5.4二次函数与一元二次方程（分层作业，8大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.4 二次函数与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与坐标轴的交点问题 题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型03 图像法求一元二次方程的近似根 题型04 二次函数的函数值计算 B组 能力进阶 题型01 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型02 根据交点确定不等式的解集 题型03 抛物线与直线的交点坐标及应用 C组 思维拔高 题型 二次函数的综合探究 二次函数与坐标轴的交点问题题型01 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（    ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 2．已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 3．如图抛物线和都经过轴上的、两点，两条抛物线的顶点分别为、，当四边形的面积为时，求的值．    4．（24-25九年级上·天津·月考）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式和直线的解析式； (2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，当点在第一象限时，满足，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，点N在y轴的左侧，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m． (1)当时，求点N的纵坐标； (2)若点N的纵坐标为，求m的值； (3)过点N作轴于点． ①当抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值． ②当时，将绕着平面内某点逆时针旋转得到，点N、的对应点分别为点A、C．以线段为对角线作矩形，当矩形的顶点恰好有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点A的横坐标． 根据二次函数图像确定相应方程根的情况题型02 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（    ） A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6 C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6 3．（24-25九年级上·天津·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．有下列结论： ①； ②当时，若点在该抛物线上，则； ③若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点，． (1)求抛物线的表达式； (2)若关于x的方程（t为实数）无解，求t的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点C重合），过点P作轴于点Q，点在y轴上，以EQ，PQ为邻边作矩形PQEF． ①当点Q与点E重合时，求m的值； ②当在矩形PQEF内的抛物线所对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 图像法求一元二次方程的近似根题型03 1．根据抛物线与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是__________． 3．利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 4．利用二次函数的图象求下列方程的近似根． （1）2x2-4x=5； （2）x2+2x-10=3． 5．如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：/、滑行距离单位：的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 m 64 75 … (1)表格中__________． (2)结合表格数据，补充下列内容： ①画出关于的函数图像；    ②已知是的二次函数，则黑球最大的滑行距离为_______． (3)若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以/的速度匀速向右直线运动，利用（）中图像分析，黑球能否与小车相撞？若相撞，在（）中坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离． 二次函数的函数值计算题型04 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．已知二次函数，则当时，的值为__________；当时，的值为__________． 4．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数，求： (1)当时，函数的值； (2)当时，的值． 利用不等式求自变量或函数值的范围题型01 1．已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·湖南岳阳·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则________． 4．已知二次函数.    (1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； (2)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围. 5．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 根据交点确定不等式的解集题型02 1．抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④对任意实数m都有；⑤，其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式-x2+4x＞2x的解集是 ___． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 5．阅读下面材料： 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于和两点． 观察图象可知：①当或时，；②当或时，，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集． 有这样一个问题：求不等式的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（）、（）、（）补充完整： （）将不等式按条件进行转化： 当时，原不等式不成立． 当时，原不等式可以转化为． 当时，原不等式可以转化为． （）构造函数，画出图象． 设，，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线如图所示，请在此坐标系中画出抛物线．（不用列表） （）确定两个函数图象公共点的横坐标． 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为__________． （）借助图象，写出解集． 结合（）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为__________． 抛物线与直线的交点坐标及应用题型03 1．（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与y轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，y随x增大而增大； ③方程的两个根是：，； ④方程有一个实根大于2； ⑤．其中结论正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 4．（24-25九年级下·江苏·月考）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 5．（2025·湖北咸宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上不与，重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，当点在第一象限时，若，求的值； (3)点在抛物线上且不与点重合，点的横坐标为．分别过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，将四边形的周长记为． 直接写出关于的函数解析式； 当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 二次函数的综合探究题型 1．二次函数的图象上有两点，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 2．已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 4．已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________． (2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”； (3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 二次函数与一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与坐标轴的交点问题 题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型03 图像法求一元二次方程的近似根 题型04 二次函数的函数值计算 B组 能力进阶 题型01 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型02 根据交点确定不等式的解集 题型03 抛物线与直线的交点坐标及应用 C组 思维拔高 题型 二次函数的综合探究 二次函数与坐标轴的交点问题题型01 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（    ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等内容，关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．①根据抛物线的性质判断a、b、c的正负性，即可判断；②由抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，得当时，函数值为负，则，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③由函数与方程的关系，即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故选：C． 2．已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题关键是一元二次方程根的判别式的应用，需注意抛物线的二次项系数不能为(否则为一次函数，不满足抛物线的定义)．首先明确抛物线与轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式；然后代入判别式公式建立关于的方程，求解后验证不为0即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴对应的一元二次方程有两个相等的实数根，且， 对于一元二次方程， 判别式，解得，且符合抛物线的条件； 故答案为：． 3．如图抛物线和都经过轴上的、两点，两条抛物线的顶点分别为、，当四边形的面积为时，求的值．    【答案】． 【分析】此题考查了二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点、解一元二次方程，根据抛物线的解析式和图象，得出点、、、的坐标和，然后求得以表示的、的距离，再根据面积之间的数量关系，求得，列出关于的方程，通过解方程求得值即可． 【详解】由抛物线和得： ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， 代入得：． 4．（24-25九年级上·天津·月考）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式和直线的解析式； (2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，当点在第一象限时，满足，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再将点代入关系式可得答案；然后根据待定系数法求出直线的关系式即可； （2）先设，再表示点，，然后根据可得，求出解可得答案； （3）作，作轴，可说明是等腰直角三角形，即可得，再根据勾股定理求出，接下来设，则点，进而表示出，然后解一元二次方程求出解可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上， ， ， . 令得， ， 设，根据题意，得 解得， ； （2）解：设，则，， ， ， 解得，（舍）， ； （3）解：作于点， 作轴交于， ∵点， ∴. ∵， ∴. ， ， ， ， ， 设， ， ， 即或， 则或，   ∴或， 此方程无解，或或， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，点N在y轴的左侧，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m． (1)当时，求点N的纵坐标； (2)若点N的纵坐标为，求m的值； (3)过点N作轴于点． ①当抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值． ②当时，将绕着平面内某点逆时针旋转得到，点N、的对应点分别为点A、C．以线段为对角线作矩形，当矩形的顶点恰好有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点A的横坐标． 【答案】(1)1 (2)或 (3)①或；②或或 【分析】（1）根据题意表示出点的坐标，设点N的坐标为，根据对称点的特征，利用中点坐标公式得出，结合即可求解； （2）设点N的坐标为，根据题意求出的值，再由（1）中的结论，即可求解； （3）①分别求出抛物线的对称轴、顶点的坐标、与轴交点的坐标，利用可得出点N的坐标为，根据题意分3种情况讨论：当都在对称轴的左侧；当在对称轴的左侧，在对称轴的右侧或对称轴上；当都在对称轴的右侧且轴的左侧；结合图象分别求出对应情况的最高点和最低点的纵坐标之差，列出方程求出的值，结合每种情况的范围即可得出答案；②先求出当时，点的坐标，得出点绕着原点逆时针旋转对应点的坐标，再利用图形变换的性质可设，则，，利用矩形的性质得出，再分情况讨论求出的值，即可求出点A的横坐标． 【详解】（1）解：点M的横坐标为m， ， 设点N的坐标为， 点N关于点M的对称点恰好落在y轴上， ， ， 当时，， 此时点N的纵坐标． （2）解：设点N的坐标为， 由题意得，， 解得：，， 由（1）得，， 当时，； 当时，； 综上所述，m的值为或． （3）解：①， 抛物线对称轴为，顶点坐标为， 令，则， 抛物线与轴的交点为， 设点N的坐标为， 由（1）得，，， ， 点N的坐标为； 下面分3种情况讨论： （i）当都在对称轴的左侧，则， 此时抛物线在内部的最高点为点，最低点为点， 最高点和最低点的纵坐标之差为，不符合题意； （ii）当在对称轴的左侧，在对称轴的右侧或对称轴上，则，即， 此时抛物线在内部的最高点为点，最低点为点， 此时抛物线在内部的最高点为点，最低点为点， ， 解得：（舍去），， 的值为； （iii）当都在对称轴的右侧且在轴的左侧，则， 此时抛物线在内部的最高点为点，最低点为点， ， 解得：， 的值为； 综上所述，的值为或； ②当时，，， 点N关于点M的对称点，轴于点 点的坐标为，， 点绕着原点逆时针旋转的对应点分别为，，， 将绕着平面内某点逆时针旋转得到，点N、的对应点分别为点A、C， 由图形变换的性质可知，点、点、点可通过相同的平移变换分别得到点A、C、B， 设，则，， 又矩形， 点的坐标为， 轴，轴， 下面分情况讨论： 若抛物线经过点，则， 解得：， 点A的横坐标为； 若抛物线经过点，则， 解得：， 点A的横坐标为； 若抛物线经过点，则， 解得：， 点A的横坐标为； 若抛物线经过点，则， 解得：， 点A的横坐标为； 综上所述，点A的横坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、中点坐标公式、旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握相关知识点，学会分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和推理论证能力，适合有能力解决压轴难题的学生． 根据二次函数图像确定相应方程根的情况题型02 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 2．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（    ） A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6 C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6 【答案】B 【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可． 【详解】解：根据题意知： ∵点，， 故对于二次函数与线段有公共点时， 即当x=4时，， 即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的解集为或； 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算． 3．（24-25九年级上·天津·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．有下列结论： ①； ②当时，若点在该抛物线上，则； ③若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入 得，先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可求解；②先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可求解；③根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，即可求解． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， 如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧， ∴当时，， 由于当，， ∴假设不成立，抛物线的开口不能向上， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：， 即， ，， ， ，，，， ∴方程的两个根的积大于0， 即， ， ， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右上方， ∴顶点纵坐标：， ， ， 故①正确； ②， ∴当 时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ， 故②正确； ③方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ． ∵把代入得，即， ， 即， ， ，即， ∵，在抛物线上， ∴m，n为方程的两个根， ， ， ， ， ． 故③错误． 综上，正确的结论有：①②． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点，． (1)求抛物线的表达式； (2)若关于x的方程（t为实数）无解，求t的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点C重合），过点P作轴于点Q，点在y轴上，以EQ，PQ为邻边作矩形PQEF． ①当点Q与点E重合时，求m的值； ②当在矩形PQEF内的抛物线所对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①②或 【分析】（1）掌握二次函数图像上点的坐标特征，利用待定系数法将已知点和的坐标代入抛物线解析式求解； （2）理解一元二次方程无解与二次函数最值的关系，通过求抛物线的最大值来确定的取值范围； （3）①掌握点的坐标与图形位置的关系，根据点与重合时的坐标特征列方程求解；②理解二次函数的增减性与对称轴的关系，结合矩形的位置分析抛物线在矩形内的增减性，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵点，， ∴， 将代入，得： 解得： ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，且抛物线有最大值，最大值为， 方程无解， 无解， 故：， ． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵轴于点， ∴，即：， ∵点与点重合，点， ∴， 解得：． ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵点在抛物线上， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵点， ∴矩形的水平方向是从点的横坐标到， 垂直方向是从点的纵坐标到点的纵坐标， ∵矩形内的抛物线所对应的函数值随的增大而减小， ∴， ∵点与点重合，， ∴当时，矩形水平方向从到的范围在对称轴右侧，且抛物线在此范围内随的增大而减小， 当时，矩形水平方向从到的范围也在对称轴右侧，抛物线在此范围内随的增大而减小． 【点睛】本题整体考查二次函数的综合应用，解题关键在于综合掌握二次函数图像上点的坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系、点的坐标与图形位置的关系以及二次函数的增减性与对称轴的关系，通过这些知识点来解决抛物线解析式求解、方程无解时参数范围确定以及结合矩形分析点的坐标和函数增减性等问题． 图像法求一元二次方程的近似根题型03 1．根据抛物线与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线与x轴交点的坐标与对应的一元二次方程的解的关系进行解答即可． 【详解】解：要求与x轴的交点的坐标，令，解出x写出坐标即可，即一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应，所以根据抛物线与x轴的交点的横坐标，可以求出的近似解． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点横坐标相对应是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 3．利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 【答案】． 【分析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，它们交点的横坐标的值即为一元二次方程的解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，如图所示： 由图形可知，二次函数与一次函数的交点坐标是（−0.8，1.2），（1.3，3.3）， 所以一元二次方程的近似根为． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，准确作出函数图象是解题的关键． 4．利用二次函数的图象求下列方程的近似根． （1）2x2-4x=5； （2）x2+2x-10=3． 【答案】（1）x1≈-0.9，x2≈2.9．（2）x1≈-4.8，x2≈2.8． 【分析】画出抛物线y=2x2-4x-5与抛物线y=x2+2x-13的图象，观察它们的图象，再找出当函数值y=0时（即抛物线与x轴的交点）自变量x就是它们的解． 【详解】（1）原方程变为：y=2x2-4x-5，画函数y=2x2-4x-5的图象． 列表： x -2 -1 0 1 2 3 4 y 11 1 -5 -7 -5 1 11 描点、连线，如图1所示．由图象知方程2x2-4x=5有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间，先求-1和0之间的根， x -0.9 -0.8 -0.7 y 0.22 -0.52 -1.22 因此，x=-0.9是方程的近似根． 求2和3之间的根： x 2.9 2.8 2.7 y 0.22 -0.52 -1.22 因此，x=2.9是方程的近似根． 综上所述，一元二次方程2x2-4x=5的解是x1≈-0.9，x2≈2.9． （2）同（1），一元二次方程x2+2x-10=3解是x1≈-4.8，x2≈2.8． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．此题实际上是利用二次函数的图象解一元二次方程． 5．如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：/、滑行距离单位：的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 m 64 75 … (1)表格中__________． (2)结合表格数据，补充下列内容： ①画出关于的函数图像；    ②已知是的二次函数，则黑球最大的滑行距离为_______． (3)若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以/的速度匀速向右直线运动，利用（）中图像分析，黑球能否与小车相撞？若相撞，在（）中坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离． 【答案】(1)； (2) ①描点，作图如下， ②； (3)黑球能会与小车相撞， 在坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离如下图， 【分析】（1）根据表格总结规律即可得解； ①利用描点法解答即可；②利用待定系数法求得与之间的函数以及与之间的函数关系，令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可； （3）假定经过秒黑球会与小车相撞，列方程，求解即可得解． 【详解】（1）解：由表格可得，滑行距离某一时刻的速度秒前的速度秒前的滑行距离， ∴， 故答案为：； （2）解：①略 ②由表格可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为， 当时，解得， ∴， 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为， 因为 当时代入得： ． 黑球最大的滑行距离为， 故答案为：． （3）解：由题意可得小车的行驶距离与时间之间的关系为，在同一坐标系中作图如下： 由图可知，黑球会与小车相撞， 假定经过秒黑球会与小车相撞， ， ，或（舍去） ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 二次函数的函数值计算题型04 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 2．已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 3．已知二次函数，则当时，的值为__________；当时，的值为__________． 【答案】 -4 【分析】本题考查二次函数的函数值求解，第一问将已知的值代入二次函数解析式计算得到的值，第二问将已知的值代入解析式，解一元二次方程得到的值． 【详解】解：当时，将代入得 当时，将代入得 整理得 开平方得． 4．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数，求： (1)当时，函数的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入计算即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， ， ， ． 利用不等式求自变量或函数值的范围题型01 1．已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 2．（2026·湖南岳阳·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线对称性得到的值，将所求式子转化为关于公共纵坐标的表达式，再根据的条件求出的范围，最终得到所求式子的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，对称轴为，且， ∴关于对称轴对称， ∴，得， ∴， 设公共纵坐标， ∵点在上， ∴，即， 代入得， 对于抛物线，纵坐标为的点满足方程， 整理得， ∵方程有两个不等实根， ∴， 得， 由求根公式得较小根， ∵，代入得：， 整理得， ∵左边非负， ∴右边，得， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合和， 得， 将的范围代入，得：． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 4．已知二次函数.    (1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； (2)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围. 【答案】(1) 如图，    (2) 【分析】（1）先解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）当时，函数有最大值为4；当时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 根据对称轴为直线，得抛物线必过点， 当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，； 过以上五点描点、连线作出抛物线． （2）解： 抛物线的顶点坐标为，且， 当时，y有最大值为4； 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可； （3）①根据题意得到，先求出直线的解析式，得到点P，点N的坐标，再利用两点间距离公式求出，建立方程求解即可；②过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，分点P在点A左侧和右侧两种情况讨论，求出的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：∵，且， ∴当时，函数有最小值， 令， 解得：， ∴当或时，函数值为， ∵， ∴当时，； （3）解：①根据题意：， ∵点P在抛物线上，其横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）或（舍去） ∴当是以为底边的等腰三角形时，m的值为； ②如图，过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，当点P在点A左侧时， 则， ∵，，， ∴， ∴， 当点重合时，则，即， 解得：（舍去）或， 当点重合时，则， ∴； 如图，当点P在点A右侧时， 同理，当点重合时，则，即， 解得：或（舍去）， 当点重合时，则， ∴； 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及解析式，二次函数与不等式，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与直线交点问题，熟练掌握数形结合的思想，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据交点确定不等式的解集题型02 1．抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像，写出抛物线在直线上方部分的的范围，即可求解，本题考查了二次函数交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来． 【详解】解：由图像可知，抛物线与直线其中一个交点坐标为， 另一交点横坐标为，代入，解得， 另一交点坐标为， 不等式的解集是， 故选：． 2．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④对任意实数m都有；⑤，其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，由函数图象开口向上推出；由二次函数的图象与轴交于点，，推出抛物线的对称轴为直线：；由函数图象与轴的交点在轴的负半轴，推出；据此即可判断； 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴； ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线：； ∴，即； ∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图象可知：当时，；故③错误； 当时，对应的函数值为， 当时，对应的函数值为， ∵当时，函数取得最小值 ∴，即： ∵， ∴ ∴，即：；故④错误； 将代入， 得， ∵， ∴，即， 则 ， ∴，故⑤正确． 只有②⑤正确． 故选B． 3．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式-x2+4x＞2x的解集是 ___． 【答案】0＜x＜2 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x的交点坐标为（0，0），（2，4）， 所以，不等式-x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2． 故答案为：0＜x＜2 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可； （3）根据图象可以看出k取值范围． 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，． （2）观察图象可知：不等式的解集为或． （3）由图象可知，时，方程无实数根． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可． 5．阅读下面材料： 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于和两点． 观察图象可知：①当或时，；②当或时，，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集． 有这样一个问题：求不等式的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（）、（）、（）补充完整： （）将不等式按条件进行转化： 当时，原不等式不成立． 当时，原不等式可以转化为． 当时，原不等式可以转化为． （）构造函数，画出图象． 设，，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线如图所示，请在此坐标系中画出抛物线．（不用列表） （）确定两个函数图象公共点的横坐标． 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为__________． （）借助图象，写出解集． 结合（）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为__________． 【答案】【答题空1】和． 【答题空2】或． 【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象； （3）根据图象即可直接求解； （4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案． 【详解】（）首先确定二次函数的对称轴， 顶点，与轴交点， 与一个交点， 即可作出二次函数的图象． （）两个函数图象公共点的坐标是和， 则满足的所有的值为和， 故答案是：和． （）不等式， 即①时，，此时的范围是； ②当时，，则． 故答案是：或． 抛物线与直线的交点坐标及应用题型03 1．（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与y轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，y随x增大而增大； ③方程的两个根是：，； ④方程有一个实根大于2； ⑤．其中结论正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线开口方向可得，再根据抛物线的对称轴可得，然后根据抛物线与y的交点位置可得，可判断①；观察图像可知当时，函数值y随着x的增大而增大，即可解答②；求出抛物线经过的另一个点，可解答③；由图象可知抛物线与x轴的一个交点横坐标小于0，再根据对称轴说明④；当时，可得，再根据对称轴可得，然后根据说明⑤即可． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵抛物线与y的交点在正半轴， ∴， ∴，则①正确； 观察图像可知当时，函数值y随着x的增大而增大， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， 则②正确； ∵抛物线的对称轴是，且过点， ∴抛物线经过另一个点， ∴方程的两个根是； 则③正确； 由图象可知抛物线与x轴的一个交点横坐标小于0，且对称轴是， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标大于2， 则④正确； 观察图像，当时，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 则⑤不正确． 所以正确的个数有4个． 故选：B． 2．如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 【答案】## 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为___． 【答案】， 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标，即可求得关于的方程的两根． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解为，， 故答案为：，． 4．（24-25九年级下·江苏·月考）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】(1) (2)①，； ②证明：当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； (3)①；② 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②略 （3）①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 5．（2025·湖北咸宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上不与，重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，当点在第一象限时，若，求的值； (3)点在抛物线上且不与点重合，点的横坐标为．分别过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，将四边形的周长记为． 直接写出关于的函数解析式； 当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； 或或． 【分析】把点，的坐标代入，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，可知，过点作轴，过点作轴交轴于点，根据平行线的性质可知，从而可知，利用锐角三角函数可知，解方程求出的值即可； 利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，把，两点的坐标分别用含的代数式表示出来，可得：，根据的取值范围分三种情况分别求出关于的函数解析式； 根据抛物线的图象与性质，在不同的取值范围内分别求出当随的增大而增大时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，过点作轴交轴于点， 设点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， ，， ， 轴， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， 点的坐标为， ，， ， 整理得：， 解得：； （3）解：设直线的解析式为， 把点点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 此时点的坐标是，点的坐标是， 则点的纵坐标为， 则点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ， 四边形的周长为， 整理得：， 当点在点右侧时， 如下图所示， 则有， 解得：， 当时， 则有，， ； 当点在点的左侧，点的右侧时， 如下图所示， 则有， 解得：， 则有， ； 当点在点左侧时，，即， 如下图所示， 则有， ， 综上所述，； 当时，， 二次函数的图象开口向下，对称轴是， ， 当时，随的增大而增大； 当时，， 二次函数的图象开口向下，对称轴是， ， 时，随的增大而增大； 当时，， 二次函数图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 综上所述，当随的增大而增大时，的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、二次函数的图象与性质、锐角三角函数，解决本题的关键利用分类讨论的思想分情况求解． 二次函数的综合探究题型 1．二次函数的图象上有两点，则的值是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 【答案】B 【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可. 【详解】∵二次函数y=−(x−2)2+a 的图象上有两点(-1，y1)，(5， y2)， y1 =-(-1-2)2 +a， y2 = (5-2)2+a， ∴y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-×9+×9=0， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键. 2．已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________． 【答案】 【分析】先求出点，，证明是等腰直角三角形，则，由得到，设直线与y轴交点为点D ,可证是等腰直角三角形，，得到D的坐标是，用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式与二次函数联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值． 【详解】解：当时，，解得， 由题意可知，， 当时，， ∴， 如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为点D , ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得或, 即点P的坐标是， ∴点P的横坐标的值为． 故答案为： 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式、函数图象的交点问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式以及距离最短问题，解答本题的关键是主要找到点P的位置．由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】把代入，得 ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 4．已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． （1）将，代入，即可求解； （2）设，则，，且，分情况：①当点P位于直线的右侧时，则；②当点P位于直线的左侧及其上时，则，分别化简求得对应的二次函数最值，综合求得最大值即可； （3）由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：的面积存在最大值；理由如下： 设，则， ， 令，则，解得， ， ①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， 当时，有最大值，此时； ②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， ∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上， ∴， 当时，有最大值，此时； 综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： 如图2， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 设， ∵在右侧， 则， 点在直线上， ， 解得：或， 或； 综上，的坐标为或． 5．（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________． (2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”； (3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”． 【答案】(1)将原函数先向右平移1个单位，再向下平移4个单位； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位 (3)4或 【分析】（1）根据题意，求出抛物线L：的顶点坐标，即可得到抛物线L的“衍生路径”和“衍生距离”； （2）先根据平移的规律写出抛物线的表达式，再求出抛物线L与坐标轴的交点，根据可求出点E、F的坐标，最后代入的表达式，求出m，n，从而确定“衍生路径”； （3）先写出抛物线的表达式，求出P、Q的坐标，得到、的长度，再根据与相似分情况讨论，求出t的值，进而得到“衍生距离”． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到抛物线L：， ， ∴抛物线L的“衍生路径”为向右平移1个单位，再向下平移4个单位，“衍生距离”为， 故答案为：向右平移1个单位，再向下平移4个单位；； （2）解：抛物线，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位 抛物线， 令，则，解得，， 点在点的左侧， ，， 当时，， ， ， ，， ，， 将点，分别代入中， 得， 解得，， 抛物线的“衍生路径”是：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （3）解：由题意可得抛物线， 令， 解得，， ，与x轴的右交点为P， ， ， 当时，， ， ， ， 由（2）知，，分两种情况讨论： ①当时，， ， 解得（舍去），， 此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是4； ②时，， ， 解得（舍去），， 此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是， 综上所述，平移前后对应点之间的“衍生距离”是4或． 【点睛】本题考查了二次函数的平移、二次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形和相似三角形的性质等知识，注意分类讨论思想的应用． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $