第五章 二次函数 单元提高卷 2026～2027学年北师大版九年级上册数学

【第五章 二次函数 单元提高卷】 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷覆盖二次函数全章考点，在基础之上侧重图象信息辨析、含参分类讨论、动点与面积最值、存在性探究以及函数与方程、不等式的综合运用，压轴题为二次函数几何综合大题。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而增大 【答案】C ，图象开口向下，A 错误； 由 知 ，对称轴是直线 ，B 错误； 顶点坐标为 ，C 正确； 抛物线开口向下，在对称轴右侧 随 的增大而减小，D 错误。故选 C。 2．将抛物线 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的表达式为（　） A． B． C． D． 【答案】A ，顶点为 ； 向左平移 2 个单位、向上平移 1 个单位后，顶点变为 ，开口方向和形状都不变； 所以所得抛物线的表达式为 。故选 A。 3．若二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 图象与 轴有两个不同的交点，等价于方程 有两个不相等的实数根； 所以 ，解得 。故选 A。 4．已知二次函数 的图象开口向下，对称轴是直线 ，与 轴的交点在 轴下方，则（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 图象开口向下，所以 ； 对称轴 ，而 ，所以 ； 图象与 轴的交点为 ，它在 轴下方，所以 。故选 B。 5．已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表，则下列说法正确的是（　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．当 时， 随 的增大而减小 D．抛物线与 轴的交点坐标是 【答案】C 由表知 时 最小，且 与 时的函数值都是 ，所以抛物线的对称轴是直线 ，开口向上； 所以 A、B 都错误； 抛物线开口向上，在对称轴左侧 随 的增大而减小，即当 时 随 的增大而减小，C 正确； 当 时 ，与 轴的交点是 ，D 错误。故选 C。 6．已知二次函数 ，当 时， 的最大值和最小值分别是（　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】A ，图象开口向下，顶点为 ； 因为 在 内，所以当 时 取最大值 ； 当 时 ，当 时 ，所以最小值是 。故选 A。 7．已知二次函数的图象经过点 ，，，则这个二次函数的表达式为（　） A． B． C． D． 【答案】A 因为图象经过 、，所以设 ； 把 代入得 ，所以 ； 所以 。故选 A。 8．已知抛物线 ，当 时， 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A ，对称轴是直线 ，图象开口向上； 在 上， 随 的增大而减小； 当 时 ，当 时 ，所以 。故选 A。 9．如图，抛物线 与直线 交于点 ，，则不等式 的解集是（　） A． B． C． D． 或 【答案】D 不等式 表示抛物线在直线上方的部分； 由图象可知，当 或 时抛物线在直线上方； 所以解集为 或 。故选 D。 10．二次函数 （）的图象如图，它经过点 ，对称轴是直线 。下列结论：①；②；③；④。其中正确的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 图象开口向上，得 ；对称轴 ，得 ； 图象过 ，得 ，即 ； ①，所以①错误； ②，所以②正确； ③，所以③正确； ④，所以④正确。故选 C。 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．抛物线 的顶点坐标是                        。 【答案】 ； 所以抛物线的顶点坐标是 。 12．若二次函数 的最小值为 1，则 的值为                        。 【答案】 ，所以最小值为 ； 由 得 。 13．抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，则 的面积为                        。 【答案】 令 得 ，解得 ，，所以 ，，； 令 得 ，所以 ，即 中 边上的高为 8； 所以 。 14．已知二次函数 （ 为常数），当 时， 的最小值为 1，则 的值为                        。 【答案】 或 ，对称轴是直线 ； ①当 时，在 上 随 的增大而增大，所以 时取最小值：，得 ，符合 ； ②当 时， 时取最小值 ，得 ，所以 或 （，舍去）； ③当 时，在 上 随 的增大而减小，所以 时取最小值：，得 ，不符合 ，舍去； 综上， 或 。 15．如图，某抛物线形拱桥的拱顶离水面 4 米时，水面宽 米。以水面所在直线为 轴、拱顶所在的竖直直线为 轴建立平面直角坐标系，当水面下降 1 米时，水面的宽度为                        米。 【答案】 设抛物线的表达式为 ，把 代入得 ，所以 ，即 ； 水面下降 1 米，即 ，由 得 ，所以 ； 所以此时水面宽度为 米。 16．如图，用长 24 米的篱笆围成一个矩形花园 ，并在花园中间用篱笆 隔开（，点 在 上，点 在 上）。设 米，花园的面积为 平方米，则 的最大值为                        平方米。 【答案】 篱笆总长为 ，所以 ； 所以 ； 因为 ，所以当 时 取最大值 24，此时 （米），符合实际； 所以 的最大值为 24 平方米。 三、解答题（共 52 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法把它化成 的形式，并写出它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 【答案】（1），顶点为 ，对称轴是直线 ；（2）与 轴交于 、，与 轴交于 ；（3） （1）； 所以顶点坐标为 ，对称轴是直线 。 （2）令 得 ，解得 ，，所以与 轴的交点为 、； 令 得 ，所以与 轴的交点为 。 （3）抛物线开口向上，对称轴是直线 ，所以在对称轴左侧 随 的增大而减小，即当 时， 随 的增大而减小。 18．已知二次函数的图象经过点 ，，且当 时函数有最小值 。 （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点 是否在该函数的图象上，并说明理由。 【答案】（1）；（2）点 在该函数的图象上 （1）因为图象经过 、，所以设 ； 函数在 时取最小值，说明 是图象的对称轴，且 ； 把 代入得 ，所以 ，此时 符合题意； 所以 。 （2）当 时，，所以点 在该函数的图象上。 19．已知二次函数 。 （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）当 时，求 的最大值和最小值； （3）直接写出不等式 的解集。 【答案】（1）顶点为 ，对称轴是直线 ；（2）最大值是 9，最小值是 0；（3） （1）； 所以顶点坐标为 ，对称轴是直线 。 （2）对称轴 在 内，所以当 时 取最大值 9； 当 时 ，当 时 ，所以当 时 取最小值 0。 （3）令 得 ，，抛物线开口向下，所以不等式的解集为 。 20．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 。点 是抛物线在第四象限内的一点，其横坐标为 2，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 。 （1）求点 ，， 的坐标及直线 的表达式； （2）求线段 的长； （3）求 的面积。 【答案】（1），，，直线 的表达式为 ；（2）；（3） （1）令 得 ，解得 ，，所以 ，；令 得 ，所以 ； 设直线 的表达式为 ，把 、 代入得 ，，所以 。 （2）当 时，，所以 ；点 在直线 上且横坐标为 2，所以 ； 所以 。 （3）以 为底，点 、 到直线 的距离之和为 ， 所以 。 21．某商品进价为每件 40 元，每天的销售量 （件）与售价 （元/件）满足 。 （1）设每天销售这种商品的利润为 元，求 与 之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若每天的利润不低于 1600 元，求售价 的取值范围。 【答案】（1）；（2）售价定为 70 元时每天利润最大，最大利润是 1800 元；（3） （1）每件的利润为 元，所以 。 （2）； 因为 ，所以当 时 取最大值 1800； 即售价定为 70 元时每天的利润最大，最大利润是 1800 元。 （3）由 得 ，即 ； 所以 ，即 。 22．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 。点 是直线 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交 轴于点 。设点 的横坐标为 。 （1）求点 ，， 的坐标和直线 的表达式； （2）用含 的式子表示线段 的长，并写出 的取值范围； （3）求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标。 【答案】（1），，，直线 的表达式为 ；（2），；（3） 面积的最大值为 ，此时 （1）令 得 ，解得 ，，所以 ，；令 得 ，所以 ； 设直线 的表达式为 ，把 、 代入得 。 （2）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ； 因为点 在直线 上方，所以 ； 点 在 、 之间的抛物线上，所以 。 （3）； 因为 ，所以当 时 的面积最大，最大值为 ； 此时 ，所以 。 23．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，对称轴为直线 。 （1）求抛物线的顶点 的坐标和对称轴 ； （2）点 是直线 上一点，若 是以 为底的等腰三角形，求点 的坐标； （3）过点 作直线 ， 与抛物线的另一个交点为 ，求点 的坐标及 的面积。 【答案】（1），对称轴 为直线 ；（2）；（3）， （1），所以 ，对称轴 为直线 。 （2）令 得 ，，所以 ，；令 得 ； 由 知点 在线段 的垂直平分线上； 直线 的表达式为 ，斜率为 1，其中点为 ，所以 的垂直平分线为 ； 把 代入 得 ，所以 。 （3）因为 ，所以直线 的表达式为 ； 联立 与 得 ，解得 （即点 ）、； 把 代入 得 ，所以 ； 因为 ，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离， 所以 。 24．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 。 （1）求点 的坐标和抛物线的对称轴； （2）点 是抛物线对称轴上一点，若 是直角三角形，求所有满足条件的点 的坐标； （3）点 是抛物线在第二象限内的一点（不与点 重合），若 ，求点 的坐标。 【答案】（1），对称轴是直线 ；（2） 的坐标为 、、、；（3） （1），所以 ，对称轴是直线 。 （2）由 得 ，，所以 ，；令 得 ； 设 ，则 ，，； ①若 ，则 ，即 ，整理得 ，解得 ； ②若 ，则 ，即 ，解得 ； ③若 ，则 ，即 ，解得 ，此时点 与点 重合； 所以满足条件的点 有四个：，，，。 （3）直线 的表达式为 ，； 点 到直线 的距离为 ，所以 ； 设 ，点 到直线 的距离为 ； 由 得 ，即 ； 当 时，，均不在 内，舍去； 当 时，（即点 ）、； 因为点 不与点 重合，所以 ，此时 ，所以 。 第五章 二次函数 单元提高卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第五章 二次函数 单元提高卷】 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷覆盖二次函数全章考点，在基础之上侧重图象信息辨析、含参分类讨论、动点与面积最值、存在性探究以及函数与方程、不等式的综合运用，压轴题为二次函数几何综合大题。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而增大 2．将抛物线 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的表达式为（　） A． B． C． D． 3．若二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 4．已知二次函数 的图象开口向下，对称轴是直线 ，与 轴的交点在 轴下方，则（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表，则下列说法正确的是（　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．当 时， 随 的增大而减小 D．抛物线与 轴的交点坐标是 6．已知二次函数 ，当 时， 的最大值和最小值分别是（　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 7．已知二次函数的图象经过点 ，，，则这个二次函数的表达式为（　） A． B． C． D． 8．已知抛物线 ，当 时， 的取值范围是（　） A． B． C． D． 9．如图，抛物线 与直线 交于点 ，，则不等式 的解集是（　） A． B． C． D． 或 10．二次函数 （）的图象如图，它经过点 ，对称轴是直线 。下列结论：①；②；③；④。其中正确的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．抛物线 的顶点坐标是                        。 12．若二次函数 的最小值为 1，则 的值为                        。 13．抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，则 的面积为                        。 14．已知二次函数 （ 为常数），当 时， 的最小值为 1，则 的值为                        。 15．如图，某抛物线形拱桥的拱顶离水面 4 米时，水面宽 米。以水面所在直线为 轴、拱顶所在的竖直直线为 轴建立平面直角坐标系，当水面下降 1 米时，水面的宽度为                        米。 16．如图，用长 24 米的篱笆围成一个矩形花园 ，并在花园中间用篱笆 隔开（，点 在 上，点 在 上）。设 米，花园的面积为 平方米，则 的最大值为                        平方米。 三、解答题（共 52 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法把它化成 的形式，并写出它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （3）当 取何值时， 随 的增大而减小？ 18．已知二次函数的图象经过点 ，，且当 时函数有最小值 。 （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点 是否在该函数的图象上，并说明理由。 19．已知二次函数 。 （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）当 时，求 的最大值和最小值； （3）直接写出不等式 的解集。 20．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 。点 是抛物线在第四象限内的一点，其横坐标为 2，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 。 （1）求点 ，， 的坐标及直线 的表达式； （2）求线段 的长； （3）求 的面积。 21．某商品进价为每件 40 元，每天的销售量 （件）与售价 （元/件）满足 。 （1）设每天销售这种商品的利润为 元，求 与 之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若每天的利润不低于 1600 元，求售价 的取值范围。 22．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 。点 是直线 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交 轴于点 。设点 的横坐标为 。 （1）求点 ，， 的坐标和直线 的表达式； （2）用含 的式子表示线段 的长，并写出 的取值范围； （3）求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标。 23．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，对称轴为直线 。 （1）求抛物线的顶点 的坐标和对称轴 ； （2）点 是直线 上一点，若 是以 为底的等腰三角形，求点 的坐标； （3）过点 作直线 ， 与抛物线的另一个交点为 ，求点 的坐标及 的面积。 24．如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 。 （1）求点 的坐标和抛物线的对称轴； （2）点 是抛物线对称轴上一点，若 是直角三角形，求所有满足条件的点 的坐标； （3）点 是抛物线在第二象限内的一点（不与点 重合），若 ，求点 的坐标。 第五章 二次函数 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