶函数，故A正确； 当时，单调递减，，故故B错误；若，故单调递增，故C正确； 根据指数函数的性质可知，函数的图象过定点，故D正确. 故选：ACD 2．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 题型三指数比较大小： 典例1 1．（安徽省智学大联考�皖中名校联盟合肥市第八中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试卷）若，其中为圆周率，为自然常数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由其单调性逐项判断即可. 【详解】令，由解析式可判断其在单调递增， 因为， 所以，所以，故B正确，A错误； 当时，，当时，所以C、D错误． 故选：B． 迁移应用 1．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上单调递增，则， 由在上递增，则， 所以. 故选：D 2．（安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； 又， ∴，又均为正数， ∴，∴， ∴. 故选：A. 题型四幂函数： 典例1 1．（安徽省淮北、宿州部分中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【详解】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 迁移应用 1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知幂函数满足，则______ 【答案】3 【分析】代入题中所给条件得到，再代入即可得解. 【详解】由题可知，有，得，则， 因此：. 故答案为：3. 2．（安徽省“皖南八校”2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（人教版））已知幂函数的图象经过点和点，则______． 【答案】4 【分析】依次代入点和点即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，所以. 故答案为：4 题型五分段指数含参单调性： 典例1 1．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两段函数各自递减，且满足在左段的右端点函数值大于等于右段的左端点函数值，即可求得实数的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递减，在上单调递减，且分界点处函数值左边较大， 故， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 迁移应用 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 2．（安徽省临泉第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单调性判断出，，，即可得到答案. 【详解】因为单增，所以，即. 因为单增，所以，即. 因为单减，所以，即. 综上所述：. 故选：C 题型六指数不等式、恒成立、换元二次： 典例1 1．（安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于,的方程组，求解即可. （2）利用恒成立问题的解决方法，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）将点、代入得方程组： 两式相除得，将代入， 得，解得， 因此函数解析式为 ：. （2）不等式在恒成立， 等价于： 对任意恒成立， 即大于等于的最大值， 因为底数，所以是上的单调递减函数， 最大值在处取得： 因此，即的取值范围为 . 迁移应用 1．（安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质结合题目条件即可求出的值 （2）先求出的值域，再根据值域的关系求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知方程且，有两个不相等的实根， ，则， 又，所以； （2）由题意对任意，都存在，使得， 即， ，令，， 令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故函数在时取到最小值，即 代入端点可得：，故，即， ，在单调递增，， 满足对任意，都存在，使得， 则需 故的范围为. 2．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)33 (3) 【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. 【详解】（1）令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. （3）由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 题型七指数实际应用题： 典例1 1．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）某培养皿中微生物的含量与时间（单位：小时）的关系满足函数，且第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40，若第小时时其含量为80，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据求出、的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 因为第3小时时其含量为10，第7小时时其含量为40， 所以，解得， 所以， 由，解得． 故选：C． 迁移应用 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 【答案】C 【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论． 【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则由， 即， ∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%， 又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故本题选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（安徽省合肥市六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：D 3．（安徽省滁州市2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 4．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解. 【详解】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 5．（安徽省A10联盟＆宿州十三校2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学（北师大版）试题）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 6．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值． 【详解】设，由题意，，，． 故选：C． 7．（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据已知条件且，通过不等式性质和函数单调性逐个分析选项. 【详解】因为，且，故A正确； 因为是单调递减函数，所以，故B正确； 因为，故，故C正确； 因为在上单调递增，且，故，故D错误. 故选：ABC. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】通过举反例可判断A；根据不等式的基本性质可判断B；通过作差比较可判断D。 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，，，，即， 又，所以，故B正确； 对于C，若，满足，但，故C错误； 对于D，若，则，因为的正负不确定， 所以的正负不确定，故D错误． 故选：ACD 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， A，，，，函数不是偶函数，A错； B，，则函数是奇函数，B对； C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对； D，由，得，则，的值域为，D对. 故选：BCD 3．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知，，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，据基本不等式可得；选项B，进而根据基本不等式可得；选项C，将代入，得，进而可得；选项D，利用基本不等式，进而根据指数的运算可得 【详解】，当且仅当时取等号，故A确； ， 当且仅当时取等号，故B错误； ， 当，时取等号，故C正确； ， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD 4．（安徽省临泉第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷）下列判断正确的是（    ） A．方程组的解集为 B．命题“，”的否定是“，； C．若函数的定义域为，则的定义域为 D．函数过定点 【答案】CD 【分析】根据方程的解集为判断A；根据全称命题的否定是特称命题判断B；根据复合函数的定义域的求解判断C；根据指数函数的性质判断D. 【详解】解：对于A选项，解方程得，，故解集为，故错误； 对于B选项，命题“，”的否定是“，，故错误； 对于C选项，由题知，解得，故的定义域为，故正确； 对于D选项，令，则，故函数过定点，故正确. 故选：CD 5．（安徽省智学大联考�皖中名校联盟合肥市第八中学2025-2026学年高一上学期期中检测数学试卷）下列结论中，正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】AD 【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A，设幂函数的解析式为， 由题意可得，解得，则故A正确； 对于B，因为，所以，函数且的图象必过定点故B错误； 对于C，因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为减函数，故函数的增区间为，故C错误； 对于D，幂函数，对任意的，则， 则对任意， 所以， 所以，， 可得，所以，故D正确． 故选：AD． 6．（安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题）已知集合． (1)若，求； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）利用指数函数性质解不等式得出结合，将代入得出集合，在利用集合运算计算即可； （2）由且建立不等式组解出即可. 【详解】（1）， 时，， 所以， 所以或. （2）因为，所以集合， 又，所以或， 解得， 所以的取值范围是. 7．（安徽省无为第二中学2025-2026学年高一上学期11月阶段性测试数学试题）（1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）219；（2）；（3） 【分析】（1）转化成指数幂形式，根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用指数幂的运算法则计算即可； （3）利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1） 首先，计算 ： ， ， 其次，计算： ，所以， 所以， 故. （2）， ， 故. （3）， 因此：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $