5.3二次函数的应用（分层作业，9大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.3 二次函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 拱桥、隧道、抛物线型类 题型02 销售最值类 题型03 运动轨迹类 题型04 用待定系数法求二次函数的表达式 B组 能力进阶 题型01 增长率问题 题型02 减速刹车类 题型03 与二次函数有关的图象分析问题 C组 思维拔高 题型01 几何图形类 题型02 创新考法 拱桥、隧道、抛物线型类题型01 1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为　　 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东惠州·学情诊断）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 3．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于。图中的平面直角坐标系解答下列问题： （1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由． （2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由． 4．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)请在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)求该抛物线的函数表达式； (3)如果该隧道内设双向行车道，一大型货运汽车装载某大型设备后，高为，宽为，那么这辆货车能否安全通过？为什么？ 5．【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 销售最值类题型02 1．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润（元）与销售单价（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价应为（   ） A．15元 B．10元 C．25元 D．30元 2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？ 3．（24-25九年级上·江苏南通·月考）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 4．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为 W 元． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530元，试求出 a 的值． 运动轨迹类题型03 1．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 3．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 4．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴； (2)小球在斜坡上的落点为，求点的坐标； (3)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (4)直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 5．（25-26九年级·期末）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），直接写出的取值范围． 用待定系数法求二次函数的表达式题型04 1．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ）    A． B． C． D． 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级·山西大同·期中）如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 增长率问题题型01 1．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建·月考）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 3．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为(    ) A． B． C． D． 4．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 5．在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量（吨与月份（月之间的函数关系是． (1)随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润（万元）与月份（月的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ (2)受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求的值（精确到个位）．（参考数据：，，，）． 减速刹车类题型02 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 2．（2025·青海西宁·模拟）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 3．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表： 车速v（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离s（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 (1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)由图表中的信息可知： ①该型汽车车速越大，刹车距离越　　　　（填“大”或“小”）； ②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为　　　　km/h； (3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过　　　　m． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．    素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 5．深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line 16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运站至田心站）． 数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？ 为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题． (1)【建立模型】 ①收集数据： t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 … s（米） 400 324 256 196 144 100 64 36 … ②绘制图象： 在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接． ③猜想模型： 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．（请填写选项） A．一次   B．二次   C．反比例 ④求解析式： 请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）． ⑤验证结论： 将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们 满足该函数解析式．（填“都”或“不都”） (2)【问题解决】 地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下． (3)【拓展应用】 已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下： 进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒； 停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）； 出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒． 数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是 米． 与二次函数有关的图象分析问题题型03 1．已知矩形的长为，宽为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（　　） A．5米 B．25米 C．100米 D．120米 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 4．（24-25九年级上·天津·期末）如图①所示，矩形窗框的周长及其两条隔断，的总长为m米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行．设的长为x米，矩形的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②． (1)由图②可知，当　 　米时，矩形的面积最大，最大值是　 　平方米； (2)求y与x之间的函数解析式并写出自变量取值范围； (3)求m的值． 5．某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    几何图形类题型01 1．如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______． 3．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 4．（24-25九年级上·安徽·联考）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形加固门（矩形），该加固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形加固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 5．问题情境： “综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图1所示 （1）的度数为____________； （2）若，求的最大值； 拓展应用： （3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积． 创新考法题型02 1．（25-26九年级上·甘肃·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 3．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）． (1)请直接写出k1、k2和b的值； (2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值； (3)若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值． 4．赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航、途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 5．（24-25九年级上·浙江·质检）如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 二次函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 拱桥、隧道、抛物线型类 题型02 销售最值类 题型03 运动轨迹类 题型04 用待定系数法求二次函数的表达式 B组 能力进阶 题型01 增长率问题 题型02 减速刹车类 题型03 与二次函数有关的图象分析问题 C组 思维拔高 题型01 几何图形类 题型02 创新考法 拱桥、隧道、抛物线型类题型01 1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线方程得：， 即水面到桥拱顶点的距离为16米． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键． 2．（25-26九年级上·广东惠州·学情诊断）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 3．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于。图中的平面直角坐标系解答下列问题： （1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由． （2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由． 【答案】(1)巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 设大孔所在的抛物线的解析式为， 由题意得，， ， ， 大孔所在的抛物线的解析式为， 当时，， 该巡逻船能安全通过大孔； （2）小船不能安全通过小孔，理由如下： 建立如图所示的平面直角坐标系， 设小孔所在的抛物线的解析式为， 由题意得，， ， ， 小孔所在的抛物线的解析式为， 当时，， 小船不能安全通过小孔． 【分析】（1）设大孔所在的抛物线的解析式为，求得大孔所在的抛物线的解析式为，当时，得到，于是得到结论； （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设小孔所在的抛物线的解析式为，求得小孔所在的抛物线的解析式为，当时，得到，于是得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数图象上点的坐标特征，结合函数图象及二次函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次方程是解题的关键． 4．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)请在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)求该抛物线的函数表达式； (3)如果该隧道内设双向行车道，一大型货运汽车装载某大型设备后，高为，宽为，那么这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图： (2)； (3) 解：大货车可以安全通过，理由如下：         隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道， ∴当时，， ∴这辆大货车能安全通过这个隧道． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，建立平面直角坐标系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可； （2）设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可； （3）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：设函数表达式为， 根据题意，得点的坐标为，， 代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：； （3）略 5．【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 【答案】(1)①；②；③63m (2)不超过6分钟 (3)光源应放在和之间 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． （2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． （3） 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 销售最值类题型02 1．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润（元）与销售单价（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价应为（   ） A．15元 B．10元 C．25元 D．30元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，函数为开口向下的抛物线，最大值在顶点处取得，利用顶点坐标公式求解即可 【详解】解： 是二次函数，且 ， ∴ 抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标 ， ∴ 当 时， 取得最大值， 故选A． 2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？ 【答案】定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元. 【分析】设所获利润为元，每件降价元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设所获利润为元，每件降价元 则降价后的每件利润为元，每星期销量为件 由利润公式得： 整理得： 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 故当时，y取得最大值，最大值为6125元 即定价为：元时，所获利润最大，最大利润为6125元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，依据题意正确得出函数的关系式是解题关键. 3．（24-25九年级上·江苏南通·月考）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 【分析】（）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式； （）根据利润销售量单件利润，然后将（）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润； 此题主要考查了二次函数，一次函数等知识点的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型利用函数的增减性得出最值是解题的关键． 【详解】（1）设，将、代入， 得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）由题意得： ， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 4．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元． 【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得； （2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设每件衬衫应降价x元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则 由题意得： 由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w有最大值为2500元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键. 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为 W 元． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)若在销售过程中每一件商品有元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530元，试求出 a 的值． 【答案】(1) (2)当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． （1）由题意得y与x的函数关系式即可； （2）由题意得与的解析式为：，即可求解； （3）由题意得：，函数的对称轴为直线，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）由题意得： y与x的函数关系式为：； （2）由题意得：， ， 当时，有最大值3125， ， 当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元； （3）由题意得：， 函数的对称轴为直线， ， ， 当售价每件不高于67元， ， ，在对称轴左侧，随x增大而增大， 当时，W有最大值，为2530，此时对称轴为直线， ， 解得：， ． 运动轨迹类题型03 1．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的最大高度是． 故选：C． 2．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 4．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴； (2)小球在斜坡上的落点为，求点的坐标； (3)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (4)直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 【答案】(1)； (2) (3) 解：小球能飞过这棵树，理由如下： 当时， 对于，， 对于，， ， ∴小球能飞过这棵树； (4) 【分析】（1）把点代入，求出b的值，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）联立得：，即可求解； （3）把分别代入，和，即可求解； （4）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； （3）略 （4）解：根据题意得：小球在飞行的过程中离斜坡的距离为 ， ∵， ∴小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 5．（25-26九年级·期末）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），直接写出的取值范围． 【答案】(1)上边缘抛物线的函数表达式为，喷水的最大射程米； (2)； (3)． 【分析】（1）根据上边缘抛物线顶点坐标，设其顶点式．代入喷水口求出参数，得到函数表达式．令求解方程，得到与轴正半轴交点的坐标，确定最大射程． （2）过作轴，交上边缘抛物线于．令代入上边缘抛物线解析式，求出的坐标，得到平移距离．根据平移距离写出下边缘抛物线解析式，再令求出与轴正半轴交点的坐标． （3）明确矩形各顶点坐标：，，，．为保证矩形在两条抛物线所夹区域内，需满足点横坐标不大于（即在左侧或重合），且点在上边缘抛物线上或其下方．分别将代入上边缘抛物线、结合点坐标约束，求出的临界值，确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵上边缘抛物线顶点为， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴代入得得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得（舍去负根） ∴， ∴喷水的最大射程米； （2）解：过点作轴交上边缘抛物线于， ∵上边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移距离为个单位， ∴下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移个单位得到， ∴下边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得（舍去负根）， ∴下边缘抛物线与轴正半轴交点的坐标为； （3）解：∵矩形顶点为，，，， ∵矩形需位于两条抛物线所夹区域内， ∴点横坐标， 把代入上边缘抛物线得 ， 解得（舍去负根）， 把代入下边缘抛物线得， 解得（舍去负根）， ∵且， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、抛物线的平移规律、函数与方程的关系、不等式的取值范围确定，熟练掌握二次函数的顶点式、平移法则以及利用函数表达式求点坐标是解题的关键． 用待定系数法求二次函数的表达式题型04 1．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知C(0,0)，且过点(2,3)，设该抛物线的解析式为y=ax2，将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式. 【详解】根据题意，得 该抛物线的顶点坐标为C(0,0)，经过点(2,3). 设该抛物线的解析式为y=ax2. 3=a22. a=. 该抛物线的解析式为y=x2. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键. 2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 3．（24-25九年级·山西大同·期中）如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得，得到抛物线的轴对称为直线，设该抛物线表达式为，把代入得到，于是得到结论． 【详解】解：根据题意得， ∴抛物线的轴对称为直线， 设该抛物线表达式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线表达式为， 即该抛物线表达式为， 故选：A． 4．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 增长率问题题型01 1．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（25-26九年级上·福建·月考）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 3．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加， 为， 则列出的方程是． 故选D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 4．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量（吨与月份（月之间的函数关系是． (1)随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润（万元）与月份（月的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ (2)受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求的值（精确到个位）．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)5月份的利润最大，最大月利润是万元； (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．这类题目我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）根据图象可以知道利润（万元）与月份是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润与的函数关系，再得到与的函数关系，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加． 【详解】（1）解：设月利润为， 根据图象知道当，， 当，， 设， 故， 解得：， 则； 由题意得 ， ， 当时，最大，最大值为； 月份的利润最大，最大月利润是万元； （2）解：该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降， 而当时，， 月份的二氧化碳排放量为， 7月份的二氧化碳排放量为， 5月份的利润为4000万元， 月份的利润为， 7月份的利润为， ， ． 减速刹车类题型02 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 2．（2025·青海西宁·模拟）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车___________有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】不会 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 3．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表： 车速v（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离s（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 (1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)由图表中的信息可知： ①该型汽车车速越大，刹车距离越　　　　（填“大”或“小”）； ②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为　　　　km/h； (3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过　　　　m． 【答案】(1) 如图所示： (2)① 大；② 100； (3)158.4 【分析】（1）依题意描点连线即可． （2）①从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大，据此解答即可；从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h； （3）从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m， 据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）①从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大， ∴该型汽车车速越大，刹车距离越大； ②从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h； 故答案为：① 大；② 100； （3）从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m， ∴该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过158.4m． 故答案为：158.4 【点睛】本题考查从函数中获取信息．此题为数学建模题，借助函数图像解决实际问题． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．    素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：不会撞到障碍物 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】解：任务一：将、代入 得：， 解得： 关于的函数解析式为， 任务二：不会 ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 5．深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line 16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运站至田心站）． 数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？ 为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题． (1)【建立模型】 ①收集数据： t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 … s（米） 400 324 256 196 144 100 64 36 … ②绘制图象： 在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接． ③猜想模型： 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．（请填写选项） A．一次   B．二次   C．反比例 ④求解析式： 请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）． ⑤验证结论： 将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们 满足该函数解析式．（填“都”或“不都”） (2)【问题解决】 地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下． (3)【拓展应用】 已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下： 进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒； 停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）； 出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒． 数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的长度是 米． 【答案】(1)③B，④，⑤都 (2)40 (3) 【分析】（1）③根据图象可判断是二次函数； ④利用待定系数法求出二次函数解析式； ⑤把其他数值代入进行验证即可； （2）把代入可得t的值， （3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；当时，，可得此时站内长度为：（米），在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为，可得当时，，从而可得答案． 【详解】（1）解：③根据图象可得：观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象． 故选B； ④设函数为，把，，代入可得： ，解得：， ∴； ⑤当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：都 （2）∵， ∴； ∴地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下； 故答案为：40 （3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒； ∴当时，， ∴此时站内长度为：（米）， ∵在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为， ∴当时，， ∴整个站的长度为：（米）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 与二次函数有关的图象分析问题题型03 1．已知矩形的长为，宽为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是根据实际意义确定自变量的取值范围． 根据矩形面积公式即可求出与之间的函数关系式，其中． 【详解】解：由题意得：， ∴能表示与之间函数关系的是选项C． 故选：C． 2．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（　　） A．5米 B．25米 C．100米 D．120米 【答案】D 【分析】设，再利用待定系数法求解函数解析式，再把代入函数解析式计算下落的距离，从而可得答案． 【详解】解：∵下落距离s与下落时间t的平方成正比， ∴设， 当时，， ∴，解得：， ∴， 当时，则， 此时距离地面的高度为（米）． 故选D． 【点睛】本题考查的是正比例的含义，二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·天津·期末）如图①所示，矩形窗框的周长及其两条隔断，的总长为m米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行．设的长为x米，矩形的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②． (1)由图②可知，当　 　米时，矩形的面积最大，最大值是　 　平方米； (2)求y与x之间的函数解析式并写出自变量取值范围； (3)求m的值． 【答案】(1)2，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由图②可知，函数图象最高点为，进而即可得解， （2）设二次函数解析式为，将代入，即可得到解析式，再由图②即可知自变量的取值范围； （3）由（2）知，当时，y有最大值4，进而即可得的长，再计算其总长即可得解． 掌握待定系数法，能根据横纵坐标是实际意义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象可知抛物线最高点为，过原点， ∴当米时，矩形的面积最大，最大值是4平方米， 故答案为：2，4； （2）解：设二次函数解析式为， 由图象过原点得， 解得， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， 又∵图象经过原点， ∴图象与x轴的另一交点为， ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，y有最大值4， ∴， ∴ ． 5．某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    【答案】(1) (2) 描点并作图如图所示：    (3)①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于） 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键． （1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可； （2）将表格中数据对描点并连线即可； （3）①根据图象作答即可； ②时对应的值即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）略； （3）①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大； ②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低． 故答案为：，． 几何图形类题型01 1．如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况求出解析式，即可求解． 【详解】解：当0≤t≤1时，， ∴该图象y随x的增大而减小， 当1＜t≤2时，， ∴该图象开口向下， 当2＜t≤3，， ∴该图象开口向下， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键． 2．如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______． 【答案】或4厘米 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意设，列出二次函数表达式并求出最大值时自变量取值即可． 【详解】解：设， ，， ， ， ， 当时，的面积最大， 即当的面积最大时，的值为， 故答案为：． 3．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，花圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，花圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 4．（24-25九年级上·安徽·联考）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形加固门（矩形），该加固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形加固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)能安全通行 (3)2600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出当时，，即可得解； （3）设点的横坐标为，的长度为，则，由二次函数的对称性得出，即，，表示出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线， ∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区， ∴当时，， 该货车能安全通行； （3）解：， 设点的横坐标为，的长度为，则， 对称轴为直线，则，即，， ， 当，最大，， （元）， 答：最多需要花费2600元． 5．问题情境： “综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图1所示 （1）的度数为____________； （2）若，求的最大值； 拓展应用： （3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答． （2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答． （3）分两种情况补充图形，当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，易得,由勾股定理可知,解得：, 设,则,代入相似得到的比例式即可求解，从而得到面积；当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接，同理可求解. 【详解】解：（1）如图： ∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）设则设， ∵折叠 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值， 把代入，得出； ∴的最大值为 （3）分两种情况： 当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接 由折叠情景，得出， 易得, 则有, 由勾股定理可知, ∴, 解得：, 设,则, ∴， 解得： ∴ 当以为矩形的一边，补充矩形如下图，将折叠到的位置，折叠到的位置，连接， 由折叠情景，得出， 易得, 则有, 同（1）可得：, 设，则, ， 解得： ∴ 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 创新考法题型02 1．（25-26九年级上·甘肃·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R和t为常数，且均大于0，即可求解． 【详解】解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 2．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 3．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）． (1)请直接写出k1、k2和b的值； (2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值； (3)若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值． 【答案】（1）k2=20，b=6000（2）W取最大值为32500元；（3）当x=900时，W取得最小值27900元． 【分析】（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b． （2）分0≤x<600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案； （3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得． 【详解】解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30； 将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：， 解得：； （2）当0≤x＜600时， W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000， ∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500， ∴当x=500时，W取得最大值为32500元； 当600≤x≤1000时， W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000， ∵﹣0.01＜0， ∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小， ∴当x=600时，W取最大值为32400， ∵32400＜32500， ∴W取最大值为32500元； （3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900， 由x≥700， 则700≤x≤900， ∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小， ∴当x=900时，W取得最小值27900元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求最值，利用配方法求二次函数的最值. 4．赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航、途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． （1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）解：设，把代入，得，解得， ． 当时，． 当时，该龙舟划行的总路程为； （3）解：由（1）可知，把代入，得． 函数表达式为， 把代入，解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练总路程所需时间为． 5．（24-25九年级上·浙江·质检）如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 【答案】（1）；（2）6米；（3）俯角α至少15度 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，一次函数，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 任务1：建立平面直角坐标系，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点代入求解即可； 任务2：建立平面直角坐标系，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可得到答案； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系，进而得出，，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将，代入，求出的值即可． 【详解】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， ， 设滑道所在抛物线的函数表达式为， 则，解得：， 滑道所在抛物线的函数表达式为； 任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，即， 运动员到达最高处时与点的水平距离为； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系， 落点Q在底面下方竖直距离， 把代入，得， 解得：， , ，，， ， ， 设与的函数解析式为， 由图象可知，， 解得：， ， ， 设射线的解析式为，即， 把，代入得：， 解得：， 答：俯角α至少15度． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $