专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期中复习讲义）（知识必备+14大核心题型+分层验收）高一数学上学期北师大版

专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的单调性 掌握定义法证明函数单调性的步骤，会判断复合函数的单调性，由函数的单调性求参 重难必考点，涉及各种题型 函数奇偶性 掌握判断函数奇偶性的方法，会利用函数的奇偶性求函数解析式及求函数的值，解有关不等式 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数的周期性（拓展） 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常考考点，常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 函数的对称性 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 常考考点，与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 函数性质综合应用 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 函数的单调性 1.增函数与减函数 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有，则称在区间I上是增函数，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上为减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间和单调递减区间, 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值. 知识点04 函数的奇偶性 1、定义： （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05 对称性（拓展） 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； ③若，则的对称中心为 知识点06 函数的周期性(拓展) （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 【常见二级结论】 1.复合函数的单调性 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3.与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 4.关于奇偶性的几个结论 （1）在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 （2）若为奇函数且它在x=0处有定义，则 （3）若为偶函数，则 （4）若为偶函数，则的图象关于直线x=a对称； （5）若为奇函数，则的图象关于点（a，0）对称. 5.关于周期性的几个结论 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 6．周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： . ③若，，其中，则的周期为： 4.奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性 解｜题｜技｜巧 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【典例1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【变式1-2】（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 1.常用方法有：定义法，图象法，性质法，复合函数法. 2.求复合函数的单调区间时，先拆分复合函数为内外层函数，再根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例2-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式2-1】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据函数的单调性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例3-1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过定义、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例4-1】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【变式4-1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 题型五 根据函数单调性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例5】（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 题型六 利用函数的单调性求最值或值域 解｜题｜技｜巧 先判断函数的单调性，再由单调性求最值，一般来说最值在区间端点取得，或在增区间与减区间的分界点处取得. 【典例6】求下列函数的值域. (1)； (2) 【变式6-1】函数在区间上的值域为 ． 【变式6-2】求函数的值域. 题型七 函数奇偶性判断 解｜题｜技｜巧 1.定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3.性质法，如奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，奇×奇=偶，偶×偶=偶，等等. 【典例7】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【变式7-1】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 【变式7-2】判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 题型八 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例8-1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【变式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 题型九 由奇偶性求解析式 解｜题｜技｜巧 分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律． 【典例9】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 题型十 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例10】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 【变式10-2】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 题型十一 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 【典例11】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【变式11-1】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【变式11-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 题型十二 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例12-1】设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 【典例12-2】若是定义在上的奇函数，，，则 ． 【变式12-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【变式12-2】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 题型十三 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例13-1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【典例13-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【变式13-1】（多选）（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【变式13-2】（24-25高一上·上海·期中）已知.函数的图象是一个中心对称图形.若函数与函数的图象交点分别为为正整数），则 . 注： 题型十四 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【典例14-1】（多选）（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【典例14-2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【变式14-1】（多选）（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【变式14-2】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）设是定义在上的单调函数，且，． (1)求的值； (2)若，解不等式. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1、 单选题 1．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 2．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·河北保定·期中）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义在R上的函数满足，且是单调函数，，则（   ） A．函数为奇函数 B． C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 三、填空题 8．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 9．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 三、解答题 10.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 11.已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一上·重庆·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 16．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 二、填空题 17．已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 18．（24-25高一上·重庆外国语学校·期中）重庆市第二外国语学校2024-2025学年高一上学期期中设函数（）的最大值为，最小值为，则= 三、解答题 19．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 20．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 21．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 二、多选题 23．（24-25高一上·河南漯河·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 三、填空题 24．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 四、解答题 25．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的单调性 掌握定义法证明函数单调性的步骤，会判断复合函数的单调性，由函数的单调性求参 重难必考点，涉及各种题型 函数奇偶性 掌握判断函数奇偶性的方法，会利用函数的奇偶性求函数解析式及求函数的值，解有关不等式 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数的周期性（拓展） 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常考考点，常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 函数的对称性 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 常考考点，与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 函数性质综合应用 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 函数的单调性 1.增函数与减函数 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有，则称在区间I上是增函数，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上为减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间和单调递减区间, 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值. 知识点04 函数的奇偶性 1、定义： （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05 对称性（拓展） 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； ③若，则的对称中心为 知识点06 函数的周期性(拓展) （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 【常见二级结论】 1.复合函数的单调性 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3.与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 4.关于奇偶性的几个结论 （1）在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 （2）若为奇函数且它在x=0处有定义，则 （3）若为偶函数，则 （4）若为偶函数，则的图象关于直线x=a对称； （5）若为奇函数，则的图象关于点（a，0）对称. 5.关于周期性的几个结论 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 6．周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： . ③若，，其中，则的周期为： 4.奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性 解｜题｜技｜巧 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【典例1】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【答案】(1)m=4 (2)单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据列式求解即可； （2）利用函数单调性定义，按“取值、作差，变形，判号，下结论”的步骤证明即可； （3）关键点，注意两条渐近线（轴与）. 【详解】（1）因为函数，且， 所以，所以. （2）由（1）知函数，函数在上是单调递减. 证明：任取且， 则 . 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以， 所以函数在上是单调递减. （3）解：函数在上的大致图象（如图）关键点. 【变式1-2】（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 1.常用方法有：定义法，图象法，性质法，复合函数法. 2.求复合函数的单调区间时，先拆分复合函数为内外层函数，再根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例2-1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 【典例2-2】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 题型三 根据函数的单调性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例3-1】（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 【典例3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 【变式3-2】（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 题型四 根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过定义、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例4-1】（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A 【典例4-2】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 【变式4-1】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 【变式4-2】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，再由单调性列不等式组解抽象不等式即可； 【详解】因为，对任意的且，总有， 所以在上为单调递增函数， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 题型五 根据函数单调性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例5】（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可． 【详解】因为定义在区间上的函数满足：， 设，且满足， 由，有，则， 可得，则， 因为时， 所以，即，所以， 故函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 取，，则， 则， 因为，所以，即． 故答案为：． 题型六 利用函数的单调性求最值或值域 解｜题｜技｜巧 先判断函数的单调性，再由单调性求最值，一般来说最值在区间端点取得，或在增区间与减区间的分界点处取得. 【典例6】求下列函数的值域. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，于是，由二次函数的性质求解． （2）设，于是，由反比例函数的性质求解． 【详解】（1）设，则，且， 于是， 所以的值域为． （2）设，由，得，且， 于是， 由，得， 得， 所以的值域为： 【变式6-1】函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 【变式6-2】求函数的值域. 【答案】 【分析】根据根式的性质求定义域，再由二次函数、根式型函数性质判断单调性，进而求值域. 【详解】的定义域为， 由，在上单调递增， 所以该函数在上单调递增，，故. 题型七 函数奇偶性判断 解｜题｜技｜巧 1.定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3.性质法，如奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，奇×奇=偶，偶×偶=偶，等等. 【典例7】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【变式7-1】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 【分析】根据题意，先求得函数的定义域，然后分别画出分段函数的图象，结合其图象即可判断奇偶性. 【详解】（1）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是抛物线的一部分，开口向下，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于y轴对称，故为偶函数； （3）函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图， 由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数． 【变式7-2】判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 题型八 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例8-1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【典例8-2】（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 【答案】1 【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 题型九 由奇偶性求解析式 解｜题｜技｜巧 分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律． 【典例9】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【变式9-1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式. 【详解】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 【变式9-2】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 题型十 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例10】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性. 【详解】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键. 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 【答案】ACD 【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：令，可得：，解得：或， 当时，令，可得：，得，不满足存在，，使得，舍去，故；正确； 对于B：令，满足，且存在，，使得，此时，故错误； 对于C：令，可得：，奇函数，正确； 对于D：令，可得：，偶函数，正确； 故选：ACD 【变式10-2】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可. 【详解】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 题型十一 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 【典例11】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【分析】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 【变式11-1】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 【变式11-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递减，. 【分析】（1）设，得到.由即可求解； （2）由二次函数单调性即可判断，利用函数的单调性奇偶性即可求解； 【详解】（1）设，则. 是奇函数，且当时，， . 所以； （2） 时，，对称轴为，开口向上，易知在为减函数， 由函数为奇函数，可知在上单调递减； 是奇函数， ， 即. 的定义域是是减函数， , 即，解得： 即不等式的解集是. 题型十二 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例12-1】设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 【典例12-2】若是定义在上的奇函数，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故， 又因为，所以，故， 所以，即的周期为， 由于为定义在上的奇函数，且， 可得，，， 所以， 则. 【变式12-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 【变式12-2】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案. 【详解】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 题型十三 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例13-1】（24-25高一上·山东淄博·期中）已知方程有唯一的根，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先判断函数关于对称，从而得到即可. 【详解】设，则. 即，故关于对称. 又有唯一的根，则，故，解得. 故选：B 【典例13-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【答案】16 【分析】根据奇函数的定义以及图象平移可知与的图象的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 【变式13-1】（多选）（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】由可推得，可判断A；由是R上的偶函数，则，结合关系式，得到的对称性，可判断B；再根据周期函数的性质，且在上是增函数，即可推出在上的单调性，可判断C；由可得的关系可判断D. 【详解】对于A：定义在上的函数满足， ∴，所以是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B：∵是偶函数，所以，∴关于直线对称，故B正确； 对于C：因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数，故C不正确； 对于D：由，令得，故D正确. 故选：ABD. 【变式13-2】（24-25高一上·上海·期中）已知.函数的图象是一个中心对称图形.若函数与函数的图象交点分别为为正整数），则 . 注： 【答案】12 【分析】先证明函数，均关于点对称，再判断和的单调性并得到两个函数单调区间，画出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】由，， 则， 则， 即函数关于点对称， 且在上单调递增， 又，， 即函数关于点对称， 因为在上分别单调递减， 作出函数与的图象如图所示，结合函数图象可知， 函数与有4个交点，分别为 且与与分别关于点对称， 即. 故答案为：12 【点睛】思路点睛：先证明函数，均关于点对称，再分析得出两个函数单调性及单调区间，画出两个函数的图象，再数形结合求解. 题型十四 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【典例14-1】（多选）（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【答案】BCD 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 【典例14-2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性； （2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性； （3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围. 【详解】（1）令，则，解得， 令，即，则， 所以为奇函数. （2）令，则 ∵， ∴， ∵当时，， 即， ∴函数在上单调递减. （3）由， 由题设，即， 由（2）可知，即，得， ∴. 【变式14-1】（多选）（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BCD 【分析】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详解】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 【变式14-2】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）设是定义在上的单调函数，且，． (1)求的值； (2)若，解不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合单调性，利用待定系数法求出解析式. （2）求出并判断奇偶性，再利用偶函数性质及单调性求出不等式解集. 【详解】（1）函数是定义在上的单调函数，且，， 则存在唯一正常数t，使得，，且，因此， 令，得，即，而，解得， 所以. （2）由（1）得函数，其定义域为，， 则函数为偶函数，又函数在上单调递增，则在上单调递增， 不等式， 由，得，由，得， 整理得，解得， 所以原不等式的解集为. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1、 单选题 1．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 2．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 3．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，得，可求得；根据是偶函数，得，代入解析式，可求得，从而求得的值. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得. 由，得，解得. 所以. 故选：. 4．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高一下·河北保定·期中）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，判断各选项正误. 【详解】正比例函数是奇函数，在上单调递减，A错误. 反比例函数是奇函数，在上单调递增，B正确. 分段函数，，是奇函数，当时，单调递增，C正确. 对钩函数是奇函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 6．（24-25高一上·陕西渭南·期中）定义在R上的函数满足，且是单调函数，，则（   ） A．函数为奇函数 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数的性质来判断奇偶性，利用单调性来判断函数值的大小，即可作出选择. 【详解】因为定义在R上的函数满足，所以是奇函数， 从而，所以A，B正确； 因为是单调函数，且． 所以是R上的单调递增函数，故，所以C错误； 由于，且是R上单调递增函数， 故，所以D正确． 故选：ABD． 7．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下列关于的判断正确的是（   ） A．是周期函数 B．关于直线对称 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】由可推得，可判断A；由是R上的偶函数，则，结合关系式，得到的对称性，可判断B；再根据周期函数的性质，且在上是增函数，即可推出在上的单调性，可判断C；由可得的关系可判断D. 【详解】对于A：定义在上的函数满足， ∴，所以是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B：∵是偶函数，所以，∴关于直线对称，故B正确； 对于C：因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数，故C不正确； 对于D：由，令得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    9．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据周期可得，根据奇函数得，代入已知条件即可求解. 【详解】因为的周期为3，且为奇函数， 所以. 三、解答题 10.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 11.已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)、 【详解】（1）当时，有，则， 又对任意，则， 即当时，， 有，故， 即； （2）如图： （3）由图象结合二次函数的性质可得， 该函数的单调递增区间为：、. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【详解】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 13．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 二、多选题 14．（24-25高一上·重庆·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以. 对于A，由在上单调递减，得，故，故A正确； 对于B，，因为在上单调递增，所以，又在上单调递减，故，故B正确； 对于C选项，因为在上单调递减，故，又在上单调递减，故，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，故，但不确定的大小关系，无法比较，故D错误. 故选：ABC 15．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】可得， 又， ，故，C正确 的图象关于直线对称， ， ， ， ，，，B正确； 的图象关于直线对称， ，，是偶函数； 又， ， ，又是偶函数， ， 是偶函数，故A错误， 由得，根据是偶函数，， 又，，由，， ，D正确． 故选：BCD． 16．（24-25高一上·山东泰安·期中）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BCD 【分析】令，再根据不恒为0，可求出的值判断A；令，化简后根据偶函数的定义判断B；令，化简后根据对称性的定义判断C；令，结合BC结论化简判断D. 【详解】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确； 故选：BCD 二、填空题 17．已知函数，若，则在上的最小值为 ；若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】当，利用作差法求出函数的单调性，即可求出在上的最小值；若对任意，恒成立，将问题转化为大于函数在上的最大值，利用二次函数的最值即可求解. 【详解】当时，，设任意、，且，所以， 因为，所以，，，所以， 即，于是有，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 若对任意，恒成立，则，即， 所以问题转化为大于函数在上的最大值，，，易知在上单调递减， 所以在上的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·重庆外国语学校·期中）重庆市第二外国语学校2024-2025学年高一上学期期中设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 三、解答题 19．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案； （2）根据题意，设，由作差法分析可得结论； （3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得， 又由，则有，解得，则， 所以，满足条件，所以； （2）由（1）知， 证明：设， 则， 又由，所以、、 则，，，， 则， 则函数在上为增函数； （3）根据题意，即 ，即 ， 即，解得：， 即不等式的解集为． 20．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性； （2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性； （3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围. 【详解】（1）令，则，解得， 令，即，则， 所以为奇函数. （2）令，则 ∵， ∴， ∵当时，， 即， ∴函数在上单调递减. （3）由， 由题设，即， 由（2）可知，即，得， ∴. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 21．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 二、多选题 23．（24-25高一上·河南漯河·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 【答案】BCD 【分析】根据高斯函数的定义，化简，结合选项可得答案. 【详解】对于A,, 所以，故函数在上不是单调递增，A不正确； 对于B,当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时无解. 故方程在区间上有4个实数根，B正确； 对于C,由题意，故，所以， 所以，即，C正确； 对于D,由C可知，所以，D正确. 故选：BCD 三、填空题 24．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 四、解答题 25．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 【答案】(1)在上是奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先利用赋值法判断，再利用赋值法得，进而利用奇函数的概念证明即可． （2）结合抽象函数的运算，利用单调性的定义按照步骤证明即可． （3），然后求和得，由得，即可证明． 【详解】（1）函数的定义域为，令，得． 令，得，即， 所以在上是奇函数． （2）设，则， 由，得． 因为当时，所以， 即，从而在上单调递减． （3） ， 故 ， 又且，故， 从而． 37 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $