5.1 认识二次函数课堂同步分层训练卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

【5.1 认识二次函数】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.1 认识二次函数，覆盖二次函数的定义、一般式与各项系数、由实际情境列函数关系式、自变量取值范围等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 二次函数必须能化成 （）的形式。 A 中最高次为 1 次，是一次函数；B、D 中含有分式 、，不是整式； C 中 ，二次项系数为 1，是二次函数。故选 C。 2．二次函数 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 二次函数 中， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项，注意连同前面的符号一起读出。 所以 ，，。故选 A。 3．若 是关于 x 的二次函数，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 二次函数要求二次项系数不为 0，即 ，所以 。 注意 只是 的一部分，把范围缩小了。故选 C。 4．已知二次函数 ，当 时，y 的值是（　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 把 代入：。故选 C。 5．若二次函数 的二次项系数为 3，则 m 的值是（　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 二次项系数是 ，由题意得 ，即 ，所以 。 检验： 或 时，，函数确实是二次函数，两个值都符合题意。故选 C。 6．已知 y 与 x 的部分对应值：当 时 ；当 时 ；当 时 。则 y 与 x 之间的函数关系式可能是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把三组对应值逐一检验。A 中 ，，，三组全部符合； B 中当 时 ，C 中对应值为 2、4、6， D 中当 时 ，都不符合。故选 A。 7．用一根长 20 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 cm，面积为 cm2，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】B 周长 20 cm，相邻两边之和为 10 cm，另一边长为 cm， 所以 。故选 B。 8．已知二次函数 ，当 时，x 的值是（　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】B 令 ，因式分解得 ， 所以 或 。检验：，，都成立。故选 B。 9．已知二次函数 ，当 时 ，当 时 ，则 p、q 的值分别是（　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 分别代入得 ，即 。 两式相减得 ，；代回得 。 检验： 时 ， 时 。故选 A。 10．下列函数中，一定（无论字母取何值）是二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】B A 中 可能等于 0，此时不是二次函数；C 中 可能等于 0，此时变成一次函数；D 中含分式 ，不是整式。 B 中 ，所以 恒成立，二次项系数一定不为 0。故选 B。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．二次函数 的二次项系数是            ，一次项系数是            ，常数项是            。 【答案】；； 把函数写成一般式 ， 所以二次项系数为 ，一次项系数为 0，常数项为 1。 一次项“不存在”时系数是 0，不能答“没有”。 12．汽车刹车后滑行的距离 （m）与滑行时间 （s）满足 ，则 s 是 t 的            次函数，二次项系数是            。 【答案】二； 把式子整理成一般式：。 右边是含 t 的整式，自变量的最高次数是 2，所以 s 是 t 的二次函数。 二次项系数是 （要连同负号一起写），一次项系数是 15，常数项是 0。 13．一张边长为 cm 的正方形铁片，在四个角上各剪去一个边长为 2 cm 的小正方形，做成无盖长方体盒子。设盒子底面积为 cm2，则 S 与 x 的函数关系式是            ，x 的取值范围是            。 【答案】； 四个角各剪去边长 2 cm 的小正方形后，底面的边长变为 cm， 所以底面积 ，它是关于 x 的二次函数。 底面边长必须为正数，即 ，所以 。 14．一台机器原价 50 万元，若每年的折旧率都是 ，则两年后这台机器的价值 （万元）与 的函数关系式为            ；当 时，            万元。 【答案】； 第一年后价值为 万元，第二年后为 万元。 当 时，（万元）。 15．某商品每件进价 30 元，售价 50 元时每天可卖出 60 件。售价每降低 1 元，每天可多卖出 5 件。设每件降价 元（），每天利润为 元，则 y 与 x 的函数关系式为            。 【答案】（） 降价后每件利润为 元，每天卖出 件， 所以 。 因为每件利润为正，所以 ，即 。 16．若 是关于 x 的二次函数，则             ，此时二次项系数与一次项系数的和为            。 【答案】； 是二次函数，则最高次项的次数为 2 且系数不为 0： 且 。 由 得 ， 或 。 又 ，所以 。此时函数为 ，二次项系数为 5，一次项系数为 3，它们的和为 8。 三、解答题（共 46 分） 17．判断下列函数是否为二次函数。若是，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。 （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】（1）是，，，；（2）是，，，；（3）不是，整理后为 ，不含二次项；（4）不是，含分式 （1）已经是 的形式，二次项系数 3、一次项系数 、常数项 1。 （2）先整理：，所以二次项系数 2、一次项系数 、常数项 0。 （3）先整理：，二次项消失了，是一个常数函数，不是二次函数。 （4） 是分式，函数右边不是整式，不符合二次函数的定义。 判断二次函数必须先化成一般式再看二次项系数，不能只看“长得像”。 18．如图，在矩形 ABCD 中， cm， cm，点 P 在边 AB 上， cm。以 AP 为一边在矩形内作正方形 APEF。 （1）求矩形中剩余部分（阴影以外部分）的面积 （cm2）与 的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当 时，求剩余部分的面积。 【答案】（1）；（2）；（3）51 cm2 （1）矩形面积为 （cm2），正方形 APEF 的面积为 cm2， 所以剩余面积 ，它是关于 x 的二次函数。 （2）点 P 在边 AB 上且正方形要落在矩形内，所以 （受矩形的宽 BC=6 限制）。 （3）当 时，（cm2）。 19．已知二次函数 ，当 时 ；当 时 ；当 时 。 （1）求 、、 的值； （2）写出这个二次函数的表达式，并求当 时的函数值。 【答案】（1），，；（2），当 时 （1）把三组对应值分别代入： 由 、 得 ；由 、 得 ，即 ； 由 、 得 ，即 。 两式相减得 ，代回得 。 （2）所以 ；当 时，。 20．如图，在 Rt△ABC 中，， cm， cm。点 P 从点 A 出发，沿 AC 边以 1 cm/s 的速度向点 C 运动；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 边以 2 cm/s 的速度向点 B 运动。设运动时间为 s，△PCQ 的面积为 cm2。 （1）求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）当 时，求 △PCQ 的面积。 【答案】（1）（）；（2）8 cm2 （1）运动 s 后，，所以 ；。 因为 ，所以 。 点 Q 到达点 B 需 （s），点 P 到达点 C 需 6 s，故 。 （2）当 时，（cm2）。 21．如图，某农户要用长 24 m 的篱笆靠墙围成一个矩形花园 ABCD，墙长 10 m，与墙垂直的一边 AB 长为 m，花园面积为 m2。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）求自变量 x 的取值范围。 【答案】（1）；（2） （1）与墙平行的一边 BC 长为 m，所以 。 （2）两个限制：一是 BC 的长度不超过墙长，即 ，解得 ； 二是 BC 的长度必须为正，即 ，解得 。 所以 。若漏掉“墙长 10 m”这一条件，会错写成 。 22．已知 是关于 x 的二次函数，且它的一次项系数为 0。 （1）求 m 的值，并写出此时的函数表达式； （2）求当 时的函数值； （3）当 y 的值为 时，求 x 的值。 【答案】（1），；（2）；（3） 或 （1）一次项系数为 0，即 ，得 或 。 又因为是二次函数，二次项系数 ，即 ，所以 。 此时 。 （2）当 时，。 （3）令 ，得 ，即 ，所以 或 。 23．某旅行社组织旅游，人数不超过 30 人时，人均费用为 800 元；超过 30 人时，每增加 1 人，人均费用就降低 10 元。某单位组织 名员工参加（，x 为整数），旅行社收到的总费用为 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若该单位共有 40 名员工参加，旅行社收到的总费用是多少元？ 【答案】（1）（，x 为整数）；（2）28000 元 （1）人数超过 30 人后，比 30 人多了 人，人均费用降为 元，所以 。 人均费用必须为正，即 ，解得 ；又 且为整数，故 且 x 为整数。 （2）当 时，人均费用为 （元）， 所以 （元）。 24．某果园有苹果树 100 棵，平均每棵树结 1000 个苹果。现准备增种一些苹果树，但树与树之间会互相影响：每增种 1 棵树，平均每棵树的产量就减少 5 个苹果。设增种 棵树，果园的总产量为 个。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）若增种 10 棵树，果园的总产量是多少个？ 【答案】（1）；（2） 且 x 为整数；（3）104500 个 （1）增种 x 棵后共有 棵树，平均每棵结 个苹果， 所以 。 （2）每棵树的产量必须为正，即 ，解得 ；又 且为整数，故 且 x 为整数。 （3）当 时，共有 110 棵树，平均每棵结 （个）， 所以 （个）。 5.1 认识二次函数_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【5.1 认识二次函数】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年 北师大版 九年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.1 认识二次函数，覆盖二次函数的定义、一般式与各项系数、由实际情境列函数关系式、自变量取值范围等考点。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　） A． B． C． D． 2．二次函数 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若 是关于 x 的二次函数，则（　） A． B． C． D． 4．已知二次函数 ，当 时，y 的值是（　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．若二次函数 的二次项系数为 3，则 m 的值是（　） A．2 B． C． D．4 6．已知 y 与 x 的部分对应值：当 时 ；当 时 ；当 时 。则 y 与 x 之间的函数关系式可能是（　） A． B． C． D． 7．用一根长 20 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 cm，面积为 cm2，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 8．已知二次函数 ，当 时，x 的值是（　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 9．已知二次函数 ，当 时 ，当 时 ，则 p、q 的值分别是（　） A．， B．， C．， D．， 10．下列函数中，一定（无论字母取何值）是二次函数的是（　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．二次函数 的二次项系数是            ，一次项系数是            ，常数项是            。 12．汽车刹车后滑行的距离 （m）与滑行时间 （s）满足 ，则 s 是 t 的            次函数，二次项系数是            。 13．一张边长为 cm 的正方形铁片，在四个角上各剪去一个边长为 2 cm 的小正方形，做成无盖长方体盒子。设盒子底面积为 cm2，则 S 与 x 的函数关系式是            ，x 的取值范围是            。 14．一台机器原价 50 万元，若每年的折旧率都是 ，则两年后这台机器的价值 （万元）与 的函数关系式为            ；当 时，            万元。 15．某商品每件进价 30 元，售价 50 元时每天可卖出 60 件。售价每降低 1 元，每天可多卖出 5 件。设每件降价 元（），每天利润为 元，则 y 与 x 的函数关系式为            。 16．若 是关于 x 的二次函数，则             ，此时二次项系数与一次项系数的和为            。 三、解答题（共 46 分） 17．判断下列函数是否为二次函数。若是，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。 （1）； （2）； （3）； （4）。 18．如图，在矩形 ABCD 中， cm， cm，点 P 在边 AB 上， cm。以 AP 为一边在矩形内作正方形 APEF。 （1）求矩形中剩余部分（阴影以外部分）的面积 （cm2）与 的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当 时，求剩余部分的面积。 19．已知二次函数 ，当 时 ；当 时 ；当 时 。 （1）求 、、 的值； （2）写出这个二次函数的表达式，并求当 时的函数值。 20．如图，在 Rt△ABC 中，， cm， cm。点 P 从点 A 出发，沿 AC 边以 1 cm/s 的速度向点 C 运动；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 边以 2 cm/s 的速度向点 B 运动。设运动时间为 s，△PCQ 的面积为 cm2。 （1）求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）当 时，求 △PCQ 的面积。 21．如图，某农户要用长 24 m 的篱笆靠墙围成一个矩形花园 ABCD，墙长 10 m，与墙垂直的一边 AB 长为 m，花园面积为 m2。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）求自变量 x 的取值范围。 22．已知 是关于 x 的二次函数，且它的一次项系数为 0。 （1）求 m 的值，并写出此时的函数表达式； （2）求当 时的函数值； （3）当 y 的值为 时，求 x 的值。 23．某旅行社组织旅游，人数不超过 30 人时，人均费用为 800 元；超过 30 人时，每增加 1 人，人均费用就降低 10 元。某单位组织 名员工参加（，x 为整数），旅行社收到的总费用为 元。 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若该单位共有 40 名员工参加，旅行社收到的总费用是多少元？ 24．某果园有苹果树 100 棵，平均每棵树结 1000 个苹果。现准备增种一些苹果树，但树与树之间会互相影响：每增种 1 棵树，平均每棵树的产量就减少 5 个苹果。设增种 棵树，果园的总产量为 个。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）写出自变量 x 的取值范围； （3）若增种 10 棵树，果园的总产量是多少个？ 5.1 认识二次函数_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $