第3章 指数运算与指数函数 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了指数函数单元的知识体系，将指数幂运算、指数函数的图象特征及性质应用等核心内容按“概念辨析-运算技巧-综合应用”的逻辑层次呈现，清晰展示了指数函数与指数幂运算的内在联系，突出单调性、定点问题等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，如判断题强化概念辨析（如指数函数定义判断），题型分类例题（指数幂运算、图象过定点问题）搭配变式题，培养数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（模型观念）。基础题巩固知识，综合题提升应用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

本章总结提升 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) 1.=2. (　 ) 2.若函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则实数a=. (　 ) 3.函数f(x)=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象过定点(3,3). (　 ) 4.已知2x-1<23-x,则实数x的取值范围是(-∞,2). (　 ) 5.若x+x-1=3(x>0),则x2-x-2=3. (　 ) 6.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则实数a=2. (　 ) 7.函数y=的值域为{y|y>0}. (　 ) ◆ 题型一　指数幂的运算 [类型总述] (1)幂的运算;(2)指数的运算性质. 例1 (1)计算:2-+-(-2024)0=　　　　.  (2)已知a>0,且-=2,则a-a-1=　　　　.  变式 (1)已知x>0,则2=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3 B.2 C.2+x D.1+2x (2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则=　　　　.  ◆ 题型二　指数函数的图象及其应用 [类型总述] (1)函数图象经过的特殊点;(2)含指数式的函数图象的画法、判别;(3)底数对函数图象的影响;(4)简单的图象变换. 例2 (1)若函数y=ax+m-1 (a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则 (　 ) A.a>1,且m>0 B.a>1,且m<0 C.0<a<1,且m>0 D.0<a<1,且m<0 (2)如图,①②③④中的三个是指数函数y=3x,y=2x,y=的部分图象,则剩下的一个是 (　 ) A.① 　　　B.② C.③ 　　　D.④ 变式 (1)若函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(3,+∞) D.[3,+∞) (2)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个平面直角坐标系内的图象可能是 (　 ) A B C D ◆ 题型三　指数函数的性质及其应用 [类型总述] (1)依据指数函数的单调性比较大小;(2)解含指数式的不等式;(3)利用指数函数的单调性求参数. 例3 (1)[2024·江苏连云港海滨中学高一月考] 设a=,b=1.5-0.2,c=0.80.2,则 (　 ) A.a<c<b B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c (2)若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.  (3)解不等式22x-1-3·2x+5<13. 变式 (1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c (2)[2024·四川内江六中高一月考] 已知函数f(x)=-3x-2x,若f(a-6)+f(a2)>0,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(2,+∞) B.(-3,2) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【知识辨析】 1.×　[解析] =-2. 2.√　[解析] 根据指数函数的定义可知,实数a应满足2a2-3a+2=1,a>0,a≠1这三个条件,所以a=. 3.×　[解析] 当x-2=0,即x=2时,f(x)=4,故函数f(x)=ax-2+3的图象过定点(2,4). 4.√　[解析] 根据指数函数y=2t为R上的增函数,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2). 5.×　[解析] 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3. 6.×　[解析] 若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,则f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=.故a的值为2或. 7.×　[解析] 函数y=的定义域为{x|x≠1},因为≠0,所以y≠1,又指数函数y=2x的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}. 【素养提升】 题型一 例1　(1)-　(2)4　[解析] (1)原式=-(-3)2+-1=9-9+-1=-. (2)∵(-)2=a-2+a-1=4,∴a+a-1=6,则(+)2=a+a-1+2=8,∴+=2,∴(+)(-)=a-a-1=2×2=4. 变式　(1)D　(2)　[解析] (1)原式=2·+2·=1+2x. (2)由已知得a+b=6,ab=4,所以===.因为a>b>0,所以>,所以=. 题型二 例2　(1)B　(2)B　[解析] (1)函数y=ax+m-1(a>0,a≠1)的图象是把函数y=ax的图象向上或向下平移|m-1|个单位得到的.∵函数y=ax+m-1 (a>0,a≠1)的图象经过第一、三、四象限,∴a>1且m-1<-1,得a>1且m<0.故选B. (2)由指数函数的图象过定点可知,①是y=的部分图象,③是y=2x的部分图象,④是y=3x的部分图象,②不是指数函数的图象.故选B. 变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)作出函数y=|3x-2|的图象,如图所示.易知将函数y=|3x-2|的图象向上或向下平移|m|个单位长度后,得到y=|3x-2|+m的图象,而函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,由图可知,m≤-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2].故选B. (2)两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数图象过点(0,-1),故排除A,D;二次函数图象的对称轴为直线 x=,当0<a<1时,指数函数为R上的减函数,二次函数图象开口向下,<0,C符合题意;当a>1时,指数函数为R上的增函数,二次函数图象开口向上,>0,B不符合题意.故选C. 题型三 例3　(1)D　(2)　[解析] (1)因为a=,b=1.5-0.2==,且y=在R上为减函数,0.2<,所以>,所以b>a.因为y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,0.8>,所以0.80.2>,所以c>b,故a<b<c.故选D. (2)因为函数y=是R上的减函数,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减.因为函数y=-x2+4ax的图象的对称轴为直线x=2a,且开口向下,所以2a≤1,解得a≤,即a的取值范围为. (3)解:由题意知·(2x)2-3·2x+5<13,可得(2x)2-6·2x-16<0,所以(2x-8)(2x+2)<0. 因为2x+2>0,所以2x-8<0,解得x<3,所以原不等式的解集为{x|x<3}. 变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)因为y=在R上为减函数,所以<<=1<,即a<b<c. (2)函数f(x)=-3x-2x的定义域为R,函数y=,y=-3x,y=-2x在R上均单调递减,因此函数f(x)在R上单调递减.又f(-x)=-3-x-2(-x)=-=-f(x),即函数f(x)是奇函数,所以不等式f(a-6)+f(a2)>0即为f(a-6)>f(-a2),即a-6<-a2,解得-3<a<2,所以实数a的取值范围是(-3,2).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $