第五章二次函数专项综合（专项1线段面积+专项2存在性+专项3图像信息）课堂同步分层训练卷2026-2027学年九年级数学上册北师大版

【第五章二次函数专项综合（专项1线段面积+专项2存在性+专项3图像信息）】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二次函数专项综合，共三个专项：专项 1 二次函数背景下的线段最值、周长最值与图形面积最值；专项 2 动点背景下的等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性问题；专项 3 二次函数图象信息、系数符号判断、函数值大小比较以及图象与方程、不等式的综合。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．二次函数 的图象与 x 轴的交点个数是（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为（　） A． B． C． D． 3．已知二次函数 ，当 x 分别取 、、 时，对应的函数值分别为 、、，则 、、 的大小关系是（　） A． B． C． D． 4．如图，二次函数的图象的顶点为 ，与 y 轴交于点 ，且与 x 轴有两个交点。下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 5．已知点 、、，若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标不可能是（　） A． B． C． D． 6．已知点 、，以 AB 为一边在 x 轴上方作正方形 ABCD，则点 C 的坐标为（　） A． B． C． D． 7．已知二次函数 ，若直线 与该函数的图象有两个不同的公共点，则 k 的取值范围是（　） A． B． C． D． 8．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在该抛物线上，若 的面积为 3，则满足条件的点 P 有（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上一点。当 的值最小时，点 P 的坐标是（　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 、，与 y 轴交于点 。有下列四个结论：①；②；③当 时，y 随 x 的增大而减小；④。其中正确的结论有（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在抛物线上，且 ，则点 P 的坐标为             。 12．将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式为             。 13．已知二次函数 中，x 与 y 的部分对应值如下：当 时 ；当 时 ；当 时 。则该函数图象的对称轴是直线             。 14．已知抛物线 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D，则四边形 ABDC 的面积为             。 15．已知二次函数 ，当 时，y 的取值范围是             。 16．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 P。若 的面积为 8，则 m 的值为             。 三、解答题（共 46 分） 17．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）求 的面积； （3）点 E 在抛物线上，且点 E 的纵坐标为 3，求点 E 的坐标。 18．如图，抛物线 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），过点 P 作 轴，交线段 BC 于点 D。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）设点 P 的横坐标为 m，用含 m 的式子表示线段 PD 的长，并求 PD 的最大值； （3）当 PD 取最大值时，求 的面积。 19．如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧）。点 P 是 y 轴上的一个动点，若 是等腰三角形，求点 P 的坐标（可在图中先标出各点的位置）。 （1）求点 A、B 的坐标及线段 AB 的长； （2）若 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 20．已知抛物线 与直线 交于点 A、B。 （1）求点 A、B 的坐标； （2）当 x 取何值时，抛物线的函数值小于直线的函数值？ （3）将抛物线向上平移 m 个单位长度后与直线只有一个公共点，求 m 的值。 21．已知抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），点 P 是抛物线对称轴上一点。 （1）求点 A、B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若 是直角三角形，求点 P 的坐标； （3）若 是等边三角形，求点 P 的坐标。 22．如图，抛物线 与 x 轴分别交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求顶点 D 的坐标及直线 BC 的解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在 x 轴上，若以 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。 23．已知抛物线 与 x 轴分别交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； （2）点 Q 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），求 面积的最大值及此时点 Q 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一点，若 的面积等于 10，求点 M 的坐标。 24．已知二次函数 （m 为常数）。 （1）用含 m 的式子表示图象的顶点坐标，并说明顶点在哪一条直线上； （2）若图象与 x 轴两交点间的距离为 4，求 m 的值； （3）当 时，直接写出 时 x 的取值范围。 第五章二次函数专项综合　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第五章二次函数专项综合（专项1线段面积+专项2存在性+专项3图像信息）】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二次函数专项综合，共三个专项：专项 1 二次函数背景下的线段最值、周长最值与图形面积最值；专项 2 动点背景下的等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性问题；专项 3 二次函数图象信息、系数符号判断、函数值大小比较以及图象与方程、不等式的综合。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．二次函数 的图象与 x 轴的交点个数是（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】A 令 得 ，， 所以方程没有实数根，即图象与 x 轴没有交点，交点个数为 0。故选 A。 2．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为（　） A． B． C． D． 【答案】B 令 得 ，即 ，所以 或 。 不妨设 、，则 。故选 B。 3．已知二次函数 ，当 x 分别取 、、 时，对应的函数值分别为 、、，则 、、 的大小关系是（　） A． B． C． D． 【答案】B ，对称轴为直线 ，开口向上。 代入计算：，，。 所以 。故选 B。 4．如图，二次函数的图象的顶点为 ，与 y 轴交于点 ，且与 x 轴有两个交点。下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 由图象开口向上得 ；由对称轴 得 ；由与 y 轴交于 得 。 所以 不成立，即 ，A 错误。 图象与 x 轴有两个交点，所以 ，B、C 均错误。 点 P 的横坐标为 1，故 就是 时的函数值，即顶点的纵坐标 ，D 正确。故选 D。 5．已知点 、、，若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标不可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 分三种情况讨论（用“对角线互相平分”，即两条对角线中点的坐标相同）： ①若 BC 为对角线，则 ； ②若 AB 为对角线，则 ； ③若 AC 为对角线，则 。 所以点 D 的坐标可能是 、、，不可能是 。故选 C。 6．已知点 、，以 AB 为一边在 x 轴上方作正方形 ABCD，则点 C 的坐标为（　） A． B． C． D． 【答案】C ，所以正方形的边长为 4。 因为 且 ，点 C 在点 B 的正上方，所以 ，即 。故选 C。 7．已知二次函数 ，若直线 与该函数的图象有两个不同的公共点，则 k 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D ，图象开口向下，顶点为 ，函数的最大值为 。 直线 与图象有两个不同公共点，等价于方程 有两个不相等的实数根。 由 得 。故选 D。 8．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在该抛物线上，若 的面积为 3，则满足条件的点 P 有（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 令 得 ， 或 ，所以 、，。 设 ，则 ，所以 或 。 当 时，，即 ， 或 ，得 2 个点； 当 时，，，无解。 所以满足条件的点 P 有 2 个。故选 B。 9．抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上一点。当 的值最小时，点 P 的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】A 令 得 ， 或 ，所以 、；令 得 。 对称轴为直线 。点 B 在对称轴右侧、点 C 在对称轴左侧，所以当点 P 落在线段 BC 上时 最小， 最小值为 。 设直线 BC 为 ，代入 、 得 ；当 时 。 所以 。故选 A。 10．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 、，与 y 轴交于点 。有下列四个结论：①；②；③当 时，y 随 x 的增大而减小；④。其中正确的结论有（　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 由图象过 、 可设 ； 又过 ，得 ，所以 ，，其中 ，。 ①，正确； ② 就是 时的函数值 ，正确； ③对称轴为直线 且开口向上，所以当 时 y 随 x 的增大而减小，正确； ④ 就是 时的函数值 ，不是正数，错误。 所以正确的结论有 3 个。故选 C。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 在抛物线上，且 ，则点 P 的坐标为             。 【答案】 令 得 ， 或 ，所以 、，线段 AB 的垂直平分线是直线 。 由 知点 P 在 AB 的垂直平分线上，即点 P 在抛物线的对称轴上，所以 P 是抛物线的顶点。 因为 ，所以 。 12．将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式为             。 【答案】 ，顶点为 。 向左平移 2 个单位后顶点变为 ，解析式为 ； 再向上平移 1 个单位后顶点变为 ，解析式为 。 13．已知二次函数 中，x 与 y 的部分对应值如下：当 时 ；当 时 ；当 时 。则该函数图象的对称轴是直线             。 【答案】 由表中数据知，当 与 时函数值都为 0，即点 与 都在图象上且纵坐标相同。 这两个点关于对称轴对称，所以对称轴为直线 ，即直线 。 14．已知抛物线 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D，则四边形 ABDC 的面积为             。 【答案】 令 得 ，即 ，所以 、，； 令 得 ；又 ，所以 。 。 过 D 作 轴于 ，则 。 所以四边形 ABDC 的面积为 。 15．已知二次函数 ，当 时，y 的取值范围是             。 【答案】 ，图象开口向下，对称轴为直线 。 在 上，y 随 x 的增大而减小，所以 时 y 取最大值 6； 时 ，为最小值。故 。 16．已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 P。若 的面积为 8，则 m 的值为             。 【答案】 ，所以顶点 ，点 P 到 x 轴的距离为 。 因为图象开口向下且与 x 轴有两个交点，所以 。 令 得 ，，。 所以 ， 得 ，即 （此时 ，，，符合要求）。 三、解答题（共 46 分） 17．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）求 的面积； （3）点 E 在抛物线上，且点 E 的纵坐标为 3，求点 E 的坐标。 【答案】（1）对称轴为直线 ，顶点为 ；（2）；（3）（另一点为 ） （1），所以对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 （2）令 得 ，即 ，， 所以 、，；令 得 ，。 所以 。 （3）令 得 ，整理得 ，解得 或 。 时对应的点是 ； 时 。所以 。 18．如图，抛物线 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），过点 P 作 轴，交线段 BC 于点 D。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）设点 P 的横坐标为 m，用含 m 的式子表示线段 PD 的长，并求 PD 的最大值； （3）当 PD 取最大值时，求 的面积。 【答案】（1）；（2）（），最大值为 ；（3） （1）由 (2) 知 、。设直线 BC 为 ，代入得 ，，， 所以直线 BC 为 。 （2）因为 、，且 ，所以 。 因为 ，所以当 时 PD 取最大值 。 （3）当 时 。把 沿铅垂线段 PD 分成两个三角形， 它们的底都是 PD，高的和等于 B、C 的横坐标之差 3， 所以 。 19．如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧）。点 P 是 y 轴上的一个动点，若 是等腰三角形，求点 P 的坐标（可在图中先标出各点的位置）。 （1）求点 A、B 的坐标及线段 AB 的长； （2）若 是等腰三角形，求点 P 的坐标。 【答案】（1）、，；（2）、、、 （1）令 得 ，即 ，所以 、，。 （2）设 ，则 ，，分三种情况： ①若 ，则 ，得 ，不成立，此情况无解； ②若 ，则 ，，，得 、； ③若 ，则 ，，，得 、。 综上，点 P 的坐标为 、、、。 20．已知抛物线 与直线 交于点 A、B。 （1）求点 A、B 的坐标； （2）当 x 取何值时，抛物线的函数值小于直线的函数值？ （3）将抛物线向上平移 m 个单位长度后与直线只有一个公共点，求 m 的值。 【答案】（1）、；（2）；（3） （1）联立得 ，整理为 ，解得 或 。 当 时 ；当 时 。所以 、。 （2）抛物线的函数值小于直线的函数值，即 ，整理得 ， 解得 （也可由图象看出：两个交点之间抛物线在直线的下方）。 （3）平移后抛物线为 ，与 联立得 。 只有一个公共点，则 ，所以 。 21．已知抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），点 P 是抛物线对称轴上一点。 （1）求点 A、B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若 是直角三角形，求点 P 的坐标； （3）若 是等边三角形，求点 P 的坐标。 【答案】（1）、，对称轴为直线 ；（2） 或 ；（3） 或 （1）令 得 ，即 ，所以 、，； 又 ，对称轴为直线 。 （2）点 A、B 都在 x 轴上，点 P 在直线 上。若 ，则 PA 应与 x 轴垂直， 这要求点 P 的横坐标为 ；若 ，则要求点 P 的横坐标为 4，都与 矛盾。 所以只能是 ，此时 。 设 ，则 ，， 所以 ，，。故 或 。 （3）等边三角形要求 ，由 得 ，。 故 或 （此时 ，，确为等边三角形）。 22．如图，抛物线 与 x 轴分别交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求顶点 D 的坐标及直线 BC 的解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在 x 轴上，若以 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。 【答案】（1），直线 BC 为 ；（2） 或 （1），所以 。 令 得 ， 或 ，所以 、；令 得 。 设直线 BC 为 ，代入 、 得 ，，所以直线 BC 为 。 （2）由 知对称轴为直线 ，设 、。三种情况： ①若 BC 为对角线，则 BC 与 PQ 互相平分，中点分别为 和 ， 由 得 ，由 得 ，所以 ； ②若 BP 为对角线，则其中点 与 CQ 的中点 重合， 得 ，，所以 ； ③若 BQ 为对角线，则其中点 与 CP 的中点 重合， 得 ，，所以 。 综上， 或 。 23．已知抛物线 与 x 轴分别交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； （2）点 Q 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），求 面积的最大值及此时点 Q 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一点，若 的面积等于 10，求点 M 的坐标。 【答案】（1）、、，对称轴为直线 ；（2）面积的最大值为 ，此时 ；（3） 或 （1）令 得 ，即 ，所以 、； 令 得 ；又 ，所以对称轴为直线 。 （2）直线 BC 过 、，解析式为 。 设 （），过 Q 作 轴交 BC 于 ，则 ， 所以当 时 QH 取最大值 ，此时 。 把 沿 QH 分成两个三角形，两底都是 QH，高的和为 ， 所以 ，S 的最大值为 。 （3）。设 ，点 M 到直线 BC（即 ）的距离为 ，又 ， 所以 ， 得 ， 或 。故 或 。 24．已知二次函数 （m 为常数）。 （1）用含 m 的式子表示图象的顶点坐标，并说明顶点在哪一条直线上； （2）若图象与 x 轴两交点间的距离为 4，求 m 的值； （3）当 时，直接写出 时 x 的取值范围。 【答案】（1）顶点为 ，顶点在直线 上；（2）；（3） （1），所以顶点坐标为 。 因为顶点的横坐标 、纵坐标 ，总有 ， 所以无论 m 取何值，图象的顶点都在直线 上。 （2）令 得 ，只有当 时图象才与 x 轴有两个交点， 此时两交点横坐标为 与 ，两交点间的距离为 。 由 得 ，，所以 （此时 ，两交点为 、，距离确为 4）。 （3）当 时 ，令 得 ，所以 。 第五章二次函数专项综合　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $