精品解析：湖北武汉市第十一中学2026-2027学年高一上学期十月月考数学试卷

高一数学 命制教师：武汉市十一中高一数学组 校审教师：武汉市十一中高一数学组 时间：2026年10月17日上午7:50—9:50 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为(　　) A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 设命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 4. “”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 7. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. 函数的图象与直线至多有1个交点 C. 方程的解集为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为________． 13. 若，且，则的最小值为___________． 14. 若存在实数，对任意正数，不等式恒成立，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求： （i）； （ii）； （2）求关于的不等式的解集． 16. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知正数，满足，求的最大值． 17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大面积及相应的值． 18. 已知函数，，. （1）若，方程有解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值. 19. 设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． （1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； （2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： （3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 命制教师：武汉市十一中高一数学组 校审教师：武汉市十一中高一数学组 时间：2026年10月17日上午7:50—9:50 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为(　　) A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】A＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.选C 2. 设命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，改量词，否结论即可求得结果. 【详解】因为原命题为特称命题，则命题的否定为，. 故选：C． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 4. “”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知：是选项中对应集合的真子集，逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知只有选项A符合. 故选：A. 5. 函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程无解，分和两种情况讨论. 【详解】因为函数的定义域为， 即关于的方程无解， 当时，显然无解，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 故选：D 6. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 7. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】首先可得，则，从而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，，为正数， 所以，所以； 所以，由， 当且仅当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时，取最小值. 所以的最小值为，当且仅当，，时取等号. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. 函数的图象与直线至多有1个交点 C. 方程的解集为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于选项A，将两边平方，得， 因为，所以.所以选项A不正确. 对于选项B，根据函数定义，定义域内任意一个自变量对应唯一的函数值. 若在定义域内，与有1个交点；若不在定义域内，则二者无交点，因此最多有1个交点，所以选项B正确. 对于选项C，解分式不等式或.所以解集是.故选项C不正确. 对于选项D，因为的定义域是，则，即的定义域为.选项D正确. 10. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数， 所以解得， 故选：BC 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分析可得，且关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出、与的等量关系，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，所以，， 故不等式为，即， 解得或， 故不等式的解集为或. 故答案为：或. 13. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 14. 若存在实数，对任意正数，不等式恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先取特值，代入解得，并代入检验即可. 【详解】若存在实数，对任意正数，不等式恒成立， 当时，则， 整理可得，解得； 若，可得，整理可得， 因为，则，，可得，符合题意； 综上所述：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知全集，集合，，求： （i）； （ii）； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】 （1）(i)；(ii)； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1） 根据集合运算规则计算即可得出结果； （2） 运用因式分解法求解含参一元二次不等式即可，注意分类讨论时不重不漏。 【详解】（1）（i）由题知，，，，得； （ii），故. （2） 因为， 由，原不等式可化为，对应方程的两根为与， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；时，解集为. 16. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知正数，满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） （或） 【解析】 【分析】（1）凑项构造和为定值的形式，利用基本不等式求最小值； （2）通过1的代换构造乘积为定值的结构，结合基本不等式求最小值； （3）利用完全平方公式将原式转化为关于的二次函数，结合基本不等式确定的范围，再求二次函数的最大值 【小问1详解】 由得，， 则， 当且仅当，即（舍去负值）时等号成立，所以的最小值为. 【小问2详解】  因为，且， 则, 当且仅当即时取等号， 故最小值为. 【小问3详解】 因为，且， 由完全平方公式得， 则原式， 令，原式化为 由基本不等式得， 即，解得，即， 二次函数开口向下，对称轴为直线，， 故在上单调递增， 当时，取最大值， 当且仅当即时取等号，故最大值为. 17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大面积及相应的值． 【答案】（1） （2）当时，的最大面积为 【解析】 【分析】（1）设，得到，进而，结合勾股定理计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 设，则， ， ，解得， ， 由题意可知，， 则， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， 故与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 ， 当且仅当即时，等号成立， 故当时，的最大面积为． 18. 已知函数，，. （1）若，方程有解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围； （3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值． 【小问1详解】 ， 因为函数的图象的对称轴是直线， 所以在上为减函数. 故的取值范围为. 【小问2详解】 ∵对任意的，总存在，使得， ∴在上，， ∵函数图象的对称轴是直线，又 ∴当时，函数有最大值为， ①当时，，不符合题意，舍去. ②当时，在上的值域， ∴，得， ∴； ③当时，在上的值域为，只需，∴. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 函数为的对称轴为， 当或时，在上单调递增， 则； 当时，， 解，得， 故当，. 综上，. ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴时取最小值为. 19. 设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． （1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； （2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： （3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集 （2）4 （3）1013． 【解析】 【分析】（1）首先要理解和谐子集的定义，根据定义来判断给定集合是否为和谐子集； （2）（3）对于求元素个数最大值，需要根据和谐子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定可以选取的元素. 【小问1详解】 对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②， 所以不是集合的和谐子集. 对于集合，满足和谐子集的条件①， 且对集合中任意三个元素， 不存在，使得，满足条件②， 所以是集合的和谐子集. 综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集. 【小问2详解】 将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类： 被3除所得的余数为0的元素有6： 被3除所得的余数为1的元素有4，7： 被3除所得的余数为2的元素有5，8． 因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合， 否则，或者，与已知矛盾． 设为集合中元素的个数，则． 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是4. 【小问3详解】 不妨设集合中的最小元素是， 则存在唯一非负整数数对，使得，其中． 将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类： 被除所得的余数为1的元素有； 被除所得的余数为2的元素有；… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为的元素有； …… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为0的元素有． 因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合． 设为不大于的最大整数， 则在前行中，每行至多有个元素符合题意， 在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意， 所以 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是1013． 【点睛】关键点睛：此题涉及整数集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，按照被将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类，进行推理判断解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $