5.2 二次函数的图象 拓展作业2026-2027学年北师大版九年级数学上册

5.2 二次函数的图象 拓展作业2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．把二次函数化为顶点式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．对二次函数的图象下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．当时随增大而增大 D．最小值是4 6．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．将抛物线平移后，得到抛物线对应的函数解析式为，则平移的方向和距离是（   ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 8．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，随的增大而增大，⑤（为任意实数）．其中结论正确的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 12．已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，则a的值是________． 13．已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 14．已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 15．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 三、解答题 16．已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 17．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 18．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值． 19．如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为．若，求抛物线的表达式． 20．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C C D C C B 1．【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据式子的特点，利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了化二次函数一般式为顶点式，正确应用完全平方公式是解题关键． 4．【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足二次函数的解析式． 由于抛物线过、两点，则把、分别代入得，，然后计算即可得到与的大小关系． 【详解】解：把、分别代入得， ， ∴ ， ∴， ∴，即． 故选C． 5．【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：抛物线 的顶点为 ，抛物线 的顶点为 ， 要将点 平移到点 ，需要向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度． 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据图象如何判断a、b、c的符号． 通过图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，可推导a、b、c的符号，进而判断选项的正确性． 【详解】解：由函数图象，可得： ∵函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴， 故正确的结论是C． 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①；根据，可判断②；根据对称性求得时的函数值小于，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故结论①错误； ②∵，，， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， 又∵当时，， ∴当时，，故结论③错误； ④当时，随的增大而减小，故结论④错误； ⑤当时，取得最小值，此时最小值为， 而当时，， ∴， ∴，即，故结论⑤正确； ∴结论正确的个数为． 故选：B． 11．【答案】 2 小 0 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 12．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线形状由二次项系数绝对值决定，开口方向由二次项系数正负决定是解题的关键． 二次函数的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的正负决定，形状相同则绝对值相等，开口方向相反则符号相反． 【详解】解：抛物线与的形状相同， 因此，即， 开口方向相反，因此与符号相反， 故答案为：． 13．【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即． 设二次函数解析式为，其中为顶点坐标， 代入，得． 取，得． 故答案为． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵函数图象开口向下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，此时的取值范围是． 故答案为： 15．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 16．【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】（）把点坐标代入二次函数解析式可得的值，进而把点坐标代入二次函数解析式可求出的值； （）由（）可得点坐标，再根据对称轴为轴可得点的坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数， 把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为轴，点的对称点为点， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小； （4）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点为，为最高点， ∴时，有最大值． 17．【答案】 如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接 18．【答案】a＝2，b＝﹣4，c＝2 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值． 【详解】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1， 当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象， ∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝2． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 19．【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出原抛物线顶点D的坐标，再求出，得到，设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，则，，抛物线的解析式为，即可求出；进一步求出，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵原抛物线解析式为， ∴，原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； 设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线， ∴，，抛物线的解析式为， ∴； 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 综上所述，或， ∴抛物线的表达式为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象平移的特点是解题的关键． 20．【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $