第五章 二次函数(A卷) 单元测试AB卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第五章 二次函数(A卷) 单元测试AB卷 一、单选题 1．二次函数的图象经过点，则的值为(      ) A. B. C. D. 2．当x为何值时，二次函数中y随x的增大而减小(      ) A. B. C. D. 3．抛物线，，的图象开口最大的是(      ) A. B. C. D.无法确定 4．把抛物线向上平移3个单位长度可得到抛物线(      ) A. B. C. D. 5．将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是(      ) A. B. C. D. 6．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是(      ) A. B.或 C.且 D. 7．在同一坐标系中,画函数、、的图象,它们共同特点是(      ) A.开口向上 B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大 C.开口大小相同 D.都关于y轴对称的抛物线 8．若二次函数的图象经过三点,则a、b、c 的大小关系是(      ) A. B. C. D. 9．已知函数与函数的图象如图所示.若，则自变量x的取值范围是(      ) A. B.或 C. D.或 10．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是(      ) A.1或2 B.0或2 C.2 D.0 11．已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是(      ) A. B. C. D. 12．如图,已知开口向下的抛物线与x轴交于点,对称轴为直线.则下列结论： ①； ②； ③函数的最大值为； ④若关于x的方程无实数根,则. 正确的有(      ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 13．请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式__________. 14．把函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后图象的函数解析式为______________. 15．如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象上有点,,,则,,的大小关系是____________.（请用“”符号连接） 16．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________. 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为_____________. 三、解答题 18．已知：二次函数 (1)求证：无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点； (2)若图象经过原点,求二次函数的解析式. 19．汾阳市农业资源尤为丰富，“汾州小米”喜获国家地理标志产品认定.B旅游公司推出一款成本为128元的“汾州小米”礼盒，当每盒售价为198元时，每天可销售160盒.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒的售价每降低1元，每天销量可增加4盒. (1)求出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时公司每天的利润最大，最大为多少元？ 20．如图,已知抛物线经过、两点. (1)求b,c的值； (2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标,并结合图象,写出当时,x的取值范围. 21．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. （1）求AB的长； （2）求的面积. 22．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动.该二次函数图像与y轴交于点A.过点P作轴于点B. (1)当时，求点A和点B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点A的纵坐标的最小值. 参考答案 1．答案：A 解析：∵函数经过点， 当时，， 代入得：， 解得： 故选：A. 2．答案：C 解析：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 故选：C. 3．答案：A 解析：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴抛物线的开口最大， 4．答案：C 解析：由题知，把抛物线向上平移3个单位可得抛物线.故选C. 5．答案：B 解析： 顶点式为， 故选：B. 6．答案：B 解析：由函数图象可得,对称轴为直线,且抛物线与x轴的一个交点的坐标为, 抛物线与x轴的另一个交点坐标为, 函数开口向下, 当或时, , 不等式的解集是或, 故选：B. 7．答案：D 解析：的图像开口向上,对称轴为y轴,在对称轴右侧的抛物线,且y随x的增大而增大； 的图像开口向下,对称轴为y轴,故A选项错误,不符合题意； 在对称轴右侧的抛物线,且y随x的增大而减小,故B选项错误,不符合题意； , 三个抛物线开口大小不相同,故C选项错误,不符合题意； 的图像开口向上,对称轴为y轴,故D选项正确,符合题意； 故选：D. 8．答案：D 解析： 二次函数的对称轴为直线,抛物线开口向上, 时,y随x的增大而减小,时,y随x的增大而增大, 到3的距离为4,2到3的距离为1,4.5到3的距离为1.5, a、b、c的大小关系. 故选：D. 9．答案：C 解析：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是. 10．答案：D 解析：∵函数是关于x的二次函数，，，.故选D. 11．答案：C 解析：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， ∵， 即对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，， ∴二次函数的最小值为-3，任意非顶点的点满足； 点M到对称轴的距离， 点N到对称轴的距离， ∵， ∴，，且， ∴，即. 12．答案：A 解析：抛物线开口向下, , 抛物线交y轴于正半轴, , , , , 故①正确； , , 又抛物线与x轴交于点, , 即：, 代入,可得： , 故②正确； 抛物线与x轴交于点,其对称轴为直线, 根据轴对称的性质可得,抛物线与x轴另一个交点的横坐标为：, 抛物线与x轴交于点,, 可以假设抛物线的解析式为, 当时,y的值最大,最大值为,故③正确； 无实数根, 无实数根, ,, , 整理,得：, 解得：, 故④正确； 综上所述,正确的有：①②③④,共4个, 故选：A. 13．答案： 解析：∵当时，y随x的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 14．答案： 解析：函数的图象向右平移1个单位长度,得到 , 再向上平移2个单位长度,得到 . 故答案为 . 15．答案： 解析：二次函数的图象开口向下, , 二次函数的图象对称轴为直线,在函数图象上, 当时,y随着x的增大而增大,当时,y随着x的增大而减小,关于直线的对称点为,二次函数的图象上有点,,, , . 16．答案： 解析：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴由图象可得，不等式的解集是. 17．答案：10 解析：将代入，得，故，则直线BC为， ∵直线交抛物线于点B,C， 当时，，解得， ，，. 18．答案：(1)证明： 无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点； (2) 解析：(1)略 (2)把代入得,解得, 所以抛物线解析式为. 19．答案：(1) (2)15元，利润最大为12100元 解析：(1)设降价x元，则每天销量增加盒， 此时售价为元，销量为盒， ∴利润， ∴利润； (2)∵利润， 又∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，利润W最大. 利润最大为， 答：当降价为15元时，公司每天利润最大为12100元. 20．答案：(1) (2) 解析：(1)将,代入得：, 解得：, b,c的值分别为2,； (2)由(1)可知抛物线的解析式为, 当时,, 解得：, 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为, 由图象可知当时,. 21．答案：（1）4 （2）6 解析：（1）对于，当时，，解得或，，，. （2）对于，当时，点，，. 22．答案：(1)； (2) (3)的最小值为 解析：(1)∵， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点P作轴于点B ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与y轴交于点A， ∴， ∴. (2)∵， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点P作轴于点B， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与y轴交于点A， ∴， ∴； ∴， ∴. (3)∵点A在抛物线上且在y轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于m的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：. 学科网（北京）股份有限公司 $