5.4 二次函数与一元二次方程 同步分层训练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

【5.4 二次函数与一元二次方程】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.4 二次函数与一元二次方程，覆盖二次函数图象与 x 轴交点同一元二次方程根的关系、判别式判断交点个数、利用图象求方程的近似根、二次函数与不等式综合等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．二次函数 的图象与 x 轴的交点坐标是（　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 令 得 ，即 ，所以 或 。 因此图象与 x 轴的交点坐标是 和 。故选 A。 2．下列二次函数的图象与 x 轴有两个交点的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 逐个计算判别式：A 中 ，与 x 轴没有交点； B 中 ，与 x 轴只有一个交点； C 中 ，与 x 轴有两个交点； D 中 ，与 x 轴没有交点。故选 C。 3．抛物线 与坐标轴的交点共有（　） A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个 【答案】B 与 x 轴的交点：令 得 ， 或 ，即 、，共 2 个； 与 y 轴的交点：令 得 ，即 ，1 个。 所以与坐标轴的交点共有 3 个（注意不要漏掉与 y 轴的交点）。故选 B。 4．已知抛物线 与 y 轴交于点 ，则它与 x 轴的交点个数是（　） A．0 个 B．1 个 C．无法确定 D．2 个 【答案】D 把 代入得 ，所以 。 又 ，所以图象与 x 轴有 2 个交点。故选 D。 5．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 A、B，顶点为 D。则方程 的实数根的个数是（　） A．0 个 B．1 个 C．4 个 D．2 个 【答案】D 方程 的根，就是图象与直线 交点的横坐标。 由图象知顶点 D 的纵坐标是 ，抛物线开口向上，所以它与直线 有两个不同的交点， 即方程有 2 个不相等的实数根。故选 D。 6．已知二次函数 的部分对应值：当 时 ；当 时 ；当 时 ；当 时 。则方程 的一个解的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 由表格知 时 ， 时 ，函数值由负变正， 说明在 0.5 与 0.6 之间函数值为 0，即方程 有一个解在 0.5 与 0.6 之间。故选 B。 7．已知抛物线 开口向上，与 x 轴交于点 和 ，则不等式 的整数解有（　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 开口向上时，图象在 x 轴下方的部分介于两个交点之间，所以不等式的解集是 。 其中的整数只有 ，共 1 个。故选 A。 8．抛物线 与直线 交于点 和 ，则不等式 的解集是（　） A． B． C． D． 或 【答案】B 由 得 ，即 或 ，与交点横坐标一致。 抛物线开口向下，在两个交点之间它的图象位于直线上方，所以解集是 。故选 B。 9．若抛物线 与直线 有两个不同的公共点，则 c 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 联立得 ，整理为 。 有两个不同的公共点，等价于这个方程有两个不相等的实数根， 所以 ，解得 。故选 A。 10．已知抛物线 与直线 交于 A、B 两点，且 ，则 m 的值是（　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 由 得 ，设两根为 、，则 ，。 所以 ， 两边平方得 ，解得 。故选 C。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．抛物线 与 y 轴的交点坐标是            。 【答案】 求与 y 轴的交点，令 ，得 ，所以交点坐标是 。 12．若抛物线 的顶点在 x 轴上，则             。 【答案】1 ，所以顶点为 。 顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标为 0，即 ，所以 。 13．若抛物线 与直线 交于点 A、B，则线段 AB 的长是            。 【答案】 联立得 ，即 ，解得 或 。 当 时 ；当 时 。所以 、， 故 。 14．已知抛物线 经过点 和 ，则             ，            。 【答案】； 抛物线与 x 轴交于 、，说明 和 2 是方程 的两根。 由根与系数的关系，，。 15．抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，则 的面积是            。 【答案】3 令 得 ，即 ，所以 、，。 令 得 ，所以 ，点 C 到 x 轴的距离为 2。 所以 。 16．抛物线 与直线 交于点 、，则关于 x 的方程 的两根之和为            。 【答案】2 把 移项，就得到 。 这个方程的根正是两图象交点的横坐标，即 和 ， 所以两根之和为 。 三、解答题（共 46 分） 17．已知抛物线 。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图象与 x 轴的交点坐标； （3）当 时，求 x 的取值范围。 【答案】（1），顶点 ，对称轴是直线 ；（2）、；（3） （1）， 所以顶点为 ，对称轴是直线 。 （2）令 得 ，即 ，所以 或 ， 图象与 x 轴的交点为 和 。 （3）因为 ，开口向上，图象在 x 轴下方的部分介于两个交点之间，所以 。 18．已知函数 。 （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象（可先取 列表）； （2）根据图象求方程 的近似解（精确到 0.1）； （3）若直线 与图象交于点 M、N，根据图象写出点 M、N 的横坐标。 【答案】（1）图象见解析；（2），；（3）、 的横坐标分别为 和 （1）列表：当 时， 依次为 。描点、连线， 得到开口向上、顶点为 、对称轴为直线 的抛物线。 （2）图象与 x 轴的两个交点分别在 与 、 与 之间，由图象读出 ，。 （3）直线 与图象交于 和 ，所以点 M、N 的横坐标分别为 和 。 19．如图，已知抛物线 经过点 、、。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求不等式 的解集； （3）当 时，求 y 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） （1）因为图象与 x 轴交于 、，可设 。 把 代入得 ，，所以 。 （2），开口向下，图象在 x 轴上方的部分位于两个交点之外，所以解集是 或 。 （3），顶点为 ，对称轴是直线 。 在 上 y 随 x 的增大而增大，所以 时 y 取最大值 1， 时 y 取最小值 ， 即 。 20．如图，已知二次函数 的图象与直线 交于点 M、N。 （1）求点 M、N 的坐标； （2）当 x 取何值时，二次函数的函数值小于一次函数的函数值？ （3）将抛物线向上平移 个单位，若平移后的抛物线与直线 只有一个公共点，求 k 的值。 【答案】（1）、；（2）；（3） （1）联立得 ，整理为 ，解得 或 。 当 时 ；当 时 ，所以 、。 （2）二次函数的函数值小于一次函数的函数值，即 ，整理得 ， 解得 （也可由图象看出：两个交点之间抛物线在直线的下方）。 （3）平移后抛物线为 ，与 联立得 。 只有一个公共点，则 ，所以 。 21．已知关于 x 的二次函数 （m 为常数）。 （1）若它的图象与 x 轴有两个不同的交点，求 m 的取值范围； （2）若它的图象与 x 轴两交点间的距离为 ，求 m 的值； （3）若它的图象与 x 轴的两个交点分别在原点的两侧，求 m 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3） （1）图象与 x 轴有两个不同的交点，则 ，所以 。 （2）设两交点横坐标为 、，则两交点间的距离为 。 由 平方得 ，解得 （此时 ，两交点距离确为 ）。 （3）两交点分别在原点两侧，等价于方程 的两根异号， 由根与系数的关系，两根之积 （此时 也成立），所以 。 22．已知二次函数 。 （1）当 时，求 y 的最大值和最小值； （2）当 时，若直线 与这段图象恰有两个公共点，求 k 的取值范围。 【答案】（1）最大值是 0，最小值是 ；（2） （1），顶点为 ，对称轴是直线 ，且 在区间内， 所以 时 y 取最小值 ；又 和 时 ，所以最大值是 0。 （2）当 时，直线只与图象在顶点处有一个公共点； 当 时，直线与图象在对称轴两侧各有一个公共点，恰有两个； 当 时，直线经过 和 两个端点，也恰有两个公共点； 当 时直线与这段图象没有公共点。综上，。 23．已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），顶点为 P。 （1）用含 m 的式子表示 AB 的长，并写出 m 的取值范围； （2）若 是等腰直角三角形，求 m 的值； （3）若 是等边三角形，求 m 的值。 【答案】（1）（）；（2）；（3） （1），所以顶点 。 图象与 x 轴有两个交点，则 ，即 ；此时 。 （2）点 P 到 x 轴的距离就是 。等腰直角三角形中，底边上的高等于底边的一半， 即 。设 ，则 ，得 ， 所以 ，（此时 ，，符合要求）。 （3）等边三角形中，高 ，即 ， 解得 ，所以 ，（此时 ，，符合要求）。 24．已知抛物线 与直线 交于点 M、N。 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若 ，求 m 的值； （3）若抛物线与直线有两个不同的公共点，求 m 的取值范围。 【答案】（1）、，顶点 ；（2）；（3） （1）令 得 ，即 ，所以交点为 、； 又 ，所以顶点为 。 （2）联立得 ，即 ，设两根为 、， 则 ，，所以 。 直线 上横坐标相差 的两点，纵坐标也相差 ，由勾股定理得 ，即 ， 得 ，所以 （此时交点为 、，）。 （3）有两个不同的公共点，则 ，所以 。 5.4 二次函数与一元二次方程_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【5.4 二次函数与一元二次方程】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.4 二次函数与一元二次方程，覆盖二次函数图象与 x 轴交点同一元二次方程根的关系、判别式判断交点个数、利用图象求方程的近似根、二次函数与不等式综合等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．二次函数 的图象与 x 轴的交点坐标是（　） A．、 B．、 C．、 D．、 2．下列二次函数的图象与 x 轴有两个交点的是（　） A． B． C． D． 3．抛物线 与坐标轴的交点共有（　） A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个 4．已知抛物线 与 y 轴交于点 ，则它与 x 轴的交点个数是（　） A．0 个 B．1 个 C．无法确定 D．2 个 5．如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 A、B，顶点为 D。则方程 的实数根的个数是（　） A．0 个 B．1 个 C．4 个 D．2 个 6．已知二次函数 的部分对应值：当 时 ；当 时 ；当 时 ；当 时 。则方程 的一个解的取值范围是（　） A． B． C． D． 7．已知抛物线 开口向上，与 x 轴交于点 和 ，则不等式 的整数解有（　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．抛物线 与直线 交于点 和 ，则不等式 的解集是（　） A． B． C． D． 或 9．若抛物线 与直线 有两个不同的公共点，则 c 的取值范围是（　） A． B． C． D． 10．已知抛物线 与直线 交于 A、B 两点，且 ，则 m 的值是（　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．抛物线 与 y 轴的交点坐标是            。 12．若抛物线 的顶点在 x 轴上，则             。 13．若抛物线 与直线 交于点 A、B，则线段 AB 的长是            。 14．已知抛物线 经过点 和 ，则             ，            。 15．抛物线 与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，则 的面积是            。 16．抛物线 与直线 交于点 、，则关于 x 的方程 的两根之和为            。 三、解答题（共 46 分） 17．已知抛物线 。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图象与 x 轴的交点坐标； （3）当 时，求 x 的取值范围。 18．已知函数 。 （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象（可先取 列表）； （2）根据图象求方程 的近似解（精确到 0.1）； （3）若直线 与图象交于点 M、N，根据图象写出点 M、N 的横坐标。 19．如图，已知抛物线 经过点 、、。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求不等式 的解集； （3）当 时，求 y 的取值范围。 20．如图，已知二次函数 的图象与直线 交于点 M、N。 （1）求点 M、N 的坐标； （2）当 x 取何值时，二次函数的函数值小于一次函数的函数值？ （3）将抛物线向上平移 个单位，若平移后的抛物线与直线 只有一个公共点，求 k 的值。 21．已知关于 x 的二次函数 （m 为常数）。 （1）若它的图象与 x 轴有两个不同的交点，求 m 的取值范围； （2）若它的图象与 x 轴两交点间的距离为 ，求 m 的值； （3）若它的图象与 x 轴的两个交点分别在原点的两侧，求 m 的取值范围。 22．已知二次函数 。 （1）当 时，求 y 的最大值和最小值； （2）当 时，若直线 与这段图象恰有两个公共点，求 k 的取值范围。 23．已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），顶点为 P。 （1）用含 m 的式子表示 AB 的长，并写出 m 的取值范围； （2）若 是等腰直角三角形，求 m 的值； （3）若 是等边三角形，求 m 的值。 24．已知抛物线 与直线 交于点 M、N。 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若 ，求 m 的值； （3）若抛物线与直线有两个不同的公共点，求 m 的取值范围。 5.4 二次函数与一元二次方程_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $