精品解析：辽宁省县级重点高中协作体2026-2027学年高一上学期10月调研考试数学试卷

2026-2027学年度（上）学期 高一数学10月调研卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关系正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A. ①②⑧ B. ③⑦ C. ④⑤⑥ D. ④⑤⑧ 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程有两个大于1的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则______（填<、=或>） 13. 已知，则的最小值为______. 14. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是______. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 求关于的下列不等式的解集. （1）； （2） 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长且靠墙的那一边不需要篱笆）的矩形菜园，设菜园的长（与墙平行）为米，宽（于墙垂直）为米 （1）若菜园面积为50平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ （2）若使用的篱笆总长为9米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 17. 已知集合，集合 （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知集合，.命题：，则；命题：，使得； （1）若，求实数的值； （2）若为真命题，求实数的取值范围 （3）若，都为假命题，求实数的取值范围. 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）学期 高一数学10月调研卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义进行求解. 【详解】已知，，所以， 又因为，所以. 2. 已知：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】已知命题为全称量词命题：， 根据全称量词命题的否定规则，需将全称量词“”改为存在量词“”， 并否定结论（“”改为“”），条件“”保持不变， 所以命题的否定是：. 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，令， p的充分不必要条件对应的取值集合应为M的真子集，故选项A正确. 4. 下列关系正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A. ①②⑧ B. ③⑦ C. ④⑤⑥ D. ④⑤⑧ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与元素、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于①，因为，故①不正确； 对于②，因为，故②不正确； 对于③，因为，故③不正确； 对于④，把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤，把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥，把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦，把看作集合，可得，把看作元素，可得，故⑦不正确. 对于⑧，因为且不是中的元素；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确，故C正确. 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以； ，所以； 图中阴影部分表示的集合为集合在中的补集， 从而阴影部分表示的集合为，即. 6. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由得到，分别按照和讨论求出的值组成的集合. 【详解】， 因为，所以， 当时，，满足， 当时，，， 因为，所以或，解得或， 综上，的值组成的集合是. 7. 已知关于的方程有两个大于1的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，抛物线开口向上， 方程有两个大于的实根，则满足， ，解得或， ， ，解得， 即. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质求解；选项B，利用不等式的性质求解；选项C，利用作差法求解；选项D，利用作差法求解. 【详解】选项A，因为，所以，故选项A正确； 选项B，因为，所以，与不相符，故选项B错误； 选项C，， 因为，所以，，所以， 则，即，故选项C正确； 选项D，， 因为，所以，，所以， 则，即，与不相符，故选项D错误. 10. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 【答案】BC 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得，即可判断A；结合韦达定理可得，代入求解后可判断B，C；利用换元法及对勾函数的性质可得，解不等式后，可判断D. 【详解】由题意可知是方程的两根，且，故A错误； 由韦达定理可知，所以， 所以，即为， 即，解得， 所以原不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 又因为不等式有解，即不等式， 解得或， 即实数的取值范围为：或，故D错误. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则______（填<、=或>） 【答案】< 【解析】 【详解】因为，， 所以和均为正数， 且，， 因为，，所以， 即，所以. 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过换元将原式转化为符合基本不等式使用条件的结构，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】令，由得，且. 将代入原式化简：  . 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 令，，则， 当且仅当即（，负根舍去）时等号成立. 此时，满足题设条件，因此，即所求最小值为. 14. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先整理不等式，再根据的不同取值，分析该不等式的解集，并找出使得解集中恰好包含两个整数的的范围. 【详解】将不等式整理可得， 当时，不等式变为，解得，此时不等式有无数个整数解，不符合题意； 当时，不等式的解集为或者，此时不等式有无数个整数解，不符合题意； 当时，若，即，此时不等式变为，无解，不符合题意； 若，即，不等式的解集为，要使其中有且仅有两个整数，那这两个整数只能是， 由于，此时区间最多只有一个整数（当时），不符合题意； 若，即，不等式的解集为，要使其中有且仅有两个整数，那这两个整数只能是， 所以且，解得，符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 求关于的下列不等式的解集. （1）； （2） 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式的求解方法即可； （2）分类讨论与的大小即可求解. 【小问1详解】 当时，原不等式化为，解得. 当时，原不等式化为，解得. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ， 因为二次项系数为正，不等式小于0的解集为两根之间，需比较与： 若，即，则解集为 若，即，则不等式为，解集为； 若，即，则解集为. 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长且靠墙的那一边不需要篱笆）的矩形菜园，设菜园的长（与墙平行）为米，宽（于墙垂直）为米 （1）若菜园面积为50平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ （2）若使用的篱笆总长为9米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为20 （2）时，有最小值，最小值是1 【解析】 【分析】（1）由题可知，所用篱笆总长为，再利用基本不等式求最值即可； （2）由题意得，然后根据基本不等式“1”的妙用求解． 【小问1详解】 由题意得，所用篱笆总长为， 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； 【小问2详解】 由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是1． 17. 已知集合，集合 （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知是的真子集，再分、进行讨论求解； （2）方法一：直接相交法，根据题意可得，且且，再解不等式组即可；方法二：补集法（反面法），先求时，再取补集即可． 【小问1详解】 “”是“”的必要不充分条件 是的真子集， ①当时，满足是的真子集， 此时，解得. ②当时， 解得 综合①②，. 【小问2详解】 方法一：直接相交法， 首先，即. 区间与相交，需同时满足： ①； ②； 综合得，即． 方法二：补集法（反面法） 先求： ①：； ②（即）且不相交： ·全在左侧：，结合得； ·全在右侧：. 故时，或. 取补集（即）得，即． 18. 已知集合，.命题：，则；命题：，使得； （1）若，求实数的值； （2）若为真命题，求实数的取值范围 （3）若，都为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意是集合的元素，把其带入即可求出的值，再将的值带回去验证即可； （2）由题意得，再分类讨论当和两种情况即可； （3）方法一：通过分离出，再通过均值不等式求出的最小值即可； 方法二：设， 再求解在上的最小值即可. 【小问1详解】 ，. ∵，∴，则，即，解得或. 验证：当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意. 综上可知，若，则. 【小问2详解】 若为真命题，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以2和6是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若为真命题，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 方法一：分离参数 因为真：或； 所以假：且，即. 命题：“，使得”为假命题， 则，都有为真命题 ，，整理可得， 因为，当时，不等式等号成立，故 所以，都为假命题时，的取值范围为. （3）方法二：二次函数最值 因为真：或； 所以假：且，即 命题：“，使得”为假命题， 则，都有为真命题， 设，抛物线开口向上，对称轴为，原命题等价于在上的最小值. 分三种情况讨论： ①当，即时，在上单调递增： ，结合前提得：. ②当，即时，最小值为顶点： ，结合前提得：. ③当，即时，在上单调递减： ，与前提矛盾，无解. 所以，当为假命题时，， 所以，都为假命题时，的取值范围为. 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】（1），3； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得，解该方程即可得解； （2）根据题设结合一元二次方程的判别式即可计算得解； （3）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设为不动点，因此， 解得或， 所以，3为函数的不动点. 【小问2详解】 设， 则方程，即，即， 于是由题意可得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式，且， 即，则该不等式对恒成立， 则，且，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以， 解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $