5.3 二次函数的应用课堂同步分层训练卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

【5.3 二次函数的应用】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.3 二次函数的应用，覆盖二次函数的最值、图形面积最大问题、销售利润最大问题、抛物线形实物（拱桥、隧道、喷泉、铅球）建模等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．一个矩形的周长为 20 m，设它的一边长为 m，面积为 m2，则 S 与 x 的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2．某商品每件进价 40 元，售价为 元（）时每天可卖出 件，则每天销售这种商品的利润 （元）与 x 的函数关系式是（　） A． B． C． D． 3．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 P，则 的面积是（　） A．8 B．16 C．24 D．32 4．某运动员推铅球，铅球行进的高度 （m）与水平距离 （m）满足，则铅球的落地点到出手点的水平距离是（　） A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 5．如图，在 Rt△ABC 中，， cm， cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动。设运动时间为 s， 的面积为 cm2，则 S 最大时 t 的值是（　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 6．用一根长 60 cm 的铁丝围成一个矩形，若矩形的面积为 200 cm2，则矩形的一边长是（　） A．10 cm B．20 cm C．10 cm 或 20 cm D．15 cm 7．若二次函数 的最小值是 3，则 m 的值是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．当 时，二次函数 的最大值是（　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．某商品有两种促销方案，每天利润 （元）与降价 （元）分别满足 和 。若只考虑最大利润，应选择（　） A．方案一 B．方案二 C．两种方案一样 D．无法确定 10．一个小球被竖直向上抛出，小球离地面的高度 （m）与时间 （s）满足，则小球能达到的最大高度和落回地面的时间分别是（　） A．20 m，2 s B．20 m，4 s C．15 m，4 s D．25 m，5 s 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．抛物线 的顶点坐标是            ，当             时 y 取得最大值            。 12．一座抛物线形拱桥的跨度为 10 m，拱高为 5 m。以水面左端点 O 为原点、水面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的表达式是            。 13．某商店每天销售一种商品的利润 （元）与每件涨价 （元）满足，则每天的最大利润是            元。 14．把一根长 20 cm 的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形（铁丝无剩余），则这两个正方形的面积之和的最小值是             cm2，此时其中一段铁丝的长是             cm。 15．某喷泉的水柱路径满足 （ 为水柱上一点到喷头的水平距离， 为该点到水面的高度，单位：m），则水柱最高点距水面             m；水柱落回水面处到喷头的水平距离是             m。 16．某商品每天的利润 （元）与每件售价 （元）满足 。若物价部门规定每件售价不得超过 18 元，则每天的最大利润是            元。 三、解答题（共 46 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的最小值； （3）当 时，求 y 的最大值。 18．如图，某抛物线形拱桥的跨度为 8 m，拱顶距水面 4 m。以水面所在直线为 x 轴、拱桥的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系（O 为水面中点）。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求距桥中心线水平距离 2 m 处，拱桥内壁到水面的高度； （3）若水位上涨 1 m（水面上升 1 m），此时拱桥下的水面宽度是多少米？ 19．一块三角形铁片 ABC 的底边 dm，高 dm。要在这块铁片上裁出一个矩形 PQMN，使矩形的一边 QM 在 BC 上，另外两个顶点 P、N 分别在边 AB、AC 上。设 dm，矩形 PQMN 的面积为 dm2。 （1）求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）x 为何值时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 20．用长 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，并在菜园中间加一道与宽边平行的隔断（隔断也用篱笆）。设菜园的宽为 m，面积为 m2。 （1）求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 21．某广场的喷泉，水柱从喷头 A 喷出，水柱的路径是抛物线的一部分。以 A 为原点、水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系，水柱在距 A 水平 2 m 处达到最高点，最高点比 A 高 2 m。 （1）求水柱路径所在抛物线的表达式； （2）求距 A 水平 3 m 处水柱的高度； （3）若水池是半径为 3.5 m 的圆形，且 A 在池中心，水柱落回水面时是否会落到池外？请说明理由。 22．已知二次函数 （a 为常数）。 （1）用含 a 的式子表示它的顶点坐标； （2）若当 时，该函数的最小值为 1，求 a 的值； （3）当 时，求 时 y 的取值范围。 23．某商店销售一种文具，每件进价 20 元，售价 30 元时每天可卖出 200 件。售价每提高 1 元，每天少卖出 10 件。设每件售价为 元（ 为整数，且 ）。 （1）求每天利润 （元）与 x 的函数关系式； （2）每件售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少元？ （3）若每天利润不低于 2160 元，求售价 x 的取值范围。 24．如图，某隧道横断面是抛物线形，隧道路面宽 10 m，最高点距路面 5 m。以路面所在直线为 x 轴、隧道的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）一辆宽 4 m、高 4.5 m 的货车从隧道正中央通过，能否通过？请说明理由； （3）若货车的高度为 4.5 m，要使它能从隧道正中央通过，货车的宽度最大是多少米？ 5.3 二次函数的应用_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【5.3 二次函数的应用】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.3 二次函数的应用，覆盖二次函数的最值、图形面积最大问题、销售利润最大问题、抛物线形实物（拱桥、隧道、喷泉、铅球）建模等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．一个矩形的周长为 20 m，设它的一边长为 m，面积为 m2，则 S 与 x 的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 周长是 20 m，相邻两边之和为 10 m，所以另一边长为 m。 矩形的面积等于相邻两边之积，所以 。故选 A。 2．某商品每件进价 40 元，售价为 元（）时每天可卖出 件，则每天销售这种商品的利润 （元）与 x 的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 每天利润等于“每件的利润 × 每天的销量”。 每件的利润为 元，每天的销量为 件，所以 。故选 A。 3．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 P，则 的面积是（　） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 令 得 ，所以 ，，； 顶点 ，它到 x 轴的距离就是高 8。 所以 。故选 B。 4．某运动员推铅球，铅球行进的高度 （m）与水平距离 （m）满足，则铅球的落地点到出手点的水平距离是（　） A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 【答案】B 铅球落地时 ，即 。 两边同乘 得 ，即 ，所以 或 。 水平距离取正数，所以落地点到出手点的水平距离是 10 m。故选 B。 5．如图，在 Rt△ABC 中，， cm， cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动。设运动时间为 s， 的面积为 cm2，则 S 最大时 t 的值是（　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 运动 t s 后 cm， cm，所以 。 由 且 得 ， 在这个范围内， 所以当 时 S 取最大值 9。故选 C。 6．用一根长 60 cm 的铁丝围成一个矩形，若矩形的面积为 200 cm2，则矩形的一边长是（　） A．10 cm B．20 cm C．10 cm 或 20 cm D．15 cm 【答案】C 周长 60 cm，相邻两边之和为 30 cm，设一边长为 x cm，则 。 整理得 ，即 ，所以 或 。 两种情形的矩形其实是同一个矩形（长 20、宽 10），所以答案取“10 cm 或 20 cm”。故选 C。 7．若二次函数 的最小值是 3，则 m 的值是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C ，所以最小值是 。 由 得 。故选 C。 8．当 时，二次函数 的最大值是（　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B ，对称轴是直线 ，开口向下。 在 内，所以当 时 y 取最大值 4。 若区间不包含对称轴，就要比较两个端点，本题不需要。故选 B。 9．某商品有两种促销方案，每天利润 （元）与降价 （元）分别满足 和 。若只考虑最大利润，应选择（　） A．方案一 B．方案二 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】A 的最大值是 50（此时 ）， 的最大值是 48（此时 ）。 因为 ，所以只考虑最大利润时应选方案一。故选 A。 10．一个小球被竖直向上抛出，小球离地面的高度 （m）与时间 （s）满足，则小球能达到的最大高度和落回地面的时间分别是（　） A．20 m，2 s B．20 m，4 s C．15 m，4 s D．25 m，5 s 【答案】B ，所以 s 时 h 最大，最大高度为 20 m。 落地时 ，即 ，，得 （抛出时刻）或 。 取 ，所以落回地面的时间是 4 s。故选 B。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．抛物线 的顶点坐标是            ，当             时 y 取得最大值            。 【答案】；1；3 解析式已经是顶点式 ，所以顶点为 ，对称轴是直线 。 又 ，开口向下，所以当 时 y 取得最大值 3。 12．一座抛物线形拱桥的跨度为 10 m，拱高为 5 m。以水面左端点 O 为原点、水面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的表达式是            。 【答案】（也写成 ） 跨度 10 m，所以左端点为 ，右端点为 ，顶点是 。 设 ，把 代入得 ，。 所以 ，展开得 。 13．某商店每天销售一种商品的利润 （元）与每件涨价 （元）满足，则每天的最大利润是            元。 【答案】1680 ， 所以当 时 w 取最大值 1680，即每天的最大利润是 1680 元。 14．把一根长 20 cm 的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形（铁丝无剩余），则这两个正方形的面积之和的最小值是             cm2，此时其中一段铁丝的长是             cm。 【答案】；10 设其中一段铁丝的长为 cm，则围成的正方形边长为 cm；另一段为 cm， 边长为 cm。面积之和 ， 所以面积之和的最小值是 cm2（即 12.5 cm2），此时 ，两段铁丝都是 10 cm。 15．某喷泉的水柱路径满足 （ 为水柱上一点到喷头的水平距离， 为该点到水面的高度，单位：m），则水柱最高点距水面             m；水柱落回水面处到喷头的水平距离是             m。 【答案】3； 顶点为 ，所以水柱最高点距水面 3 m。 令 得 ，即 ，所以 。 水平距离取正数，故落水点到喷头的水平距离是 m（约 4.4 m）。 16．某商品每天的利润 （元）与每件售价 （元）满足 。若物价部门规定每件售价不得超过 18 元，则每天的最大利润是            元。 【答案】192 ，对称轴是 ，开口向下。 因为售价不超过 18 元，即 ，所以 w 在 上随 x 的增大而增大， 当 时 w 最大，（元）。 本题的顶点取不到，不能直接答 200。 三、解答题（共 46 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的最小值； （3）当 时，求 y 的最大值。 【答案】（1），顶点 ，对称轴是直线 ；（2）1；（3）5 （1），所以顶点为 ，对称轴是直线 。 （2）因为 ，开口向上，顶点是最低点，所以当 时 y 取最小值 1。 （3）当 时 ；当 时 。又最小值 1 在区间内取到，但问的是最大值，所以 y 的最大值是 5。 18．如图，某抛物线形拱桥的跨度为 8 m，拱顶距水面 4 m。以水面所在直线为 x 轴、拱桥的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系（O 为水面中点）。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求距桥中心线水平距离 2 m 处，拱桥内壁到水面的高度； （3）若水位上涨 1 m（水面上升 1 m），此时拱桥下的水面宽度是多少米？ 【答案】（1）；（2）3 m；（3） m（约 6.9 m） （1）顶点为 ，设 ；又 在图象上，得 ，，即 。 （2）当 时，，即拱桥内壁距水面 3 m。 （3）水位上涨 1 m 后，水面在直线 处。令 ，得 ，， 所以水面宽度为 m，约为 6.9 m。 19．一块三角形铁片 ABC 的底边 dm，高 dm。要在这块铁片上裁出一个矩形 PQMN，使矩形的一边 QM 在 BC 上，另外两个顶点 P、N 分别在边 AB、AC 上。设 dm，矩形 PQMN 的面积为 dm2。 （1）求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）x 为何值时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）（）；（2） 时面积最大，最大面积是 24 dm2 （1）设矩形的高为 h。因为 ，所以 ， 故 ，即 ，解得 。 所以 ，且 。 （2），故当 时 S 取最大值 24，即最大面积为 24 dm2。 20．用长 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，并在菜园中间加一道与宽边平行的隔断（隔断也用篱笆）。设菜园的宽为 m，面积为 m2。 （1）求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）（）；（2） 时面积最大，最大面积是 54 m2 （1）篱笆包括两条长、三条宽（两条宽边加一道隔断），故 ，即长为 m， 所以 ；由 且 得 。 （2），故当 时 S 取最大值，最大面积为 54 m2（此时长为 9 m）。 21．某广场的喷泉，水柱从喷头 A 喷出，水柱的路径是抛物线的一部分。以 A 为原点、水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系，水柱在距 A 水平 2 m 处达到最高点，最高点比 A 高 2 m。 （1）求水柱路径所在抛物线的表达式； （2）求距 A 水平 3 m 处水柱的高度； （3）若水池是半径为 3.5 m 的圆形，且 A 在池中心，水柱落回水面时是否会落到池外？请说明理由。 【答案】（1）；（2）1.5 m；（3）会落到池外，理由见解析 （1）顶点为 ，设 ；水柱从 A 喷出即过原点 ，得 ，， 所以 。 （2）当 时，，即水柱高 1.5 m。 （3）令 得 ， 或 （起点），落水点距 A 4 m，大于池半径 3.5 m，故落到池外。 22．已知二次函数 （a 为常数）。 （1）用含 a 的式子表示它的顶点坐标； （2）若当 时，该函数的最小值为 1，求 a 的值； （3）当 时，求 时 y 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） （1），所以顶点为 。 （2）①当 时，函数在区间上递增，最小值 ，得 或 （ 不合 ，舍去）； ②当 时，最小值为 ，不可能等于 1，此种情况不成立； ③当 时，函数在区间上递减，最小值 ，得 或 （ 不合 ，舍去）。 综上， 或 。 （3）当 时 。在 上， 时得最小值 ， 时得最大值 6，故 。 23．某商店销售一种文具，每件进价 20 元，售价 30 元时每天可卖出 200 件。售价每提高 1 元，每天少卖出 10 件。设每件售价为 元（ 为整数，且 ）。 （1）求每天利润 （元）与 x 的函数关系式； （2）每件售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少元？ （3）若每天利润不低于 2160 元，求售价 x 的取值范围。 【答案】（1）；（2），最大利润 2250 元；（3）（x 为整数） （1）售价提高 元，销量为 件，每件利润为 元， 所以 。 （2），故 时 w 取最大值 2250 元。 （3）由 得 ，即 ， 因式分解得 ；又 ，故 （x 为整数）。 24．如图，某隧道横断面是抛物线形，隧道路面宽 10 m，最高点距路面 5 m。以路面所在直线为 x 轴、隧道的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）一辆宽 4 m、高 4.5 m 的货车从隧道正中央通过，能否通过？请说明理由； （3）若货车的高度为 4.5 m，要使它能从隧道正中央通过，货车的宽度最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）不能通过，理由见解析；（3） m（约 3.2 m） （1）顶点为 ，设 ； 在图象上，得 ，，即 。 （2）车宽 4 m 且走正中央，车顶两角在 和 处。当 时 ， 因为 ，隧道内壁高度不够，所以不能通过。 （3）设货车宽为 米，需 ，即 ，， 故最大宽度 m，约为 3.2 m。 5.3 二次函数的应用_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $