精品解析：广东深圳市龙岗区龙城高级中学（教育集团）龙城初级中学2026-2027学年上学期八年级10月学情评估数学试题

初二年级数学10月学情评估 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，，均为整数，属于有理数， A、C选项不符合题意； 是分数，属于有理数， B选项不符合题意； 是无理数， 是无理数，D选项符合题意． 2. 二次根式的值是（ ） A. B. 3或 C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 3. 在平面直角坐标中，点与点关于x轴对称，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标，进而得出点所在象限． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A与点关于x轴对称， ∴， 则点在第三象限． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的对称点的坐标特点，象限内点的坐标特点，正确得出点坐标是解题关键． 4. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵正比例函数形式为（为非零常数）， ∴含常数项，含项，中的次数为，均不符合要求； 即，符合要求. 5. 如图，圆柱的高为，底面周长为，A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点．一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开为平面图形，由于A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点， 故展开后到的水平距离为底面周长的一半，再由两点之间线段最短，并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：将圆柱侧面展开为平面图形，由于A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点， 故展开后到的水平距离为底面周长的一半，即， 由两点之间线段最短，， 即蚂蚁爬行的最短路程是． 6. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 7. 如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据半径相等得出的长，结合点的位置即可求解． 【详解】解：∵点表示数，点表示数， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵以为圆心、长为半径画弧交数轴正半轴于点， ∴， ∴点表示的数是． 8. 如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质、勾股定理及其逆定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由题意得，，， 由旋转性质可知， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 11. 已知实数a、b满足，则点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出和的值，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵算术平方根和绝对值都是非负数， ∴，， ∵， ∴，， 解得，， 即点的坐标为， 平面内点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， 因此点关于轴对称的点的坐标为． 12. 设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：，据此求出a的值，进而求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个数为， 故答案为：9． 13. 如图所示，中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，垂线段最短， 先根据勾股定理求出，作，交于点M，交于点P，作，再根据角平分线的性质得出最小值为，然后根据三角形面积相等得出答案． 【详解】在中，， ∴． 如图，过点C作，交于点M，交于点P，过点P作，于点Q， ∵平分， ∴，此时， 所以最小值为． ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据平方差公式，并结合二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （4）利用平方根的定义解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）判断是否为直角，并说明理由； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）15 （2）解：是直角，理由如下． 由（1）得，已知，． ， ． ， 根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且． （3）114 【解析】 【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度． （2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角． （3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加． 【小问1详解】 解：，，， 在中，由勾股定理得： ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ． 16. 已知． （1）求a的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、求一个数的平方根，关键是熟知二次根式的被开方数为非负数． （1）根据二次根式的被开方数为非负数求解即可； （2）先求得b值和，再根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，且，解得， 【小问2详解】 解：∵， ∴，则， ∴， ∴的平方根是． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中描出点A、B、C，并画出； （2）画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示：点A、B、C，即为所求； （2）如图所示：即为所求； ，， （3）6 【解析】 【分析】（1）根据坐标描点，再顺次连接即可； （2）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得，根据图形分别写出各点坐标即可； （3）结合网格特点，根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：图略 由图可得，，，； 【小问3详解】 解：的面积． 18. 已知点与点． （1）若P、Q关于y轴对称，求的值； （2）若轴，且，求p、q的值． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【小问1详解】 解：点与点关于y轴对称， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：轴，且，点，点， ∴，， ∴，或，． 19. 为鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过22立方米的部分，每立方米收费3元；超过22立方米的部分，每立方米收费5元．设某户某月用水量为x立方米，应缴水费为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该户某月用水30立方米，求应缴水费； （3）若该户某月共缴水费116元，求该户该月的用水量． 【答案】（1） 当时，；当时， （2） 应缴水费为106元 （3） 该户该月的用水量为32立方米 【解析】 【分析】（1）以22立方米为分界点，分两种情况计算应缴水费，得到y与x的函数关系式； （2）判断30立方米所属的用水量区间，代入对应函数式计算水费； （3）先由22立方米对应的水费判断用水量范围，再代入对应函数式解方程求用水量.  【小问1详解】 解：由题意，当时，； 当时，；  【小问2详解】 解：∵， ∴将代入，得（元）.  【小问3详解】 解：∵当时，， 又∵， ∴该户当月用水量超过22立方米， 令， 解得， 答：该户该月的用水量为32立方米. 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、、． （1）求对角线的长； （2）求点C到直线的距离； （3）在x轴上求一点P，使的值最小，并求出这个最小值； （4）在x轴上是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】（1）5 （2） （3） （4），，，． 【解析】 【分析】（1）已知点、坐标，利用平面内两点间距离公式（勾股定理）计算线段长度． （2）利用等面积法，构造以为底的三角形，通过面积不变求出点到直线的垂线段长度． （3）将军饮马最短路径，作点关于轴的对称点，连接，线段的长度就是最小值． （4）等腰三角形存在性问题，只用到勾股定理，不需要将军饮马．等腰三角形没有指定哪两条边相等，因此要分三种情况讨论顶角顶点：为顶角顶点（）、为顶角顶点（）、为顶角顶点（）．利用勾股定理列出方程求解，求出坐标后，要检验是否出现三点共线或者两点重合的情况，舍去无效解． 【小问1详解】 解：，， 由勾股定理， ． 【小问2详解】 解：设点到直线的距离为． ， 又， ，解得． 所以点到直线的距离是． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点， 连接，交轴于点，根据轴对称性质，， ． 根据两点之间，线段最短，的最小值就是线段的长． 已知，， 由勾股定理， ． 最小值为． 【小问4详解】 解：由（1）得． 点在轴上， 设． 分三种情况讨论： 情况1：当顶角顶点为，即． 是原点到的线段，． ， 解得或． 得到，．两个点都不与、重合，均有效． 情况2：当顶角顶点为，即． ，，以为斜边构造直角三角形，水平直角边长，竖直直角边长． 由勾股定理：， 代入，得， ，， ，解得或． 当时，，与点重合，无法构成三角形，舍去； 当时，得到． 情况3：当顶角顶点为，即． ，． 两边平方，， ， 展开：， 消去，，解得． 得到． 综上，满足条件的点坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学10月学情评估 （满分100分 时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式的值是（ ） A. B. 3或 C. 9 D. 3 3. 在平面直角坐标中，点与点关于x轴对称，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆柱的高为，底面周长为，A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点．一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 7. 如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的立方根是__________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 11. 已知实数a、b满足，则点关于y轴对称的点的坐标是______． 12. 设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____． 13. 如图所示，中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是____________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 15. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）判断是否为直角，并说明理由； （3）求四边形的面积． 16. 已知． （1）求a的值； （2）求的平方根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中描出点A、B、C，并画出； （2）画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； （3）求的面积． 18. 已知点与点． （1）若P、Q关于y轴对称，求的值； （2）若轴，且，求p、q的值． 19. 为鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过22立方米的部分，每立方米收费3元；超过22立方米的部分，每立方米收费5元．设某户某月用水量为x立方米，应缴水费为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该户某月用水30立方米，求应缴水费； （3）若该户某月共缴水费116元，求该户该月的用水量． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、、． （1）求对角线的长； （2）求点C到直线的距离； （3）在x轴上求一点P，使的值最小，并求出这个最小值； （4）在x轴上是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $