5.2二次函数的图象（分层作业，13大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.2 二次函数的图象 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的基本性质 题型02 二次函数图像的增减性与大小比较 题型03 二次函数图像上点的坐标特征 题型04 二次函数三种形式的相互转化 题型05 画二次函数图象 题型06 二次函数的最值 题型07 二次函数图象的平移 题型08 用待定系数法求二次函数的表达式 B组 能力进阶 题型 二次函数图像与系数的关系 C组 思维拔高 题型01 一系双图 题型02 图象共存问题 题型03 二次函数图象的对称性的应用 题型04 二次函数图象与性质的综合探究 二次函数的基本性质题型01 1．（25-26九年级上·天津·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 2．关于二次函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 3．在二次函数中，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 5．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 二次函数图像的增减性与大小比较题型02 1．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 2．（24-25九年级上·山东·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 4．（25-26九年级上·福建·期末）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______． 5．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 二次函数图像上点的坐标特征题型03 1．（25-26九年级上·河南林州·月考）已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 2．已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．函数y=x2+2x﹣8与y轴的交点坐标是_____． 4．已知抛物线经过点． (1)求b的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 5．在平面直角坐标系中，将定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如下图所示），点的“关联点”是．    (1)请画出函数的图象． (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标． (3)将定义为点的“待定关联点”．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 二次函数三种形式的相互转化题型04 1．把二次函数的解析式配成顶点式为（　　　） A． B． C． D． 2．若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 4．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得，         第一步 二次项系数化为1，得，   第二步 配方，得，        第三步 因此，，                 第四步 ，                       第五步 ，                     第六步 (1)请指出这道习题的解答过程是从第几步开始出现错误的，并直接写出原方程正确的根； (2)用配方法将二次函数化成的形式． 画二次函数图象题型05 1．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 2．五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 4．（25-26九年级上·北京·月考）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： (1)这个二次函数的解析式是______； (2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图像经过． (1)填空：___________，___________； (2)在网格中画出函数的图象； (3)当时，求的取值范围． 二次函数的最值题型06 1．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 2．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）当时，函数的最小值为，则满足的条件为（   ） A．或或 B．或2或 C．或或 D．或2或 3．二次函数的对称轴是直线_______，最值为_______． 4．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是___________． 5．（2025·浙江·二模）已知抛物线的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线（为常数）的顶点重合． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值； ②若，且，求的值． 二次函数图象的平移题型07 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟）将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为______； 5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上． (1)填空：___________，___________； (2)将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 用待定系数法求二次函数的表达式题型08 1．（25-26九年级上·广西百色·月考）顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·联考）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 4．（25-26九年级·期末）已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 5．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 二次函数图像与系数的关系题型 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．如图为，则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 一系双图题型01 1．（24-25九年级上·福建·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 图象共存问题题型02 1．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 4．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 5．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 二次函数图象的对称性的应用题型03 1．（24-25九年级上·云南·期中）若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 4．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是______． 二次函数图象与性质的综合探究题型04 1．（2026·江苏连云港·模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 2．如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点和，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 3．已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值； (2)若点，位于对称轴右侧的抛物线上，且，试比较与的大小关系； (3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 4．【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 5．在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． （1）若， ①当时，y的取值范围是______； ②若时，，则b的取值范围是______； （2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值． （3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 二次函数的图象 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的基本性质 题型02 二次函数图像的增减性与大小比较 题型03 二次函数图像上点的坐标特征 题型04 二次函数三种形式的相互转化 题型05 画二次函数图象 题型06 二次函数的最值 题型07 二次函数图象的平移 题型08 用待定系数法求二次函数的表达式 B组 能力进阶 题型 二次函数图像与系数的关系 C组 思维拔高 题型01 一系双图 题型02 图象共存问题 题型03 二次函数图象的对称性的应用 题型04 二次函数图象与性质的综合探究 二次函数的基本性质题型01 1．（25-26九年级上·天津·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质． 根据抛物线顶点式的性质，a的符号决定开口方向，顶点坐标为作答即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标． 故选：B． 2．关于二次函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 【答案】C 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标以及增减性即可求解． 【详解】解：二次函数中， ，函数图象开口向下，A错误； 函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C正确，D错误； 函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．在二次函数中，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【详解】解：， ∵，对称轴为， ∴当时，y有最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，y有最小值0， ∴当时，y的取值范围是， 故选C． 4．已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 【答案】a≤2 【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上， ∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大， 故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大， 所以a的取值范围为a≤2． 故答案为a≤2． 5．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【答案】(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：； (2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据抛物线的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数图像的增减性与大小比较题型02 1．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小，故B正确． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解此题的关键． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的值所对应的函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且 ， 故选：D． 3．已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为：，且开口向上，最小值为， 在中， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 4．（25-26九年级上·福建·期末）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征．由点和的纵坐标相同，可知抛物线的对称轴为；再由，以及抛物线开口向上，可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可得的取值范围． 【详解】解：因为点和点的纵坐标相同， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为， 所以抛物线开口向上， 所以点离对称轴越远函数值越大， 因为， 所以， 所以点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即． 所以或． 故答案为：或 5．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等． （1）利用轴对称的性质求解即可； （2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，有， ∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵，，又， ∴， 整理得， ∴或， ①若，即， ∵， ∴且， ∴且， ∴； ②若， 同理且， ∴且， ∴； 综上，或． 二次函数图像上点的坐标特征题型03 1．（25-26九年级上·河南林州·月考）已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得． 故选：A． 2．已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出的值，再逐一判断各点是否在抛物线上． 先将点代入抛物线解析式求出，得到抛物线解析式，再将选项中的点代入解析式进行验证． 【详解】解：因为点在抛物线上， 所以把代入可得： ，即， 解得． 所以抛物线的解析式为． A、当时，，所以点在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，所以点不在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上． 故选：A． 3．函数y=x2+2x﹣8与y轴的交点坐标是_____． 【答案】（0，﹣8）． 【详解】试题分析：要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可． 解：把x=0代入抛物线y=x2+2x﹣8中， 解得：y=﹣8． 则抛物线y=x2+2x﹣8与y轴的交点坐标是（0，﹣8）． 故答案为（0，﹣8）． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 4．已知抛物线经过点． (1)求b的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 【答案】(1)16 (2)不在 【分析】（1）只需把点A的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题； （2）只需考虑时抛物线上所对应点的函数值是否等于8，即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ； （2）解：∵当时，， ∴不在此抛物线上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 5．在平面直角坐标系中，将定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如下图所示），点的“关联点”是．    (1)请画出函数的图象． (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标． (3)将定义为点的“待定关联点”．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示．    (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得点的“关联点”为． 由点在函数的图象上，可得， ． 又在函数的图象上， ，解得． 将代入，得． （3）解：由题意可知，点的“待定关联点”为． 点在函数的图象上， ， ，． 又， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 二次函数三种形式的相互转化题型04 1．把二次函数的解析式配成顶点式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式变形即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键． 2．若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在轴下方，即可求出的范围． 【详解】解：， 化为顶点式为：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于时，顶点位于轴下方． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 4．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】(1)四， (2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1 【分析】（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； （2） ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 用配方法解方程：． 解：移项，得，         第一步 二次项系数化为1，得，   第二步 配方，得，        第三步 因此，，                 第四步 ，                       第五步 ，                     第六步 (1)请指出这道习题的解答过程是从第几步开始出现错误的，并直接写出原方程正确的根； (2)用配方法将二次函数化成的形式． 【答案】(1)第二步，， (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式的方法，比较简单． （1）根据配方法的步骤逐步分析即可； （2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，正确的过程如下： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 因此，，   ， ，； （2） ． 画二次函数图象题型05 1．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列表法画二次函数图象要列出顶点坐标，然后分别讨论四个点错误的情形，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布， ∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标， ∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间， ∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的； 若错，则二次函数对称轴为直线， ∵二次函数开口向上， ∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾， ∴是正确的， 若错，由于，此时函数开口方向不可能向上， ∴正确； 若错，此时抛物线对称轴为， ∴当时，y随x增大而增大，满足题意， 综上所述，只有是错误的， 故选B． 【点睛】本题主要考查了描点法画二次函数，熟知描点法画二次函数图象是解题的关键． 2．五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 【答案】(1) 解：填表如下： x 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 (2) 解：画出抛物线如下： 【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合． （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【答案】(1) (2) 填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 4．（25-26九年级上·北京·月考）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： (1)这个二次函数的解析式是______； (2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：如图所示： ； (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）略 （3）解：当时，， 当时，， 当时，有最小值， 当时，的取值范围是． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图像经过． (1)填空：___________，___________； (2)在网格中画出函数的图象； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，5 (2) 如图所示： (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确画出函数图象是解题关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象； （3）利用函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过， ’ 解得， 故答案为：，5； （2）解：由（1）得， 对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下，与轴交点坐标为：，关于直线的对称点为 ， 当时，图像过点， 关于直线的对称点为 ， 过点，， ，，画图像， （3）解：结合图象分析，函数图像开口向下，顶点是最高点， ∴当时，随着的增大而增加；当时，随着的增大而减小； 当时，； 当时，； 当时，， 故的取值范围是． 二次函数的最值题型06 1．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案． 【详解】解： 整理得： 故当时，y有最小值b为2； 当时，y有最大值a为11； 故； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）当时，函数的最小值为，则满足的条件为（   ） A．或或 B．或2或 C．或或 D．或2或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．数形结合是解题的关键． 当时，；当时，，作二次函数图象；结合图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； 当时，， 图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； 二次函数图象如下； 由图象可知，当时，，函数的最小值为； 当时，，函数的最小值为； 当时，在中，此时函数的最小值为； 综上所述，满足的条件为或2或， 故选：B． 3．二次函数的对称轴是直线_______，最值为_______． 【答案】 1 2 【分析】化为顶点式求解即可． 【详解】， ∴对称轴是直线，最小值为2， 故答案为1，2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正确化成顶点式是解题的关键． 4．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最大值为2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， ①若，当时，， 解得：； （舍去）； ②若，当时，， 解得：； ③若，当时，， 解得：或（舍， 的值为或， 故答案为：或． 5．（2025·浙江·二模）已知抛物线的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线（为常数）的顶点重合． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值； ②若，且，求的值． 【答案】(1)． (2)①当时，的最大值为；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移． （1）先求出抛物线平移后的顶点坐标为，则抛物线（为常数）可设为，转化为一般式即可解答； （2）①把点代入，把点代入，则，得到，再由，代入化简后利用二次函数的性质即可求解；②把，代入化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：将抛物线顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后坐标为， 抛物线（为常数）可设为， ， ，； （2）解：把点代入，把点代入，则， 可得：，， 由两式相加得：（★） ①：把，代入（★）化简得：， 当时，的最大值为， ②：把，代入（★）得， 化简得， ， ， ，    ， ． 二次函数图象的平移题型07 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：． 故选：C． 3．（2025·陕西·模拟）将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可， 【详解】解：二次函数，化成顶点式为 ． ∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后的二次函数图象经过点， 将，代入平移后的函数解析式中，得 ． ． ． 解得或． ∵， ∴的值为． 故选：D 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为______； 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移、图形的对称性、阴影面积的计算，根据抛物线的平移规则，通过将阴影部分转化为一个矩形从而计算面积． 【详解】阴影部分是一个底为（从到)，高为（从到)的矩形， 因此阴影部分的面积为底乘以高， 即， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上． (1)填空：___________，___________； (2)将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式即可求出的值；根据抛物线解析式可以确定顶点的坐标，将其代入直线解析式即可求出； （2）根据平移的特点可设抛物线的解析式为，表示出顶点坐标并将其代入到直线解析式，发现是的二次函数，根据二次函数的特点求出的最大值，即求出平移后抛物线与轴交点的最大值． 【详解】（1）解：将点代入得，，解得， 抛物线解析式为：，顶点坐标为：， 将代入得：，解得， ∴，． 故答案为：；1． （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 可设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵顶点仍在直线上， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为q， ∴， ∵， ∴时平移后的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为． 【点睛】本题二次函数属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质和平移，一次函数的性质，根据二次函数平移的特点设抛物线解析式并熟练掌握所学知识去计算是解题的关键． 用待定系数法求二次函数的表达式题型08 1．（25-26九年级上·广西百色·月考）顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线顶点式，关键是掌握顶点式参数的意义．由顶点设顶点式，由开口、形状与相同，得，从而确定解析式． 【详解】抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 开口方向、形状与函数的图象相同， ， 抛物线解析式为． 故选：． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·联考）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据折叠（轴对称）的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 【答案】， 【分析】把点和点分别代入，即可作答 【详解】解：由题意知，把点和点分别代入， 得， 解得， 所以b，c的值分别为和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的b，c的值，难度较小． 4．（25-26九年级·期末）已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够通过表格找到对称点是解题的关键． 根据表格观察出来和为对称点，再通过表格确认顶点坐标，用顶点坐标求二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵由表可知和为对称点， ∴对称轴为直线， ∵由表可知，，对应的是， ∴该函数的顶点为，且， ∴这个二次函数的表达式为． 5．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 二次函数图像与系数的关系题型 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．如图为，则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ， ， 故选项A正确； 故选：A． 3．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ， 故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数）， 故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D． 4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点 ∴ ∵ ∴ 故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴ ∵二次函数的图象开口向上 ∴ ∴ 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ 由图象结合题意可知：当时， 即： 即： 故③正确； 由③可知： 故④正确； 由图象可知：当时，函数有最小值 又对于任意实数，均有 ∴ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．熟记相关结论是解题关键． 5．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据表中的，得到，对称轴，得到，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，，得到，得到，判定④不正确． 本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，是解决问题的关键． 【详解】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为， ∴，抛物线的对称轴是直线， ∴，，a、b异号， ∴， 故①正确； 根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等， ∴， 故②正确； ∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t， ∴和3是关于的方程的两个根； 故③正确； 由①知，，， ∴二次函数为， ∵当时，对应的函数值， ∴， ∴， 故④不正确． ∴正确的结论有①、②、③，共3个． 故选：C． 一系双图题型01 1．（24-25九年级上·福建·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 2．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键． 先根据一次函数图象确定出，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解． 【详解】解：观察四个选项，得出一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴抛物线开口方向向下， 则对称轴为直线，即对称轴在轴的正半轴， ∵， ∴抛物线不经过原点， ∴只有C选项图象符合． 故选：C． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键． 4．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 根据抛物线与直线交于M，N两点，可得方程有两个不等的负实数根，从而可判断． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限， ∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程有两个不等的负实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴． 故选：A 5．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 图象共存问题题型02 1．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小； 二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大； 故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． 3．若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【分析】两条抛物线关于直线对称，则上任意点关于直线的对称点都在上，利用对称点的坐标关系得到等式，对应系数相等求出和，即可得到的值． 【详解】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上， ∴， 展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，， 解得，， ∴． 4．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 5．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2) 证明：∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； (3) 证明：∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 二次函数图象的对称性的应用题型03 1．（24-25九年级上·云南·期中）若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确在抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．根据两点的纵坐标相同，横坐标的和的一半就是对称轴即可求解． 【详解】解：点，在抛物线上，则它的对称轴是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键．根据表格可知，和的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与关于对称轴对称的对应的函数值，即为所求． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相等， 即：当时，； 故选：B． 3．（2026·陕西榆林·模拟）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 4．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作轴，与抛物线交于点D．若，，则线段的长是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由题意易得点，设点B、D的横坐标分别为、，则有，然后可得二次函数的对称轴为直线，进而问题可求解． 【详解】解：令，则有，即， ∵， ∴， 设点B、D的横坐标分别为、， ∵轴，， ∴，即， 根据二次函数的对称性可得：二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴； 故答案为3． 二次函数图象与性质的综合探究题型04 1．（2026·江苏连云港·模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为， 故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，；故B选项正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意； 由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 2．如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③抛物线上有点和，若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．先根据抛物线解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，根据函数的最值判断①；根据函数的图象可判断②；根据抛物线的对称轴和二次函数的性质可判断③；当时求出函数解析式，再求出A，B坐标，根据m的取值范围得出的取值范围，从而判断④． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点和， ∴当时，x的取值范围为，且最小值为，故①②正确； ∵对称轴为直线，，且， ∴到x轴的距离小于到x轴的距离， ∴，故③错误； 当时，， 令，则， 解得， ∴， 若，则， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 3．已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值； (2)若点，位于对称轴右侧的抛物线上，且，试比较与的大小关系； (3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标，当该函数有最小值0 (2) (3)可以，抛物线可以由抛物线向左平移10个单位得到 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可； （3）根据平移的原则上“加下减左加右减”即可得出． 【详解】（1）二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标，当该函数有最小值0； （2）∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）∵抛物线和抛物线的二次项系数相同， ∴抛物线可以由抛物线平移得到． ∵， ∴抛物线可以由抛物线向左平移10个单位得到． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解答本题的关键． 4．【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】 （1）如图， （2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）略 （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去）， 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 5．在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． （1）若， ①当时，y的取值范围是______； ②若时，，则b的取值范围是______； （2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值． （3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）a的值为0或或2；（3）或或 【分析】（1）①根据题意可得根据自变量的范围求解即可； ②根据，时，，此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即，再根据在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小，得到当时，，再利用二次函数的对称性求解即可； （2）分，和三种情况求解即可； （3）画出对应的函数图像，分当时和当时，利用数形结合的思想求解即可. 【详解】解：（1）①由题意得，， ∵，当x=1时，y有最小值为1， ∴， ②∵，时，， ∴此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即， 又∵在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小， ∴当时，， 又∵时，， ∴由对称性可知时，， ∴ ∴； （2） 当时，最低点，最高点， ， ∴，． 当时，最低点是顶点，最高点， ， ∴（舍），（舍）． 当时，最低点是顶点，最高点， ，∴，（舍）． 当时，不合题意． 综上，a的值为0或或2． （3）当时，如图所示， 由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或， 当时，解得 ∴不成立； 当时，解得 ∴不成立； 时，解得 ∴此时； 时，解得， ∴此时； 所以或 当时，由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或， 同理可以求得 或； ∴综上所述，或或. 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的对称性，二次函数的增减性等等，解题的关键在于能够采用数形结合的思想进行求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $