精品解析：安徽省合肥市第七中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

合肥七中2026-2027学年度第一学期高一质量检测数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，； 当时，，可能为. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 5. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合反比例函数、一次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上为减函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 6. 定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为（ ） A. [－1,2) B. [0,2) C. [0,1) D. [－1,1) 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式即可得到函数f(x)在[－2,2]上单调递增，根据单调性即可列出不等式组，即可解出答案. 【详解】因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2， 所以函数在[－2,2]上单调递增， 所以得0≤a＜1， 故选C. 【点睛】本题考查函数单调性解不等式，属于基础题.求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 7. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，换元得到，计算最小值得到答案. 【详解】，设 故 ，即当时，有最小值 故选： 【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可. 【详解】由题知：函数是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以，则的最大值为14. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系求解. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集是得， 方程的根为且， 所以. 对于A，设，那么函数图象开口向下，与x轴交于，如图所示,那么即，正确； 对于B，，错误； 对于C，可化为，即， 解得，错误； 对于D，，故，正确. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若、为实数，则“”是“” 的既不充分也不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】取，结合基本不等式可判断A选项；取或，结合作差法可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，因为，， 所以， 因为，则， 当时，则， 此时，即，B错； 对于C选项，因为，，则，， 由不等式的性质可得，C错； 对于D选项，若、为实数，如取，，则，但， 所以“”推不出“”； 若且时，则，所以“”推不出“”. 因此，“”是“” 的既不充分也不必要条件，D对. 故选：ABC. 11. 我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据差集的定义逐个分析可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选： 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】将自变量依次代入对应解析式即可求得结果. 【详解】，. 故答案为：. 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 14. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，， 则：或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知非空集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，再利用并集的定义求解. （2）由充分不必要条件的定义，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 对不等式， 则，解得，即， 当时，集合，所以. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，得是的真子集，而集合非空， 则 ，， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数， （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （2）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出． 【小问1详解】 ， 由于在区间上不单调，故，解得， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 ①当，即时，在上单调递减，故． ②当，即时，故． ③当，即时，在上单调递增，故． 综上，． 17. 已知函数． （1）解不等式：； （2）若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）将不等式因式分解为，再对系数进行讨论即可求解； （2）分离参数得到，再利用基本不等式即可求解． 【小问1详解】 不等式可化为， 当时，，故解集为； 当时，不等式化为，故解集为； 当时，，故解集为； 当时，不等式化为，故解集为； 当时，，故解集为. 【小问2详解】 若，使得，即，使得， 即，使得， 由于当时，，故只需，使得， 故只需小于等于在上的最大值， 由于， 当且仅当，即时取等，所以． 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1）元 （2）（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间． （2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”． （i）当时是否满足性质？请说明理由． （ii）若满足性质，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）不满足性质，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 而，即的最小值为5， 所以当时，不满足性质． （ii） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数求解分段函数的单调递增区间； （2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可． 【小问1详解】 当时， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 易知的图象在处连续不断， 故的单调递增区间为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）若满足性质，则取最小值时的值在的值域内． 两段抛物线的对称轴分别为和． ①当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． ②当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为的最小值为，此时不满足性质． ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥七中2026-2027学年度第一学期高一质量检测数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为（ ） A. [－1,2) B. [0,2) C. [0,1) D. [－1,1) 7. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若、为实数，则“”是“” 的既不充分也不必要条件 11. 我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则_________. 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 14. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知非空集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数， （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值． 17. 已知函数． （1）解不等式：； （2）若，使得，求实数的取值范围． 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间． （2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”． （i）当时是否满足性质？请说明理由． （ii）若满足性质，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $