专题8 动点与函数图象&专题9 二次函数与几何图形的综合——线段、面积、存在性问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

专题⑧； 动 类型1根据具体情境判断函数图象 1.如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠ACB=90°，AC=CB=8cm,O为斜边 AB的中点，连接OC,点E,F分别从A,C 两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→ C,CB运动，到点C,B时停止运动.设 运动时间为t(s),△OEF的面积为 S(cm),则S与t之间的函数关系可用图 象表示为 ( ) S/cm2 S/cm2 16 16 8 48t/5 048ts B S/cm2 S/cm2 16 8 t/s 48t/s A 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC= 4cm,AB=3cm,动点P从点A出发，以 2cm/s的速度沿折线A一B一C匀速移动， 动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度 沿A一C方向匀速移动.设△APQ的面积为 y(cm),运动时间为x(s),则下列图象能大 致反映y与x之间函数关系的是 ( ) ↑y/cm2 ↑y/cm2 x/s x/s A B 个y/cm y/cm2 X/S X/S 点与函数图象 类型2根据函数图象获取信息 3.(2025·浙江)为了实时规划路径，卫星导航 系统需要计算运动点与观测，点之间距离的 平方.如图1，P是一个固定观测点，运动点 Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地 B处运动.设AQ为x(单位：km,0≤x≤ n),PQ为y(单位：km).如图2，y关于x 的函数图象与y轴交于点C,最低点 D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225) 两点.下列选项正确的是 y/km2 C E 225A Q 81t- D B 01 n x/km 图1 图2 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为240 D.点(15,85)在该函数图象上 4.(2025·烟台模拟)如图1，在平行四边形 ABCD中，∠C=60°，已知点P在边AB 上，以1m/s的速度从点A向点B运动， 点Q在边BC上，以√3m/s的速度从点B 向点C运动.已知点P,Q同时出发，当点 P到达点B时，点Q恰好到达点C,此时 两，点都停止运动，△BPQ的面积y(m)与 点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象 (点M为图象的最高点)如图2所示，则平 行四边形ABCD的面积为 m2. y/m24 Q t/s 图1 图2 第二章二次函数13 专题⑨ 二次函数与几何图形的 P方法指导 两点间的距离公式 如图，若点P1的坐标为(x1,y1),点P2的坐标为 (x2,y2),则P1P=(x1-x2)2+(y1-y2)2. 类型1线段问题 1.如图，已知抛物线y=ax2十bx+3与x轴 交于A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于 点C,连接BC,P是线段BC上的点（不与 点B,C重合)，过点P作PM∥y轴，交抛 物线于点M,PM的反向延长线交x轴于 点D. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若设点P的横坐标为t,请用含t的代 数式表示线段PM的长； (3)过点M作MN⊥BC,垂足为N,求线 段MN的最大值 D B 14一本·初中数学9年级下册BS版 综合一—线段、面积、存在性问题 2.(2025·重庆节选)如图，在平面直角坐标系 中，抛物线y=x2十bx十c与x轴交于A, B(6,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的对 称轴是直线x=2 (1)求抛物线的函数表达式 (2)P是射线BC下方的抛物线上的一动 点，连接OP,与射线BC交于点Q,D,E 为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的 下方)，且DE=4,连接BD,PE当O取 得最大值时，求点P的坐标及BD十PE的 最小值. B 备用图 类型2面积问题 3.如图，抛物线y=2x十bx十c与x轴交 于点A,B,与y轴交于点C,直线y= 2之-2经过B,C两点 1 (1)试求抛物线的函数表达式； (2)P是直线BC下方的抛物线上一动点， 连接BP,CP,当△BCP的面积最大时，求 点P的坐标 4.(2025·龙东地区)如图，抛物线y=x2+ bx十c交x轴于点A、点B,交y轴于点 C,且点A在点B的左侧，顶点坐标为 (3,-4). (1)求b与c的值. (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P, 使△PBC的面积与△ABC的面积相等？ 若存在，请求出点P的横坐标；若不存在， 请说明理由 y B衣 第二章二次函数15 类型3等腰三角形的存在性问题 5.(2024·大连长海期末节选)如图，已知二次函 数y=ax2+bx一3a经过点A(一1,0)， C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶 点为D, (1)直接写出二次函数的表达式. (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使得△PDC为等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点P的坐标；若不存在， 请说明理由， B 16一本·初中数学9年级下册BS版 类型4直角三角形的存在性问题 6.(2025·东营节选)如图，已知抛物线与x轴 交于A(一1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于 点C(0,5) (1)求出抛物线的函数表达式； (2)【一题多解】M是抛物线的顶点，将 △MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y 轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得 △PQB是以QB为直角边的直角三角形， 请求出点P的坐标. 类型5相似三角形的存在性问题 7.如图，抛物线y=3x2+bx十c经过 △ABC的三个顶点，点A的坐标为(0,1)， 点B的坐标为（一9,10），AC∥x轴，P为 抛物线的顶点，点Q在直线AC上. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以C,P,Q为顶点的三角形与 △ABC相似，请求出点Q的坐标. 类型6平行四边形的存在性问题 8.(2025·广安)如图，二次函数y=3x2十 bx十c(b,c为常数)的图象交x轴于A,B 两点，交y轴于点C,已知点B的坐标为 (9,0),点C的坐标为(0，一3)，连接 AC,BC. (1)求抛物线的函数表达式. (2)【一题多解】若P为抛物线上的一个动 点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点 P的坐标 B 第二章二次函数17 (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2√10 个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛 物线上，F是原抛物线对称轴上的一点.若 以B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边 形，请求出点E的坐标， A NO B C 备用图 18一本·初中数学9年级下册BS版 类型7矩形的存在性问题 9.如图，抛物线y=ax2十bx十c经过点 A(-1,0),B(0,3),C(3,0). (1)求抛物线的函数表达式. (2)已知M是抛物线的对称轴上一点，在 平面内是否存在点N,使以B,C,M,N为 顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由， C2.(1)y=-2x+300(2)90元 (3)当销售单价定为99元时，可获得最大利润，最大利润是 3978元 1 3.(1)该抛物线的函数表达式为y=一6x2+2x十4， 隧道顶部D到地面OA的距离为10m (2)这辆货车能安全通过.理由略 (3)4√3m 4,解：1)y=-12(x-2》+3 (2②)当x=0时y=-2×4+8= 1 3>2.44, ∴球不能射进球门. (3)1m 专题6二次函数y=ax2十b.x十c的图象与 系数a,b,c之间的关系 【例】(1)<>>(2)>(3)>= (4)>=><(5)≥ 【针对训练】 1.D2.B3.①②⑤4.②④⑤ 专题7二次函数的最值问题 【例】(1)y=(x-1)2-4 y 1x=1 (-1,0八 (3,0) 1(1,-4) (2)①1-4②5-3③5-4④√2+1⑤a≥1 ⑥-2或2 【针对训练】 1.B2.C3.D【变式1】0或7【变式2】-3或5 【变式3】A4.C5.C6.1 专题8动点与函数图象 1.B2.B 3.D【解析】如图，过点P作PG⊥AB于点G Q G K B P 当x=1时，动点Q运动到点H的位置，由题意和图象可 知，PH=225km,当，点Q运动到点G时，PQ2的值最 小，即PG2=81km2. 在Rt△PGH中，由勾股定理，得GH=√PH一PG= ·答 12km,.AG=13km,∴.m=13,.选项A错误. 当x=n时，点Q运动到点B, 则PB2=225=PH2,.PB=PH .PG⊥AB,∴.BG=HG=12km, ∴.AB=13+12=25(km),.选项B错误. 当x=0,即点Q在点A处时， AP2=AG2+PG2=132+81=250(km2), .点C的纵坐标为250，.选项C错误. 当x=15时，点Q运动到点K, ∴.AK=15km,∴.GK=AK-AG=2(km), ∴.PK2=KG2+PG2=4+81=85(km2), ∴.点（15,85)在该函数图象上，.选项D正确.故选D. 4.24 专题9二次函数与儿何图形的综合— 线段、面积、存在性问题 1.(1)抛物线的函数表达式为y=一x2十2x十3 (2)PM=-t2+3t(3)9 2.(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，一12)，BD+PE的最小值为4⑤ 3ay7-2-2 (2)点P的坐标为(2，一3) 4.(1)b=-6,c=5 (2)存在 点P的横坐标为5+，④或5二④ 2 2 5.(1)二次函数的表达式为y=一x2十2x十3 (2)存在 符合条件的点P的坐标为(3+5,5一5)或2,3) 、2’2 6.解：(1)y=-x2+4x+5 (2)如图，过，点C作CH垂直抛物线的对称轴于点H,过点 N作NK⊥y轴于点K,则∠NKC=∠MHC=90. 1V P 由翻折，得CN=CM,∠BCN=∠BCM. B(5,0),C(0,5),.OB=OC, .∴.∠OCB=∠OBC=45°. 案11· ,CH垂直对称轴于点H,∴.CH∥x轴， 将B(5,0)代入y=3x十b1,得b1=-15, ∴.∠BCH=∠OBC=45°，.∠BCH=∠OCB=45°， 直线BP'的函数表达式为y=3x-15. .∠BCN-∠OCB=∠BCM-∠BCH, 令x=2,得y=-9,.P'(2,-9). 即∠NCK=∠MCH,∴.△NCK≌△MCH(AAS), ∴.NK=MH,CK=CH. 综上所选，成P的坐标为(2号)或(2，-9。 :抛物线的函数表达式为y=-x2十4x十5=-(x一2)2十9， 1 7.1)y=3x2+2x+1 .对称轴为直线x=2,M(2,9), ∴.MH=9-5=4,CH=2, (2)点Q的坐标为(-4,1)或(3,1) ∴.NK=MH=4,CK=CH=2, 8解：1y-- 3x-3 ∴.OK=OC-CK=3,.N(-4,3). (2)当点P在BC下方时，如图1所示. 设直线BN的函数表达式为y=k'x十b'. 1-4k'+b'=3, V 将N(-4,3),B(5,0)代入，得 5k'+b'=0, k'= 1 0 3 解得 6=号 小直线BN的高数表达或为y=一弓十 5 图1 ∠PCB=∠OBC,∴.PC∥OB, 将=0代入y=-+号y=号Q0,号） 点P与点C关于抛物线的对称轴对称. 8 解法1：设P(2,p), 3 抛物线的对称轴为直线x= 1 =4, 2×3 2r+p=9+,B0=5+(）-25+-29 .点P的坐标为(8，一3) 当点P在BC上方时， 分两种情况： 解法1：如图2，设直线PC交x轴于点H. ①如图，当∠BQP=90时，BP2=PQ2+BQ, 9+p-p-智+g+0, 解件=9P(2,号》： H ②如图，当∠QBP'=90°时，P'Q2=BP2十BQ2, ∴p-9+g=9+p+g0 9， 图2 解得p=-9,∴.P'(2,-9). ∠PCB=∠OBC,.CH=BH, 综上所送，点P的坐标为(2.）或（公，-9。 ..CH2=BH2. 设H(m,0), 解法2：（补充：由1⊥12，可得k·=一1） .(0-m)2+(-3-0)2=(9-m)2, 如图，当∠BQP=90°时，设直线QP的函数表达式为y= 解得m=4,.H(4,0) 3x十b. 设直线PC的函数表达式为y=k1x十b1· #Q(0,号)代入得6=号， 14k1+b1=0, 将H(4,0),C(0,-3)代入，得 直线QP的画数表达式为y=3x十 b1=-3, 3 令z=2得yP(2) k1=4' b1=-3, 如图，当∠QBP'=90°时， 3 设直线BP的函数表达式为y=3x十b1, 直线PC的函数表达式为y=4x一3. ·答案12· 3 y=4x-3, 联立 P=3x2-8 1 3x-3, 4 (x=0, 解得 或 75 y=-3(舍去)， y=16 点P的丝标为(，)】 袋上两递，点P的起标为⑧，一3)或（供得》 解法2：（补充内容：若1⊥l2,则k,·,=一1） 如图3，作点P关于BC的对称点P',连接CP′并延 抛物线于点P2,点P。即为所求 ↑y 图3 设直线BC的函数表达式为y=k2x十b2, ,B(9,0),C(0,-3) 1 (9k2十b2=0, k2=3 解得 b2=-3, b2=-3, 1 直线BC的函数表达式为y=3x一3. 设p(,,则PP的中点的坐相为（告，号） 如告号 P'P1的中点在直线BC上，PP'⊥BC, 1.+8-3=y3, 32 2， 解得 y=5 p() 设直线CP'的函数表达式为y=mx十n. 将Pr(号，号）C(0,-3)代入，得 32 m十n=5'解得 9 3 m= 5 4, n=一3， n=-3, ·直线CP'的画数表达式为y= 43. 3 y=4x-3, 联立 -3x-8 1 3x3, 41 工 x=0, 解得 或 y=-3(舍去)， y=16 点P的生标为（件，得）】 蟒上所速，点P的坐标为(8，-3)或（保得） (3)(-5,10或(13,38)或(5，号) 9.(1)y=-x2+2x+3 (2)存在 长，交 点N的坐标为(，3+y)或(，3)或(-2,1 或(4,1) 专题10二次函数“新定义”问题 1.(1)y=x(答案不唯一) (2)该函数是正方形OABC的“LS函数”.理由略 (3)a<1且a≠0 (4)8-√/55或-4 1 1 2.(1)y:=xy1=x·2x=2x (2)点A的坐标为(3,1) (3)①m=1或m=4 2m2+6m(1<m<2), ②y -2m2+14m-16(2<m<4) ③t2-t1的值为4或3-2√2 专题11 综合与实践 1 70 1.任务1：y=-3x+3 任务2：w=-2x2+72x+3360(x≥10) 任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风” 服装，34名工人加工“正”服装，可使每天的总利润最大 2.(1)顶点N的坐标为(80,60)，该抛物线的函数表达式为 3 y=-320(x-80)2+60 (2)200cm (3)6cm 3.(1)@273 16 8 (2)S关于的函数表达式为S=41一331+73 8 AB=9 (3)①6② 73 8 ·答案13·