江苏镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高二数学周练8

江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．是直线与直线平行的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为 （ ） A. B. C. D. 4．下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过定点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，其中真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：） A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6 6．数列的前项和为，若，，则等于 （ ） A． B． C． D． 7．已知实数满足的最小值为 （ ） A． B． C． D． 8．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线的距离是3 D．设点 ，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10．已知点，，且点在直线上，则 （ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 11．(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的有 （ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． 已知关于的方程组无解，则实数的值为____ _. 13．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______. 14．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 16．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； （2）在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 17．设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18．在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求取值范围； （3）求面积的最小值． 19．已知数列满足， （1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．是直线与直线平行的 （ A ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是 （ C ） A. B. C. D. 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为 （ D ） A. B. C. D. 4．下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过定点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，其中真命题的个数为 （ B ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ A ）万元．（参考数据：） A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6 6．数列的前项和为，若，，则等于 （ C ） A． B． C． D． 7．已知实数满足的最小值为 （ B ） A． B． C． D． 8．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是 （ B ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【详解】设关于直线的对称点，则，解得，即,设关于直线的对称点，则，解得，即,所以，当且仅当共线时取等号．故选：B． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ AD ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线的距离是3 D．设点 ，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10．已知点，，且点在直线上，则 （ ACD ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 【详解】对于A：由于点，，则的方程为，则直线的中垂线方程为， 联立，解得，所以当时，，故A正确；对于B：设，则，，要使， 则， 则，方程无解，故与不垂直，故B错误；对于C：设，若，则，即， 由，所以方程有解，则存在点，使得，故C正确；对于D：设关于直线的对称点为，则，解得，即， 所以， 因为，所以存在点，使得.D正确.故选：ACD 11．(多选)已知数列满足，，则下列结论正确的有 （ABD） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． 已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 13．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______. 14．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________. 【详解】解：设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，所以第次挖去的正三角形总面积为，由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，所以；设原正三角形的面积为，由于原正三角形边长为4，故.由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，所以，所以，由于，故为等比数列， 所以的前项和为，所以当时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程. 15．解：（1）由可得， 令且，解得， 故直线恒过定点， 设，则,故则，解得， 故 （2）由于，，故的中点坐标， 则, 故直线方程为，即 16．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； （2）在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 16．解：:设，则的中点为， 所以，即，① 因为的平分线所在的直线方程为，所以，② 联立①②求解可得， 所以点的坐标为. （2）直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 在直线上取点，由角平分线的性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为，即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 17．设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17．解：（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 18．在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求取值范围； （3）求面积的最小值． 18．解：（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 19．已知数列满足， （1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 19．解：（1）因为，即， 令，可得； 令，可得. （2）因为，即， 则， 且，可知，即 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（2）可得，， 则，即， 当时，则 ， 且时，符合上式， 所以， 则， 设，则， 若为等差数列，则， 即，解得， 所以，则， 所以存在使得为等差数列. 7 学科网（北京）股份有限公司 $