江苏省镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高二数学周练5

江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 2．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且 （ ） A． B． C． D． 4．已知是数列的前项和，，则的通项公式为 （ ） A． B． C． D． 5．数列满足，其前项和，则首项 （ ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ） A. 94 B. 95 C. 96 D. 98 8．已知数列的前项和为，且，若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．两条直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的有 （ ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 11．已知数列的前项和为，，则下列说法正确的是 （ ） A．数列为常数列 B．数列为等比数列 C．记数列的前项和为，则 D．记数列的前项和为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知等比数列， . 13．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且的最小值为 . 14．已知数列的前项和为，则　 　；若，则数列的前项和为　 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在等差数列中，已知公差，，前n项和（其中）． （1）求n； （2）求和：． 16．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17．已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）记为区间中的整数个数，求数列的前项和． 18．某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（前年的总收入—前年的总支出—投资额）. （1）从第几年开始获得纯利润？ （2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案： ①年平均利润最大时，以万美元出售该厂； ②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？ 19．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角的取值范围为 （ C ） A． B． C． D． 2．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 3．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且 （ A ） A． B． C． D． 4．已知是数列的前项和，，则的通项公式为 （ C ） A． B． C． D． 5．数列满足，其前项和，则首项 （ A ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ D ） A． B． C． D． 7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ B ） A. 94 B. 95 C. 96 D. 98 【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，所以90≤1349﹣19n≤100，解得， 因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.故选：B 【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题． 8．已知数列的前项和为，且，若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．两条直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是 （ AD ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的有 （ AC ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 11．已知数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ACD） A．数列为常数列 B．数列为等比数列 C．记数列的前项和为，则 D．记数列的前项和为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知等比数列， . 13．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且的最小值为 . 14．已知数列的前项和为，则　，　；若，则数列的前项和为　．　． 【详解】的前项和为，可得时，，时，，上式对也成立，所以，； ， 则． 故答案为：，；． 【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在等差数列中，已知公差，，前n项和（其中）． （1）求n； （2）求和：． 15．解：（1）由题意可得，解得， 所以． （2）由（1）可知，数列的通项公式为， 令，则， 当时，，所以； 当时，，所以 ， 综上所述，． 16．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16．解：（1）因为，，成等比数列， 所以， 又，，所以， 所以或（舍）， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 17．已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）记为区间中的整数个数，求数列的前项和． 17．解：（1）因为，所以当时，； 当时，， 时也成立，所以． 设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且， 所以， 则，所以，所以． （2）因为为在区间中的整数个数，所以， 则 所以． 18．某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（前年的总收入—前年的总支出—投资额）. （1）从第几年开始获得纯利润？ （2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案： ①年平均利润最大时，以万美元出售该厂； ②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？ 18．解：由题意知，每年的经费是以24为首项，8为公差的等差数列， ， （1）获取纯利润就是要求， ， 所以从第三年起获取纯利润； （2）①年平均利润为：， 当且仅当时取等号， 故此方案6年可获利（万美元）； ②， 当， 此时需10年可获利（万美元） 比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案较合算. 19．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19．解：（1）:因为， 当时，，解得； 当时，可得， 作差得，即； 且，满足， 所以为常数列，即，则，， 由题意可知：数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则， （2）由（1）可知：数列满足， 数列的前n项和， 则， 两式相减得， 所以， 不等式化为， 可知数列为递增数列，则有： 若n为偶数，，取，可得； 若n奇数，，取，可得； 综上所述：实数的取值范围是． 5 学科网（北京）股份有限公司 $