第五章 二次函数单元基础卷2026～2027学年北师大版九年级上册数学

【第五章 二次函数 单元基础卷】 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷考查二次函数的定义、图象与性质、平移变换、二次函数与一元二次方程以及简单的实际应用，侧重基础概念与基础计算。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，是关于 的二次函数的是（　） A． B． C． D． 2．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 3．一台机器原价 200 万元，若每年的折旧率约是 ，两年后这台机器约为 万元，则 与 的函数关系式为（　） A． B． C． D． 4．关于二次函数 的图象，下列说法错误的是（　） A．开口向上 B．顶点是抛物线的最高点 C．关于 轴对称 D．与 轴只有一个交点 5．在平面直角坐标系中，平移抛物线 得到 ，则平移方式可以是（　） A．向左平移 3 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度 C．向上平移 3 个单位长度 D．向下平移 3 个单位长度 6．二次函数 的图象不经过（　） A．第一、二象限 B．第三象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 7．二次函数 的图象经过点 ，则 的值是（　） A． B． C． D． 8．若点 ，， 都在二次函数 的图象上，则（　） A． B． C． D． 9．抛物线 与抛物线 的相同点是（　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在 轴上 10．如图，抛物线 经过点 ，，当 时， 的最大值与最小值的差为 6，则 的值为（　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．当                         时，函数 是二次函数。 12．在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，则关于 的方程 的解为                        。 13．将抛物线 向上平移 个单位长度后，所得的新抛物线经过点 ，则 的值为                        。 14．沿着 轴的正方向看，如果抛物线 在 轴左侧的部分是上升的，那么 的取值范围是                        。 15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 米时，水面宽 6 米，当水面下降                        米时，水面宽 8 米。 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ，， 的坐标分别为 ，，。若抛物线 与正方形 有公共点，则 的取值范围是                        。 三、解答题（共 52 分） 17．若抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 。 （1）求抛物线的表达式； （2）写出它的顶点坐标和开口方向。 18．抛物线 的顶点为 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 。 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 在该抛物线上，求 的面积。 19．某文旅公司推出多款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元/件，当售价为 40 元/件时，每天可以售出 60 件。经调查发现，销售单价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件。 （1）设该款巴小虎吉祥物每件降价 元，则每天售出的数量是                件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件降价多少元时，文旅公司每天的利润是 630 元？ （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，它的截面可近似看作抛物线的一部分。如图，隧道底部宽 12 米，高 8 米，以底部中点为原点、底部所在直线为 轴、隧道的对称轴为 轴建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5 米。当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 2 米（中心线宽度不计）。若宽 3 米、高 3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由。 21．已知抛物线 经过点 ，，与 轴交于点 。 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 向上平移 2 个单位长度，再向左平移 个单位长度后，恰好落在抛物线 上，求 的值。 22．已知抛物线 （，， 均为常数）过点 。 （1）求 ， 之间的数量关系及该抛物线的对称轴； （2）若函数 的最大值为 5，求该抛物线与 轴的交点坐标； （3）当自变量 满足 时，记函数 的最大值为 ，最小值为 。求证：。 23．某广场的音乐喷泉，出水口为坐标原点，出水口离岸边 18 米。随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线 上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为 。 （1）若 ，①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线的最大高度是多少米？②若喷出的抛物线形水线的最大高度为 4 米，求 ， 的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线 上，喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时 的取值范围。 24．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 ，。 （1）求二次函数的表达式； （2）若 是二次函数图象上一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 ， 的面积是 的面积的 2 倍，求点 的坐标。 第五章 二次函数 单元基础卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第五章 二次函数 单元基础卷】 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷考查二次函数的定义、图象与性质、平移变换、二次函数与一元二次方程以及简单的实际应用，侧重基础概念与基础计算。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，是关于 的二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 选项 A： 中 可以等于 0，此时它是一次函数，所以 A 不一定是二次函数； 选项 B：，自变量的最高次数是 2，二次项系数为 2，是二次函数； 选项 C： 的分母中含自变量，不是整式，不是二次函数； 选项 D：，是一次函数。故选 B。 2．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D 函数是二次函数，只需二次项系数不为 0，即 ； 解得 ，一次项系数与常数项对 没有限制。故选 D。 3．一台机器原价 200 万元，若每年的折旧率约是 ，两年后这台机器约为 万元，则 与 的函数关系式为（　） A． B． C． D． 【答案】D 第一年折旧后的价格为 万元； 第二年在这个价格的基础上再按折旧率 折旧，价格为 万元； 所以 。故选 D。 4．关于二次函数 的图象，下列说法错误的是（　） A．开口向上 B．顶点是抛物线的最高点 C．关于 轴对称 D．与 轴只有一个交点 【答案】B ，图象开口向上，A 正确； 开口向上的抛物线，顶点 是图象的最低点而不是最高点，B 错误； 把 换成 ，函数值不变，图象关于 轴对称，C 正确； 令 得 ，与 轴只有交点 ，D 正确。故选 B。 5．在平面直角坐标系中，平移抛物线 得到 ，则平移方式可以是（　） A．向左平移 3 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度 C．向上平移 3 个单位长度 D．向下平移 3 个单位长度 【答案】C 的顶点为 ， 的顶点为 ； 顶点由 移到 ，是沿 轴方向向上平移 3 个单位长度； 这也符合「上加下减」的平移规律。故选 C。 6．二次函数 的图象不经过（　） A．第一、二象限 B．第三象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【答案】B ，图象开口向上，顶点为 ，顶点在 轴正半轴上； 除顶点外，图象上的点都满足 ，全部位于 轴上方，分布在一、二象限； 图象在 轴下方没有任何点，所以不经过第三象限； 选项 C 中的第二象限、选项 D 中的第一象限都被图象经过，故只选 B。 7．二次函数 的图象经过点 ，则 的值是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把 代入 ，得 ； 所以 ，且 满足条件。故选 A。 8．若点 ，， 都在二次函数 的图象上，则（　） A． B． C． D． 【答案】A 分别把横坐标代入 ：，，； 所以 。故选 A。 9．抛物线 与抛物线 的相同点是（　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在 轴上 【答案】D 的顶点为 ，对称轴是 轴，开口向上； 的顶点为 ，对称轴是直线 ，开口向下； 两抛物线的顶点、对称轴、开口方向都不相同，A、B、C 均错误； 两个顶点的纵坐标都是 0，都落在 轴上，D 正确。故选 D。 10．如图，抛物线 经过点 ，，当 时， 的最大值与最小值的差为 6，则 的值为（　） A． B． C． D． 【答案】A 把 、 代入得 ，，解得 ，； 所以 ，对称轴为直线 ，最小值为 ； 当 时 。若 ，则区间上的最小值为 ，最大值不小于 5，差大于 6，不合题意，所以 ； 此时区间 上的最大值是 ，最小值是 ； 由 得 ，解得 ； 因为 ，舍去，所以 。故选 A。 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．当                         时，函数 是二次函数。 【答案】 二次函数要求最高次项的次数为 2，且二次项系数不为 0，所以 且 ； 由 得 ， 或 ； 因为 ，即 ，所以 。 12．在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，则关于 的方程 的解为                        。 【答案】， 抛物线与 轴交点的横坐标，就是方程 的根； 抛物线关于直线 对称，已知交点 到对称轴的距离为 1； 另一个交点与对称轴的距离也是 1，且在对称轴右侧，即 ； 所以方程的解为 ，。 13．将抛物线 向上平移 个单位长度后，所得的新抛物线经过点 ，则 的值为                        。 【答案】 向上平移 个单位长度后，抛物线的表达式为 ； 把 代入得 ，解得 ，符合 。 14．沿着 轴的正方向看，如果抛物线 在 轴左侧的部分是上升的，那么 的取值范围是                        。 【答案】 「沿着 轴正方向看，图象上升」就是 随 的增大而增大； 这条抛物线的对称轴是 轴，它在 轴左侧的部分上升，说明开口向下； 所以 ，解得 。 15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 米时，水面宽 6 米，当水面下降                        米时，水面宽 8 米。 【答案】 以水面所在直线为 轴、拱顶所在的竖直直线为 轴建立平面直角坐标系，则拱顶为 ，水面宽 6 米时两端点为 、； 设 ，把 代入得 ，，所以 ； 当水面宽 8 米时，两端点的横坐标为 ，此时 ； 所以水面下降了 米。 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ，， 的坐标分别为 ，，。若抛物线 与正方形 有公共点，则 的取值范围是                        。 【答案】 正方形在第一象限，点的纵坐标都为正，所以抛物线与它有公共点时必有 ； 由 、 知正方形边长为 3，所以 ，正方形上点的横坐标满足 ，纵坐标满足 ； 若 是抛物线与正方形的公共点，则 ； 当 ， 时 最小，为 ；当 ， 时 最大，为 4； 所以 。 三、解答题（共 52 分） 17．若抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 。 （1）求抛物线的表达式； （2）写出它的顶点坐标和开口方向。 【答案】（1）；（2）顶点坐标为 ，开口向下 （1）抛物线的对称轴是直线 ，所以 ，即 ； 把 代入得 ，所以 ； 所以抛物线的表达式为 。 （2）由表达式可知顶点坐标为 ； 因为 ，所以抛物线的开口向下。 18．抛物线 的顶点为 ，与 轴的负半轴交于点 ，且 。 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 在该抛物线上，求 的面积。 【答案】（1）；（2） （1）抛物线的顶点为 ，所以 ； 令 得 ，即 ，因为点 在 轴的负半轴上，所以 ，； 由 得 ，所以 ，抛物线的表达式为 。 （2）把 代入得 ，所以 ； 设直线 的表达式为 ，把 、 代入得 ，它与 轴交于点 ； 因为点 在线段 上，所以 。 19．某文旅公司推出多款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元/件，当售价为 40 元/件时，每天可以售出 60 件。经调查发现，销售单价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件。 （1）设该款巴小虎吉祥物每件降价 元，则每天售出的数量是                件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件降价多少元时，文旅公司每天的利润是 630 元？ （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）每件降价 3 元；（3）销售单价为 38 元时利润最大，最大利润是 640 元 （1）每降价 1 元多售出 10 件，降价 元就多售出 件，所以每天售出 件。 （2）每件的利润为 元，由题意得 ； 整理得 ，解得 ，； 因为要让利于游客，取较大的降价，所以每件降价 3 元。 （3）； 因为 ，所以当 时 取得最大值 640，此时销售单价为 （元）； 所以销售单价为 38 元时每天的利润最大，最大利润是 640 元。 20．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，它的截面可近似看作抛物线的一部分。如图，隧道底部宽 12 米，高 8 米，以底部中点为原点、底部所在直线为 轴、隧道的对称轴为 轴建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5 米。当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 2 米（中心线宽度不计）。若宽 3 米、高 3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由。 【答案】（1）；（2）能安全通过 （1）由题意，抛物线的顶点为 ，与 轴的交点为 、； 设 ，把 代入得 ，，所以 。 （2）两车各宽 3 米、间隔 2 米且关于 轴对称，所以靠外侧的车身边缘的横坐标为 ； 当 时，； 车高 3.5 米，车顶与隧道的空隙为 （米）； 因为 ，所以两辆车能安全通过。 21．已知抛物线 经过点 ，，与 轴交于点 。 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 向上平移 2 个单位长度，再向左平移 个单位长度后，恰好落在抛物线 上，求 的值。 【答案】（1）；（2） （1）把 、 代入得 ，，解得 ，； 所以抛物线的表达式为 。 （2）点 向上平移 2 个单位长度得 ，再向左平移 个单位长度得 ； 因为它落在抛物线上，所以 ； 整理得 ，即 ，解得 或 ； 所以 或 ，因为 ，所以 。 22．已知抛物线 （，， 均为常数）过点 。 （1）求 ， 之间的数量关系及该抛物线的对称轴； （2）若函数 的最大值为 5，求该抛物线与 轴的交点坐标； （3）当自变量 满足 时，记函数 的最大值为 ，最小值为 。求证：。 【答案】（1），对称轴为直线 ；（2）；（3）证明见解析 （1）把 代入得 ，整理得 ，即 ； 对称轴为直线 。 （2）因为 ，所以函数有最大值，且在顶点处取得，最大值为 ，即 ； 把 代入得 ，解得 ，； 此时 ，所以抛物线与 轴的交点为 。 （3）由（1）得 ，对称轴为直线 ，且 ； 因为 ，所以 时 取最大值 ； 又 ，，因为 ，所以 ，故 上的最小值为 ； 所以 ，命题得证。 23．某广场的音乐喷泉，出水口为坐标原点，出水口离岸边 18 米。随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线 上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为 。 （1）若 ，①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线的最大高度是多少米？②若喷出的抛物线形水线的最大高度为 4 米，求 ， 的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线 上，喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时 的取值范围。 【答案】（1）① 米；②，；（2） 的顶点横坐标为 ，纵坐标为 。 （1）① 时，顶点在直线 上，所以 ，解得 （ 时顶点为原点，不合题意）； 水恰好达到岸边，即抛物线过点 ，代入得 ，； 此时顶点的纵坐标为 ，所以最大高度是 4.5 米。 ②最大高度为 4 米，即 ，把 代入得 ，所以 ，。 （2）顶点在直线 上，由 得 ； 抛物线与 轴的交点为 与 ，所以落水点与出水口的水平距离为 ； 水不能触及岸边，即 ，结合 解得 。 24．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 ，。 （1）求二次函数的表达式； （2）若 是二次函数图象上一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 ， 的面积是 的面积的 2 倍，求点 的坐标。 【答案】（1）；（2） （1）把 、 代入得 ，，解得 ； 所以二次函数的表达式为 。 （2）令 得 ，解得 或 ，所以 ； 与 都以 为底，点 在 轴上方、点 在 轴下方，所以它们的面积比等于高的比，即 ； 由 得 ； 把 代入 得 ，解得 或 ； 因为点 在第二象限，所以 ，即 。 第五章 二次函数 单元基础卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $