精品解析：辽宁省大连市金州高级中学2026-2027学年高一上学期10月份质量检测数学试题

2026-2027学年度10月份质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合知识，逐项分析，即可求得答案. 【详解】对于A，由，故A正确; 对于B，因为不成立,故B错误; 对于C,因为，故C正确; 对于D，因为，故D正确. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 3. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 4. “是锐角三角形”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若是锐角三角形，则其三个内角均为锐角，因此必定是锐角，充分性成立； 若是锐角，例如，此时是钝角三角形， 因此必要性不成立； 所以“是锐角三角形”是“是锐角”的充分不必要条件. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式首先求出的值，再代入计算可得. 【详解】解：因为，所以，即， 所以. 故选：C 6. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，解得， 又，故， 因为，即中所有大于等于的元素， 若恰有个元素，只能是最大的三个， 包含，则，不包含，则，故， 所以实数的取值范围是. 7. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 8. 下列说法正确的是（） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D. 若实数a，b满足，，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：同向不等式相乘仅在两边均为正数时成立，若存在负数则不成立，故A错误. 选项B：令，由得，原式化为.函数在时单调递增，故最小值为，等号成立条件无法取到，故B错误. 选项C：不等式的解集为，说明，且方程的两根为和； 由韦达定理：得，； 代入不等式，得，即.由，得，解集为，与选项描述不符，故C错误. 选项D：设，整理得：， 对比系数得，解得，； 因此， 由，得； 由，得； 两式相加得，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出已知一元二次不等式的解集，根据“充分不必要条件”等价于“对应的集合是原解集的真子集”这一原则，分别判断各选项对应的集合是否为的真子集即可. 【详解】因不等式，则其解集为或， 依题意，要使选项对应的范围是集合的真子集. 对于A：因是集合 的真子集，故A正确； 对于B：或显然不是集合的真子集，故B错误； 对于C：因是集合 的真子集，故C正确； 对于D：或是集合 的真子集，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：的定义域为； 由根式乘法法则化简得，的定义域也为，定义域、对应法则均相同，是同一个函数，A正确. 选项B：函数定义域为，说明对任意恒成立. 当时，原式化为，恒成立，符合条件； 当时，需判别式，解得； 当时，二次函数开口向下，不可能恒非负. 综上的取值范围是，选项漏掉了，B错误. 选项C：由，得，因此， 函数的值域为，而非，C错误. 选项D：已知①， 将替换为，得 ②. ①②，消去：， ，解得，D正确. 11. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出，然后判断的符号，然后利用基本不等式的性质以及二次函数的性质计算C,D选项即可. 【详解】已知对任意的，不等式恒成立， 若，则对任意，故恒成立，此时要求对所有恒成立， 当时，若，不满足条件； 若仅在时成立，无法覆盖所有， 故不可能，因此，B正确； 当时，方程的负根为，要使乘积恒非负， 一次函数的零点必须与上述负根重合，即. 由于，故，得，A正确； 将等式两边平方得，即且. 将其代入得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值为8，C正确； ，令，由于，所以. 则表达式变为，根据二次函数的性质可知，无最小值， 即无最小值，D错误. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 故. 故答案为：. 13. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合． （1）求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） ，. （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式与分式不等式，再结合集合的交并补混合运算法则求解即可. （2）对是否是空集进行分类讨论，再结合集合的包含关系建立不等式组，求解参数范围即可. 【小问1详解】 令，解得， 则，， 令，化简得，解得，得到， 则，. 【小问2详解】 当时，满足， 此时，解得， 当时，可得，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 【答案】（1）当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2） 【解析】 【分析】（1）建立，的关系式，使用基本不等式求解； （2）通过，的关系式消元，使用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． 【小问2详解】 由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）不是“完美集”， 是“完美集”； （2）； （3）“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【小问1详解】 （1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； 【小问2详解】 是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以； 即的取值范围是； 【小问3详解】 若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度10月份质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 4. “是锐角三角形”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 0 6. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D. 若实数a，b满足，，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则______. 13. 设集合，，且，则________. 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合． （1）求和； （2）若，求的取值范围． 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $