5.2 二次函数的图象课堂同步分层训练卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

【5.2 二次函数的图象】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.2 二次函数的图象，覆盖 、、、、 与 的图象与性质、平移变换、函数值大小比较等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．抛物线 的开口方向和对称轴分别是（　） A．向上，y 轴 B．向下，y 轴 C．向下，x 轴 D．向上，x 轴 【答案】B 中，，所以抛物线的开口向下； 形如 的抛物线顶点在原点，对称轴是 y 轴（即直线 ）。故选 B。 2．若抛物线 经过点 ，则 a 的值是（　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 把 ， 代入 ，得 ，所以 。故选 A。 3．抛物线 的顶点坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】A 的顶点坐标是 ，注意括号内是 。 本题 ，，所以顶点坐标是 。故选 A。 4．将抛物线 向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 上下平移只改变常数项，规律是“上加下减”：向上平移 3 个单位得 。 左右平移才改变括号内的 ，本题不涉及。故选 A。 5．抛物线 的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 的对称轴是直线 。 这里 ，，所以 ，即对称轴是直线 。故选 A。 6．已知点 ， 都在抛物线 上，则 与 的大小关系是（　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 抛物线的对称轴是直线 ，开口向上。 点 A 到对称轴的距离为 ，点 B 到对称轴的距离为 。 开口向上时，离对称轴越远函数值越大，所以 。故选 A。 7．二次函数 的图象如图，对称轴是直线 ，则 a、b、c 的符号是（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 图象开口向下，所以 ；图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上，所以 ； 对称轴 ，而 ，由 得 （同号在左、异号在右）。 所以 ，，。故选 B。 8．关于抛物线 ，下列说法正确的是（　） A．当 时，y 有最大值 3 B．当 时，y 有最小值 3 C．对称轴是直线 D．当 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】A ，开口向下，顶点 是最高点，所以当 时 y 有最大值 3； 对称轴是直线 ，C 错；开口向下，当 时 y 随 x 的增大而减小，D 错。故选 A。 9．把 化成 的形式，结果是（　） A． B． C． D． 【答案】A 。 配方时加上一次项系数一半的平方 9，再减去 9，注意别丢掉常数 5。故选 A。 10．无论 m 取何值，抛物线 的顶点都在（　） A．直线 上 B．直线 上 C．x 轴上 D．y 轴上 【答案】A ，所以顶点坐标是 。 顶点的纵坐标恒为 ，横坐标随 m 变化，因此顶点始终在直线 上。故选 A。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．请你写出一个满足下列条件的二次函数：图象开口向下，顶点在 y 轴上，且经过点 。你写出的函数是            。 【答案】（答案不唯一，形如 且 均可） 顶点在 y 轴上，说明函数形如 （没有一次项）； 经过点 ，说明 ，即 ； 开口向下，说明 。取 得 ；本题答案不唯一，如 也符合要求。 12．将抛物线 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得抛物线的表达式是            。 【答案】 向左平移 3 个单位，括号内变为 ，得 ； 再向下平移 2 个单位，得 。 也可看顶点：原顶点 平移后为 ，所以表达式是 。 13．若 ，， 三点都在抛物线 上，则 、、 的大小关系是            （用“<”连接）。 【答案】 对称轴是直线 ，开口向下。 三个点到对称轴的距离分别是 2、0、2，其中 B 在对称轴上。 开口向下时离对称轴越近函数值越大，所以 最大，且 ，即 。 14．已知抛物线 与 x 轴交于点 和 ，与 y 轴交于点 ，则             ，            ，            。 【答案】1；； 设交点式 ，把 代入得 ，所以 ； 展开得 ，所以 ，（与 y 轴交点纵坐标一致）。 15．若抛物线 的顶点在 x 轴上，则 m 的值是            。 【答案】1 ，顶点坐标是 。 顶点在 x 轴上，则纵坐标为 0，即 ，所以 。 此时抛物线为 ，与 x 轴只有一个交点 。 16．将抛物线 向右平移 2 个单位长度后，得到抛物线 ，则             ，            。 【答案】2；3 目标抛物线 ，顶点为 。 把它向左平移 2 个单位就回到原抛物线，顶点变为 ， 所以原抛物线是 ，即 ，。 三、解答题（共 46 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法把它化成 的形式，并写出顶点坐标和对称轴； （2）求图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）在图中给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象。 【答案】（1），顶点 ，对称轴是直线 ；（2）与 x 轴交于 、，与 y 轴交于 ；（3）图象略 （1），所以顶点为 ，对称轴是直线 。 （2）令 得 ， 或 ，与 x 轴交于 、；令 得 ，与 y 轴交于 。 （3）取点 、、、、 描点连线，开口向上，最低点为 。 18．已知抛物线 ：。 （1）将 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到 ，求 的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线 与 关于 x 轴对称，求 的表达式。 【答案】（1），顶点 ；（2） （1） 的顶点是 ，右移 1 个单位、上移 3 个单位后顶点为 ， 开口大小、方向不变，所以 ：。 （2）关于 x 轴对称，开口方向相反、顶点关于 x 轴对称， 所以 变为 ，顶点变为 ，故 ：。 19．已知抛物线 经过 、、 三点。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）写出它的顶点坐标和对称轴； （3）当 时，直接写出 y 的取值范围。 【答案】（1）；（2）顶点 ，对称轴是直线 ；（3） （1）设 ，把 代入得 ，所以 。 所以 。 （2），顶点为 ，对称轴是直线 。 （3）因为 ，当 时 y 取最大值 4；当 x 趋近于 或 3 时 y 趋近于 0， 且 、 不在取值范围内，所以 。 20．已知抛物线 经过点 和 。 （1）求 a、k 的值； （2）若 、、 都在该抛物线上，比较 、、 的大小，并说明理由。 【答案】（1），；（2），理由见解析 （1）把 代入得 ；把 代入得 。 两式相减得 ，所以 ，，即 。 （2）对称轴是直线 ，开口向下。三点到对称轴的距离分别为 3、1、2， 开口向下时离对称轴越近函数值越大，所以 （检验：，，）。 21．某公园有一座抛物线形拱桥，以拱顶为原点 O、水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系，则拱桥的拱形是抛物线 的一部分。已知桥的跨度为 8 m，拱顶高出水面 4 m（即水面在 的位置）。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求水面正中央到拱顶的水平距离为 2 m 处，拱桥内壁到水面的高度； （3）一艘宽 4 m、露出水面 2.5 m 的游船能否从桥下正中央通过？请说明理由。 【答案】（1）；（2）3 m；（3）能通过，理由见解析 （1）跨度 8 m、拱顶高出水面 4 m，所以水面与抛物线的交点为 和 。 把 代入 得 ，所以 ，即 。 （2）当 时，，即拱桥内壁比拱顶低 1 m， 所以它到水面的高度为 （m）。 （3）船宽 4 m，从正中央通过时船的两端在 和 处。 由（2）知这两处拱桥内壁距水面 3 m，而船高出水面 2.5 m，因为 ，所以游船能从桥下正中央通过。 22．已知抛物线 （m 为常数）。 （1）用含 m 的式子表示顶点的坐标，并说明无论 m 取何值，顶点都在一条定直线上； （2）若这条抛物线经过原点，求 m 的值； （3）求证：这条抛物线与 x 轴总有两个不同的交点，并求这两个交点之间的距离。 【答案】（1）顶点 ，在直线 上；（2） 或 ；（3）交点间距离为 2，证明见解析 （1），所以顶点为 。 顶点的纵坐标恒为 ，横坐标随 m 变化，所以顶点始终在直线 上。 （2）抛物线经过原点，则 时 ，即 ，解得 或 。 （3）令 ，得 ，所以 或 ，即 或 。 两个交点 、 一定不重合，所以与 x 轴总有两个不同的交点，且它们之间的距离为 2，是一个与 m 无关的定值。 23．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 ，对称轴是直线 ，且 。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当 时，求 y 的取值范围。 【答案】（1），；（2）；（3） （1）由对称轴是直线 知 A、B 关于直线 对称，且 ， 所以 A、B 到对称轴的距离都是 2，故 ，。 （2）设 ，把 代入得 ，所以 ， 即 。 （3），当 时 y 取最小值 ；当 时 ，当 时 。所以当 时，。 24．已知抛物线 C：。 （1）求 C 的顶点坐标和对称轴； （2）将 C 沿 x 轴翻折（即作关于 x 轴的对称图形）得到抛物线 ，求 的表达式； （3）当 时，求 C 上点的纵坐标 y 的最大值和最小值。 【答案】（1）顶点 ，对称轴是直线 ；（2）；（3）最大值 8，最小值 （1），所以顶点为 ，对称轴是直线 。 （2）关于 x 轴对称， 变为相反数，顶点关于 x 轴对称得 ， 所以 ：。 （3）顶点 在 内，所以 y 的最小值为 ； 当 时 ，当 时 ，所以最大值为 8。 5.2 二次函数的图象_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【5.2 二次函数的图象】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.2 二次函数的图象，覆盖 、、、、 与 的图象与性质、平移变换、函数值大小比较等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．抛物线 的开口方向和对称轴分别是（　） A．向上，y 轴 B．向下，y 轴 C．向下，x 轴 D．向上，x 轴 2．若抛物线 经过点 ，则 a 的值是（　） A． B．2 C． D．4 3．抛物线 的顶点坐标是（　） A． B． C． D． 4．将抛物线 向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式是（　） A． B． C． D． 5．抛物线 的对称轴是（　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．已知点 ， 都在抛物线 上，则 与 的大小关系是（　） A． B． C． D．无法确定 7．二次函数 的图象如图，对称轴是直线 ，则 a、b、c 的符号是（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．关于抛物线 ，下列说法正确的是（　） A．当 时，y 有最大值 3 B．当 时，y 有最小值 3 C．对称轴是直线 D．当 时，y 随 x 的增大而增大 9．把 化成 的形式，结果是（　） A． B． C． D． 10．无论 m 取何值，抛物线 的顶点都在（　） A．直线 上 B．直线 上 C．x 轴上 D．y 轴上 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．请你写出一个满足下列条件的二次函数：图象开口向下，顶点在 y 轴上，且经过点 。你写出的函数是            。 12．将抛物线 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得抛物线的表达式是            。 13．若 ，， 三点都在抛物线 上，则 、、 的大小关系是            （用“<”连接）。 14．已知抛物线 与 x 轴交于点 和 ，与 y 轴交于点 ，则             ，            ，            。 15．若抛物线 的顶点在 x 轴上，则 m 的值是            。 16．将抛物线 向右平移 2 个单位长度后，得到抛物线 ，则             ，            。 三、解答题（共 46 分） 17．已知二次函数 。 （1）用配方法把它化成 的形式，并写出顶点坐标和对称轴； （2）求图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）在图中给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象。 18．已知抛物线 ：。 （1）将 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到 ，求 的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线 与 关于 x 轴对称，求 的表达式。 19．已知抛物线 经过 、、 三点。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）写出它的顶点坐标和对称轴； （3）当 时，直接写出 y 的取值范围。 20．已知抛物线 经过点 和 。 （1）求 a、k 的值； （2）若 、、 都在该抛物线上，比较 、、 的大小，并说明理由。 21．某公园有一座抛物线形拱桥，以拱顶为原点 O、水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系，则拱桥的拱形是抛物线 的一部分。已知桥的跨度为 8 m，拱顶高出水面 4 m（即水面在 的位置）。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求水面正中央到拱顶的水平距离为 2 m 处，拱桥内壁到水面的高度； （3）一艘宽 4 m、露出水面 2.5 m 的游船能否从桥下正中央通过？请说明理由。 22．已知抛物线 （m 为常数）。 （1）用含 m 的式子表示顶点的坐标，并说明无论 m 取何值，顶点都在一条定直线上； （2）若这条抛物线经过原点，求 m 的值； （3）求证：这条抛物线与 x 轴总有两个不同的交点，并求这两个交点之间的距离。 23．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 ，对称轴是直线 ，且 。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当 时，求 y 的取值范围。 24．已知抛物线 C：。 （1）求 C 的顶点坐标和对称轴； （2）将 C 沿 x 轴翻折（即作关于 x 轴的对称图形）得到抛物线 ，求 的表达式； （3）当 时，求 C 上点的纵坐标 y 的最大值和最小值。 5.2 二次函数的图象_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $