精品解析：广东省深圳市龙岗中学2025-2026学年上学期八年级月考数学试卷

深圳市龙岗中学八年级月考试卷 1. 下列七个实数：．其中无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 4. 某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A. B. C. D. 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 6. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数大于10 C. 这组数据的平均数等于中位数 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 7. 下列命题中，不正确的是（　 ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C. 垂直于同一直线的两条直线垂直 D. 平行于同一直线的两条直线平行 8. 小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知：点． （1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是_______． （2）点A与点C关于y轴对称，则点C的坐标是_______． 10. 一组数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的上四分位数是________． 11. 如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕，其中，，，则________，阴影部分的面积为________． 12. 如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角． （1）点A的坐标是_______，点B的坐标是_______； （2）将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是________． 13. 如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离为______． 14. 计算： （1）． （2）． 15. 解方程组： （1） （2）； 16. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 17. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数 (分) 中位数 (分) 众数 (分) 方差 (精确到0.01) 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _________， _________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 18. 请你根据下列素材，探索完成任务． 背景 云南省某中学秉持“以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美”理念，在2025年国庆节即将到来之时，举办诗歌朗诵比赛，鼓励同学们借诗歌展现祖国山河与家乡风貌，为国庆献礼．为此，年级组决定购买A，B两种笔记本，用于奖励比赛中的优秀同学． 素材1 通过调查，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共需花90元，购买3本A种笔记本和5本B种笔记本共需花145元． 素材2 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的3倍． 请完成下列任务： 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识．求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级组探究该如何购买，可使总费用最少？并求出最少费用． 19. （1）如图1，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，求证：； （2）如图2，在四边形中，为等边三角形，，，，则______________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； （2）若点C是直线上一点，，求点C的坐标； （3）点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市龙岗中学八年级月考试卷 1. 下列七个实数：．其中无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数． 【详解】解：0， ＝4，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 3.14159265，0.101001000100001是有限小数，属于有理数； 无理数有： ， 共3个． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法和乘法运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、不能合并，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． 3. 已知，则等于（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，．由绝对值和算术平方根的非负性，可知两个表达式都为零，从而得到关于x和y的方程组，解方程组，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 4. 某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键； 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径， 故选：B． 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟记性质是正确解答此题的关键． 根据一次函数 的性质，其中 ，，可知函数值 随 增大而减小，图象经过第一、二、四象限．通过计算或不等式验证各选项． 【详解】解：∵ 函数为 ， 对于 A：当 时，，∴ A 错误； 对于 B：∵ ，，∴ 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，∴ B 错误； 对于 C：当 时，，解得 ，∴ 当 时，，∴ C 正确； 对于 D：∵ ，∴ 随 增大而减小，∴ D 错误． 6. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数大于10 C. 这组数据的平均数等于中位数 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，原说法正确，不符合题意； B．这组数据的中位数在10到11之间，大于10，原说法正确，不符合题意； C．由图可知，被污染的三个数为3、18、（），，平均数为，，不一定等于中位数，原说法错误，符合题意； D．箱线图左边缘是3，右边缘是18，被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 7. 下列命题中，不正确的是（　 ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C. 垂直于同一直线的两条直线垂直 D. 平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 8. 小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 9. 已知：点． （1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是_______． （2）点A与点C关于y轴对称，则点C的坐标是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查由平移方式确定点的坐标，坐标与图形变化——轴对称． （1）根据点的坐标平移规律，即可得点B的坐标； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可得点C的坐标． 【详解】（1）解：点，将点A向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：． （2）解：∵点，点A与点C关于y轴对称， ∴点C的坐标是． 故答案为：． 10. 一组数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的上四分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求四分位数，解题的关键是熟练掌握四分位数的定义．求根据四分位数的计算方法解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列：96，98，100，102，104，106，111，113，数据个数， ∵， ∴上四分位数为第6个数据106与第7个数据111的平均值， 即上四分位数为． 故答案为：． 11. 如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕，其中，，，则________，阴影部分的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作于点，的顶点记为点，由平行线的性质，可得，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，可得，，根据勾股定理，可得，可得，代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于点，的顶点记为点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查对顶角相等，折叠的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，与三角形的高相关的计算． 12. 如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角． （1）点A的坐标是_______，点B的坐标是_______； （2）将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何综合，坐标系中的平移，等腰三角形的性质和判定． 对于函数，令，求出点A的坐标，得到的长，根据等腰直角求出点B的坐标，设向右平移的距离为，则点平移后的坐标为，代入，求解即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，， 解得：， ∴， ∴， 过作于， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ，，， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， 故答案为：，． （2）解：设向右平移的距离为，则点平移后的坐标为， ∵点平移后落在直线上， ∴， 解得， ∴平移的距离是6． 故答案为：6． 13. 如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题考查了三线合一性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F，由三线合一得到，由勾股定理求出，然后证明出，得到，即可求解． 【详解】如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点D到的距离为24． 故答案为：24． 14. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法与乘方，再计算加减法即可得； （2）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 解方程组： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键； （1）原方程组化简后利用加减消元法求解即可； （2）原方程组利用加减消元法求解即可. 【小问1详解】 解：原方程组可化简为， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是. 16. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】（1） 证明：∵，，D是的中点， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴． 又∵， ∴平分． （2） 证明：如图1，连接 由（1）知，平分 ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵∠C＝∠B， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AE＝AF， 又∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 【解析】 【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即可证AD平分∠BAC； （2）利用垂直平分线的性质的逆定理证明AE＝AF，DE＝DF即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 17. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数 (分) 中位数 (分) 众数 (分) 方差 (精确到0.01) 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _________， _________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【答案】（1）14.4，16 （2） 可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好， 理由：因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级，七年级的方差小于八年级的方差， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）231 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数、方差得出答案； （3）求出七年级不低于分的人数所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人． 18. 请你根据下列素材，探索完成任务． 背景 云南省某中学秉持“以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美”理念，在2025年国庆节即将到来之时，举办诗歌朗诵比赛，鼓励同学们借诗歌展现祖国山河与家乡风貌，为国庆献礼．为此，年级组决定购买A，B两种笔记本，用于奖励比赛中的优秀同学． 素材1 通过调查，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共需花90元，购买3本A种笔记本和5本B种笔记本共需花145元． 素材2 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的3倍． 请完成下列任务： 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识．求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级组探究该如何购买，可使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】任务1：A种笔记本的单价是15元，B种笔记本的单价是20元；任务2：年级组购买A种笔记本75本，购买B种笔记本25本，可使总费用最少，费用最少为1625元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，一次函数最优方案选择，解题的关键是找到等量关系式． 任务1：设种笔记本的单价是元，种笔记本的单价是元，根据“购买本种笔记本和本种笔记本共需花元，购买本种笔记本和本种笔记本共需花元”列出方程组并作答； 任务2：设总费用为元，购买种笔记本本，则，结合的取值范围和一次函数的性质作答． 【详解】解：任务1：设种笔记本的单价是元，种笔记本的单价是元， 根据题意，得：， 解得：， ∴种笔记本的单价是元，种笔记本的单价是元； 任务2：设总费用为元，购买种笔记本本（为正整数），则购买种笔记本本， 依题意，得：， 又∵， ∴， ∴且为正整数， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为：（元）， 此时（本）， ∴年级组购买种笔记本本，购买种笔记本本，可使总费用最少，费用最少为元． 19. （1）如图1，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，求证：； （2）如图2，在四边形中，为等边三角形，，，，则______________． 【答案】 （1）证明：由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）10 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质． （1）由旋转可得，，可得是等边三角形，，可得，即可证得结论； （2）将绕顶点B按逆时针方向旋转，得到，连接、，由旋转可得，，，可得为等边三角形，可得，，根据勾股定理可得，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等边三角形， ∴， 将绕顶点B按逆时针方向旋转，得到，连接、， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． （1）求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； （2）若点C是直线上一点，，求点C的坐标； （3）点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则，分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为， 故答案为： 【小问2详解】 解：过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则， ， ， ， ， 或， 点C的坐标或； 【小问3详解】 解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $