5.1 认识二次函数-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

第五章 二次函数 ©1认识二次函数 ①基础在线》知识爱点分美臻 6.如图，长方形ABCD的长为5cm,宽为4cm,如 果将它的长和宽都减去x(cm),设它剩下的小 知识点1二次函数的定义及一般形式 长方形AB'C'D'的周长为y(cm),面积为 1.下列函数中，是二次函数的是 ( S(cm),则y与x之间的函数表达式为 A.y=6x2+1 B.y=6x+1 ,y与x是 次 C.y=8 Dy=-+1 函数关系；S与x之间的函数表达式为 ,S与x是 2.以x为自变量的函数：①y=(x十2)(x一2)； 次函数关系 ②y=(x+2)2;③y=1+2x-3x2;④y=x2 A D'D x(x-1).是二次函数的有 ( ) A.②③ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ B 3.在二次函数y=一x2+5x-2中，a,b,c对应 7.某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根 的值分别为 据试销得知这种皮鞋每天的销售量t(双)与每 A.a=1,b=5,c=-2 双的售价x(元)之间可以看成一次函数关系： B.a=-1,b=5,c=2 t=一4x十204.请写出每天的销售利润y(元) C.a=一1，b=5,c=-2 与每双的售价x(元)之间的函数表达式，并确 D.a=-1,b=-5,c=-2 定自变量x的取值范围！ 知识点2建立二次函数的模型 4.下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有 () ①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每 分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a 之间的关系为b=0.8(220一a); ②圆锥的高为h,它的体积V与底面半径r之 易错点忽略二次项系数不为0致错 间的关系为V=3xh(h为定值)： 8.若函数y=(1十m)xm-m1是关于x的二次函 数，则m的值是 () ③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t A.2 B.-1或3 之间的关系为A=专62(g为定值)： C.3 D.-1±√2 ④导线的电阻为R,当导线中有电流通过时， 2 能力在线》 方法规律综合练 … 单位时间所产生的热量Q与电流I之间的 关系为Q=IR(R为定值). 9.已知函数y=ax2十bx十c,其中a,b,c可在0， A.1个B.2个 C.3个 D.4个 1,2,3,4五个数中取值，则不同的二次函数的 5.正方形的边长为3，如果边长增加x,那么面积 个数共有 () 增加y.则y与x之间的函数表达式是( A.125个B.100个C.48个D.10个 A.y=3x B.y=(3+x)2 10,对于任意实数m,下列函数一定是二次函数 C.y=9+6x D.y=x2+6x 的是 () 89探究在线九年级数学（上）·BS A.y=mx2+3x-1B.y=(m-1)x2 (2)当MA=2cm时，重叠部分的面积是多少？ C.y=(m-1)2x2D.y=(-m2-1)x B 11.寒假期间，九(1)班n名同学为了相互表达春 节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信 息，那么互发信息的总次数m与n的函数关 M(A)A 系式可以表示为 () A.m-gn(n+1) B.m= 2n(n-1) Cm=司 D.m=n(n-1) 12.某企业因生产转型，二月份产值比一月份下 降20%，转型成功后生产呈现良好上升势 头，三、四月份稳步增长，月平均增长率为x, 设该企业一月份产值为a,则该企业四月份 ③拓展在线》培优拔尖提升练 的产值y关于x的函数关系式为 15.如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺 设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题. 13.某商场将进价为40元的某种服装按50元售 出时，每天可以售出100套.据市场调查发现， 这种服装每提高1元售价，销量就减少5套， 现商场将售价提高x元销售，则每天的销售利 n=1 n=2 润为y元. (1)商场售出1件这种服装的利润为 (1)在第n个图形中，共有 块白 元，每天可售出 件， 色瓷砖，共有 块黑色瓷砖（均用 每天销售利润y与x的关系式是 含n的代数式表示)； ,化为一般形式是 (2)设铺设地面所用瓷砖总数为y,请写出y 与(1)中的n的函数关系式（不要求写出自变 (2)填表：表示当提价x取下列值时，利润y 量的取值范围)； 的值： x(元) 1 2 3 4 5 6 7 8 y(元) (3)根据表中数据判断：当x为 (3)若铺设这样的矩形地面共用了506块瓷 元时，一天 出售该种服装的总利润最大，为 元 砖，通过计算求此时n的值； 14.如图，等腰直角△ABC的直角边与正方形 MNPQ的边长均为10cm,边CA与边MN 在同一直线上，点A与点M重合，让△ABC 沿MN方向以1cm/s的速度匀速运动，运动到 (4)是否存在n,使得黑瓷砖与白瓷砖块数相 点A与点N重合时停止，设运动的时间为t,运 等？说明理由. 动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分 面积为S. (1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自 变量t的取值范围；. 第五章90能力在线 核心素养提升 6.C7.是 13.A14.10 (10+√13) 拓展在线 15.(1)如图. 8.变短2.8 (2)过点O作OH⊥MG于点 第2课时 平行投影 H,设DH=xm, 基础在线 由AB∥CD∥OH,得 1.C2.C3.A4.平行5.D MB_AB_CD_ND 能力在线 MHOH OH NH' 6.A7.B8.D 即0年 0.6 拓展在线 解得x=1.2 9.C ND 2视图 设FG=ym,同理，得G=开， 第1课时 几何体的三视图 基础在线 即0y-:8解得y=0,4 1.D2.C3.A4.D5.C6.C 所以EF的影长FG为0.4m. 第五章二次函数 7.(1)如图： 1认识二次函数 主视图 左视图 俯视图 基础在线 1.A2.C3.C4.C5.D (2)如图： 6.y=2(4-x+5-x)或18-4x 主视图 左视图 俯视图 S=(4-x)(5-x)或x2-9x+20二 8.如图 7.y=(x-42)t=(x-42)(-4x+204), 即y=-4x2+372x-8568. 因为每双进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故一4x+204≥0，即x≤51， 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51. 8.C 能力在线 能力在线 9.B10.D11.B12.y=a(1-20%)(1+x) 9.B10.A11.左俯主12.6√2 13.(1)(50-40+x)(100-5x) 13.(1) y=(50-40+x)(100-5x)y=-5x2+50x+1000 (2) 主视图 左视图 x(元)12345678 y(元)10451080110511201125112011051080 (3)51125 俯视图 (2)需涂油漆（主视图）的面积为11×7-5×4=57(cm2). 14.(1),△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形， 拓展在线 ∴.△AMR是等腰直角三角形， B 由题意，知AM=MR=t, 14.(1)4 (2)如图所示. S=SAAMK=- C M(A)A 20≤≤10. 左视图 (2)当MA=2cm时，t=2,重叠部分的面积是号×2X2 2 第2课时 由三视图确定几何体 =2(cm2). 基础在线 拓展在线 1.D2.A3.C4.C5.C6.B7.D8.3π 15.(1)n(n+1)(4n+6) 9.(1)三棱柱. (2)y=(n+3)(n+2)=n2+5n+6 (2)这个几何体的侧面积为10×4×3=120(cm). (3)由题意，n2十5n十6=506， 能力在线 解得n1=20,n2=一25（舍去）， 10.B11.B12.B13.5 ∴.n值为20. 14.该几何体的体积为384cm3,侧面积为320cm2. (4)不存在，理由如下： 拓展在线 由题意，得n(n十1)=4n十6， 15.C 单元综合复习（四）投影与视图 解得=3十，3，=3二3（舍去）， 2 2 热门考点突破 1.B2.D3.B4.A5.A6.A7.C8.D9.C :3+y3不是正整数， 10.B11.B12.A ∴.不存在使得黑瓷砖与白瓷砖块数相等的n 一探究在线·九年 2二次函数的图象 :这个二次函数的图象关于y轴对称，点B(-2,3). 第1课时二次函数y=x2和y=一x2 在△AOB中，AB=2-(-2)=4,AB边上的高是3， 的图象和性质 基础在线 5u46. 1.A2.C3.D4.号 5.A6.B7.A (2)点P存在，理由如下：设点P(,22+1,则在 8.-1y轴增大减小(0,0)大 △APB中，AB边上的商为合+1-3 9.(1)y=-2时，一x2=-2,x=士√2， ∴水面宽度为√2-(-√2)=2√2（米）. |合e-2 (2)当水面宽度为4米时， 1 1 x=2或x=-2,y=-x2=-4. SAAPB-2 ∴.此时水面到拱桥顶部距离为4米. 解得x1=1,x2=-1,=√7，x4=-√7. 10.B 能力在线 当=1时y=号×1+1= 11.C12.D13.B14.(-3,9)(3,9)y轴15.10 当x=-1时=号×(-10+1=多 16.将点A,B的坐标分别代入y=x2,得a2=b,(a十6)2=b, .a2=(a十6)2.解得a=-3..b=a2=9. 当z7时y=号×)9+1=号： 17.(1)当y=-4时，-4=-a2,.a=士2. 点A在第三象限，a=一2. 当=-万时y=2×(一7)+1=号 当x=3时，y=-9,.b=-9. (2):AB∥CD∥x轴， ·符合条件的点P有四个，分别是P(1,)或 .A点与B点，C点与D点的纵坐标相同. y=一x2关于y轴对称， p(-1,)或P(,号)或p(-7,号) .B(2,-4),D(-3,-9). 第3课时二次函数y=a(x一h)2(a≠0) (3)由题意，得AB=4,CD=6,梯形的高为5， 的图象和性质 ∴S#w=合×(4+6)×5=25。 基础在线 1.B2.D 3.y=(x-2)2(答案不唯一)4.y<y1<y 拓展在线 5.-32 18.(1)A(-2,4),C(2,-4). 6.(1)图略. (2)由OA=OB,结合y=x2图象的对称性，得 B点与A点关于y轴对称.同理，D点与C点 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 关于y轴对称，故点B的坐标为(2,4)，点D的 y=z2 向上 y轴 (0,0) 坐标为(-2，一4). (2 (3)由OA⊥OB,作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F,得 y=(x+2)2 向上 直线x=-2(-2,0)》 △AB0n△OFB,设B为(m,m),得，器=专，解得m y=(x-2)2 向上 直线x=2 (2,0) m=0(合去)，求得B为（合，），同理，点D的坐标 1 7.A8.右 4 y=-2(x+2)2 9.0≤y≤8 能力在线 为（合） 10.C11.1(答案不唯一)12.613.3 14.(1)由题意，点A(1,0) 第2课时二次函数y=ax2(a≠0)和y=ax2十c(a≠0) 当x=0时，y=2×(0-1)2=2, 的图象和性质 .点B(0,2) 基础在线 (2)设点P的坐标为(xp,yp),(xp>0,yp>0), 1.C2.D3.D4.D5.B6.B7.B8.D9.> y=2(x-1)2, 能力在线 抛物线的对称轴为直线x=1. 10.B1.c12.0,-)(-20）(30）13.8 点C为点B关于对称轴对称的点，点B(0,2), ∴点C(2,2)..BC=2. 14.(1)由|a越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点A时，a 的值最大；抛物线经过点C时，a的值最小 :Sam=8,7BCX1,-21=8 A(1,2),∴.aX12=2,解得a=2. C(2,1), 即号×2Xy-2=8,解得y=10或%=-6（舍去）。 ∴a×2=1,解得a=子 :点P在抛物线上，将yp=10代人抛物线y= 2(x-1)2,得 综上所述，当抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点时，a 2(x-1)2=10,解得x=1±√5， 的取值范围是<a≤2. 点P在第一象限内，.x=1十√5. (2)a<0或0<a<或a>2 ∴.点P的坐标为(1十5,10). 拓展在线 拓展在线 15.(1)对于y=一x-2,当x=0时，y=-2;当y=0时，x= -2, 15.(1)当x=2时，y=2×22+1=3,点A(2,3). ∴.B(0,-2),A(-2,0) 级数学（上）·BS一 25