专题11 二次函数、反比例函数压轴题能力强化集训22大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题11 二次函数、反比例函数压轴题能力强化集训 22大题型 题型1 二次函数图象与性质的综合 题型12 二次函数的综合--矩形存在性问题 题型2 二次函数最值的综合 题型13 二次函数的综合--正方形存在性问题 题型3 二次函数与新定义综合问题 题型14 二次函数的综合--等角存在性问题 题型4二次函数与线段问题 题型15 二次函数的综合--二倍角存在性问题 题型5二次函数的综合---线段最值问题 题型16 二次函数的综合---特殊角存在性问题 题型6二次函数的综合---面积问题 题型17 二次函数的综合--几何变换问题 题型7二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 题型18 二次函数的综合-其它问题 题型8二次函数的综合--直角三角形存在性问题 题型19 反比例函数与一次函数的综合 题型9二次函数的综合--等腰直角三角形存在性问题 题型20 反比例函数与面积的综合 题型10 二次函数的综合--平行四边形存在性问题 题型21 反比例函数与特殊三角形的的综合 题型11二次函数的综合--菱形存在性问题 题型22反比例函数与特殊四边形的的综合 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数图象与性质的综合（共2小题） 1．（25-26九年级上浙江杭州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数的表达式； (2)若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）当时，可求抛物线的对称轴为直线，然后分在对称轴的左侧和右侧讨论，根据二次函数的性质求解即可； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∵函数图象经过点和， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， 综上，； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ∴， 如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当时，取最小值， ∵， ∴此时不符合题意； 如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， ∴ ∴， ∴的值为1． 2．（26-27九年级上北京阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为 (2)①的长度为；②或 【分析】（1）将点和点代入抛物线方程即可得与的关系，再由求解对称轴即可； （2）①根据，，可将点与点的坐标求解出来，再求解长度即可；②先将点与点的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，即， ∴； ∴对称轴为； （2）解：①若，，则点，，； ∴抛物线为，直线， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴的长度为； ②∵，， ∴抛物线为， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴， ∴对称轴为， 令可得，解得或； 如图， ∵点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得： ∴或， 即或， ∴或． 题型2 二次函数最值的综合（共2小题） 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． (1) ， ； (2)已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． (3)当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 【答案】(1)，； (2)①3； ②证明：∵，， ∴设，（）， ∴ (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①直接代入，进一步变形即可；②设，（），再进一步证明即可； （3）分三种情况：①当时（对称轴在范围的左侧之外）； ②当时；③当时（对称轴在范围内）；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （2）解：① ． ②略 （3）解：， ∴对称轴为直线， ∴当时，，关于对称轴对称的点的坐标为：． ∵（其中）， ①当时（对称轴在范围的左侧）；如图， 此时y随x的增大而增大，最大值m在处取得，； 最小值n在处取得， ∴． ∴，无解； ②当时； ∴最小值n在顶点处取得，； 当时，最大值，，无解； ③当时（对称轴在范围内）；如图， ∴最小值仍为；最大值m在处取得，（此时大于1）， ∴， ∴， 解得：（舍去，不满足）或（满足）． 综上． 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k，， ，是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． (3) 【分析】（1）由可得抛物线经过点，进而得出不会经过点，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，可得，是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得，，进而即可求解； （3）将代入得，根据抛物线的对称轴公式得出，整理得，结合，可得，，代入，可得，求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，， 抛物线经过点， 抛物线不会经过点， 抛物线经过的两个点分别是：，， 将，代入，结合， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：将代入，得， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 二次项系数， 时，的值最小，最小值为：， 满足， 的最小值为． 题型3 二次函数与新定义综合问题（共2小题） 5．（2025辽宁阜新一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 6．（2026江西拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 题型4二次函数与线段问题（共2小题） 7．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入，解得，再把代入，求解即可； （2）①当时，，解得，，由，，可得，再列方程求解即可； ②先求得，，，再分当M在之间时及当M在Q右边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， 把代入，解得：； （2）解：①， 当时，， 解得：，， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②点，在二次函数上， ，，， 当M在之间时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 当M在Q右边时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 综上所述，或， 或． 8.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；② (2)（0≤m≤3）； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3， ∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)； ②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c， 得，解得； （2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCM， ∴，即． 整理，得，即（0≤m≤3）． ∴当时，n的值最大，最大值是． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键． 题型5二次函数的综合---线段最值问题（共2小题） 9．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． (3)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）通过一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）利用轴对称的性质找出点，利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出交点坐标即可； （3）根据二次函数解析式求出点坐标，分两种情况求三角形的面积． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得，则； 当时，，则； ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，点为点关于对称轴的对称点，作直线交对称轴于点，连接， 此时，的值最小，最小值为线段的长度， 由（1）可知抛物线的对称轴为直线，且， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：当时，， 解得， 当时，，如图所示， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴； 当时，，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 利用割补法可得， ； 综上，的面积为或． 10．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为，补全图形如下： 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， 点B为； （2）解：当时，， ， 连接，交对称轴于点P，连接，如图： ， ， 点A关于对称轴的对称点为点B， ， 当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为， 将和代入解析式中， 得， 解得， ， 点P在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线解析式得，， ； ∴的最小值为； （3）解：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q，如图： ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， 由（2）知，直线为， ， ， ， ∴， ， 当时，有最大值， ∴点的横坐标为． 题型6二次函数的综合---面积问题（共3小题） 11．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为3． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 12．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果； （2）①过点作于点，可得为等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质列方程即可解答；②分点在点的左边或右边，根据面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ； （2）解：①如图，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， 点的纵坐标为， 可得， 解得，（舍去）， ； ②令， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，，解得， 直线的解析式为， 当点在轴左侧且在点右侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ； 当点在轴左侧且在点左侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）； ， 综上，点的坐标为或． 13．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． 【答案】(1)①② (2)①②32 【分析】（1）①将和点坐标代入抛物线解析式里即可求出抛物线的解析式；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）①利用抛物线解析式求出其对称轴即可知道点的横坐标，将其横坐标代入直线解析式里即可求出的纵坐标，进而知道的坐标；②过点作轴交于点，过点作，利用点的横坐标相等，设，，从而求出的长度，利用割补法用表示的面积，将其转化成顶点式，即可求出最大值． 【详解】（1）解：①和经过抛物线， 解得． 抛物线的解析式为． ②令， 解得或， ， ． ， 设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． （2）解：①抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点的横坐标为3， 点在直线的解析式上， 点的纵坐标为． ． ②过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，如图所示， 设，， ， ，， ， 时，的面积最大，且最大是32． 题型7二次函数的综合---等腰三角形存在性问题（共2小题） 14．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 15．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 题型8二次函数的综合--直角三角形存在性问题（共2小题） 16．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 17．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为、、或 【分析】（1）代入两点坐标求解二次函数表达式； （2）通过设点坐标，结合直线方程表示线段长度，利用二次函数配方法求面积最大值； （3）分，，三种情况讨论，当，时，结合全等三角形与设直线方程求解；，时，利用等腰直角三角形的判定与性质求解． 【详解】（1）解：将、代入，得 ，解得， 故二次函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，过作轴的垂线，交直线于点，则的横坐标为，则， ∴， ∴的面积． ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值． （3）解：①如图，当，点在直线上方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， ∵， ∴． 又∵，且， ∴． 在和中： ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴设直线的函数解析式为， 将、代入得： 对两个方程进行整理： 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去负值)． ②如图，当，点在直线下方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， 同理，． ∴． 设直线的函数解析式为， 将、代入得：， 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去正值)． ③如图，当时，对称轴与轴交点为， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． ④如图，当时，过点作轴，易得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 综上，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中需要用铅垂高法求的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解． 题型9二次函数的综合--等腰直角三角形存在性问题（共2小题） 18．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 19．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值是 (3)，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用点的坐标和对称轴求出的值即可； （2）作轴，交于点，根据角平分线的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，则，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可； （3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 由对称轴为直线得，， ∴， ∴， 解得， 则， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图2，作轴，交于点， 假设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：, 则直线 的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值是； （3）解：如图3，过点作轴，交轴于点，交对称轴于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 如图4，过点作轴于点，过点作于点，连接， 同理得， ∴， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为，，，． 题型10 二次函数的综合--平行四边形存在性问题（共2小题） 20．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 21．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，作于，当时，求点的坐标； (3)若点是直线上一点（不与点，重合），是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，则点，则可得，而，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 设点，则点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得或， ∴点（舍去）或； 同理：当为对角线时， ， 解得（舍去）或， ∴点； 当为对角线时， ， 由得． 把代入并理得， ∵， ∴一元二次方程无实数解， ∴原方程组无实数解； 综上，点的坐标为 或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型11二次函数的综合-矩形存在性问题（共2小题） 22．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 23.已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、 【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：过点O作于一点H，如图所示：   ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴点H为的中点，即， 则所在的直线方程为， ∵四边形为矩形， ∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同， ∴设所在的直线解析式为， ∵点A在直线上， ∴可求得，即所在的直线解析式为， 联立的直线方程与抛物线的解析式， 得，解得或， 其中为点A的坐标，即， ∵四边形为矩形，且， 根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标， 即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键． 题型12 二次函数的综合--菱形存在性问题（共2小题） 24．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为． 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①最大值；②存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或 【分析】（1）设出交点式，再代入点即可求解； （2）①设点，连接，根据建立面积关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； ②由菱形的性质可得为等腰三角形，由于，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：据题设抛物线的函数表达式为， 把代入：， 解得：． 抛物线的函数表达式为：； （2）解：①设点，连接， 则 ． ， 当时，取最大值； ②存在． 设直线 把点，点代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为， ∵点， 同理可求直线的函数表达式为， 此时． ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， 设点的坐标为，其中， ∵，分两种情况讨论 ①当时， 过作轴于， ∵， ∴ ∵以点，，．为顶点的四边形为菱形 ∴， 设直线的解析式为，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 将点代入可得，， 解得， 又由菱形可得， ，即． ②当时，设， 由菱形可得，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）或 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形， 点的坐标为或． 题型13 二次函数的综合--正方形存在性问题（共2小题） 26．（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 27．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设 ，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 题型14 二次函数的综合--等角存在性问题（共2小题） 28．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 如图1，当点P在x轴的下方时， ∵，且点A，B关于直线对称， ∴点C和点P也关于直线对称， ∴点P的坐标为； 如图2，当点P在x轴的上方时， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【分析】（1）求出点C的坐标，再根据，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设点，则点，可得，，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为； （3）略 29．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点E作y轴的平行线交于点S，求出直线的表达式为；设，则，求出的最大值；根据，可推出当有最大值时，有最大值，据此可得答案；②求出的面积，可推出当点M在直线上方时，不满足的面积与的面积相等；当点M在直线下方时，则，故直线的解析式为，据此求解即可； （3）取点，连接，可证明，推出，则B、P、G三点共线；求出直线的表达式为，再联立函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图所示，过点E作y轴的平行线交于点S， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， 由（2）①可知当点M在直线上方时，的最大值为，此时不满足的面积与的面积相等； 当点M在直线下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）解：在中， 当时，， ∴； 如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴，轴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、P、G三点共线； 同理可得直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为． 题型15 二次函数的综合--二倍角存在性问题（共2小题） 30．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 31．已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． (1)抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (4)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 不存在点，使四边形的面积为．理由如下： 连接， ∵抛物线与轴交于点，， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， 若四边形的面积为， 则， 整理得：， ∵， 此时方程无实数根， ∴不存在点，使四边形的面积为； (3) (4) 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）连接，求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，则，此时无实数根； （3）设点横坐标为，由题意可得，求出的值即可求点坐标； （4）设与轴的交点为，由题意可知，则，直线与抛物线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的顶点为， 故答案为：；； （2）略 （3）由（2）知：， ∵， ∴， 设点横坐标为， ∴， 解得：， ∵点在直线的解析式为， ∴， ∴点的坐标是； （4）设与轴的交点为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：（舍）或， ∴点的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，待定系数法确定函数解析式，等角对等边，三角形外角的定义及性质，一元二次方程的应用，三角形的面积等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，等腰三角形的判定，求三角形的面积及函数图像之间的交点坐标是解题的关键． 题型16 二次函数的综合---特殊角存在性问题（共3小题） 32．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为，E点坐标为（－2，－1） (3)存在，P 点的坐标为（0，）或（0，） 【分析】（1）将点坐标代入，解得，即可得解； （2）先求直线的函数表达式为,设点 ，结合图形， 四边形的面积 ，运用二次函数的性质求得最值及点E点的坐标； （3）设，作于点G， ，求得＝，利用等积法得，解得n，得到点，再利用对称性得另一点 【详解】（1）将 代入抛物线表达式得，解得， 抛物线表达式为； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的函数表达式为， 将点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为，.. 设 ，则， ∴ ＝， ∴ ＝， 四边形的面积 ＋ 当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时E点坐标为； （3）P 点的坐标为或 ①作于点G， ， 设， ， ， ， ， 由的面积，得 ，即， 化简，得， 解得， （不符合题意，舍去）， ∴， ②∵点与点P关于原点O对称， ， ∴， 综上所述：P 点的坐标为或） 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，二次函数的性质，方程的思想及分类讨论的思想等知识，本题考点较多，综合性较强，难度适中． 33．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 题型17 二次函数的综合--几何变换问题（共3小题） 34．平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，过点作轴交直线于点，如图1，可得，运用二次函数性质即可求得答案； （3）根据轴对称性质可求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可得：抛物线解析式为， 当时，， ， 设，过点作轴交直线于点，如图1，则， ， ， 当时，取得最大值； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 如图2，连接， 对于直线，令，则，解得， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 三点共线，， ， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去）或， 当时，， ． 35．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）如图1，已知抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为抛物线对称轴上的两个动点且满足（在的下方），连接、，当最大时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，在上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，再根据待定系数法解答即可． （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，则，表示出，则，得出当时，取得最大值，取得最大值，此时，将沿着方向向上平移一个单位后得到，连接，证明四边形是平行四边形，则，故，求出，即可解答； （3）先求出新抛物线的解析式，①作直线关于轴的对称直线，则，过点作直线的平行线，则，即，点符合题意； 求出直线的解析式，与联立即可求解；②作直线的中垂线，交于点，交轴于点，交直线于点，连接并延长交抛物线于点，连接，则，得出，结合，得出，点符合题意；求出直线的解析式，与直线：联立求出，求出直线的解析式，与联立即可求解； 【详解】（1）解：设，则，， ， 解得：（负值舍去）， ， 将和代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ， ∴取得最大值时，取得最大值， ∴当时，取得最大值， 此时， 将向上平移一个单位后得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为，的最小值为6； （3）解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， 则新抛物线：， ①作直线关于轴的对称直线， 则， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线， 则，即，点符合题意； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和得，， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； ②作直线的中垂线，交于点，交轴于点，交直线于点，连接并延长交抛物线于点，连接， 则，， ∴， 又∵， ∴，点符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 与直线：联立得，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立和得，， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 题型18 二次函数的综合-其它问题（共2小题） 36．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若AB＝6，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点P（a+3，2），Q（0，a+2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵y＝ax2﹣2a2x+2， ∴抛物线对称轴为直线xa，即直线x＝a． （2）由题意，令y＝2， ∴2＝ax2﹣2a2x． ∴x＝0或x＝2a． ∵A，B关于抛物线对称轴对称， ∴AB＝|2a|＝6， 当a＞0时，a＝3， ∴y＝3x2﹣18x+2， 当a＜0时，a＝﹣3， ∴y＝﹣3x2﹣18x+2． 故抛物线所对应的函数解析式为y＝3x2﹣18x+2或y＝﹣3x2﹣18x+2． （3）将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+2得，y＝2， ∴点A坐标为（0，2）． 当a＞0时，抛物线开口向上，点Q（0，a+2）在点A（0，2）上方， ∵点B与点A关于抛物线对称轴对称， ∴点B坐标为（2a，2）． ∴当a+3≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意， 解得0＜a≤3． 当a＜0时，点Q（0，a+2）在点A（0，2）下方，点B在点A左侧， 当点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意， ∴a+3≥0， 解得a≥﹣3， ∴﹣3≤a＜0， 综上所述，0＜a≤3或﹣3≤a＜0． 37．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 题型19 反比例函数与一次函数的综合（共3小题） 38．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． (1)求k的值 (2)点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． (3)若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得的值； （2）利用三角形面积公式求得，即可求得点的坐标； （3）根据题意轴，结合函数的图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：正比例函数经过点， ， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）解：点是轴上的一点，的面积为3， ，即， ， 点的坐标为或； （3）解：正比例函数与反比例函数相交于点和点， ， 点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 轴， 由图象可知，当时，的取值范围或． 39．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为； 反比例函数解析式为； (2)或 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）设，则，得到，或，分别解方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， 一次函数解析式为； 将代入得，， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得，一次函数解析式为， 设，则， ， 或， 当时， 解得，或， 经检验，均是原分式方程的解， ，或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得或 经检验，均是原分式方程的解， 或（不符合题意，舍去）； 故点的坐标为或． 40．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 设一次函数的表达式为，将，代入， 得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：如解图， 作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长， ∵与关于y轴对称， ∴， 又∵， ∴直线的表达式为． 令，得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 题型20 反比例函数与面积的综合（共3小题） 41．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)________；________；________； (2)根据图象写出不等式的解集是________； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)1；1；2 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）利用反比例函数以及一次函数图象即可求解； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 综上，；；； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或； （3）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 将代入得，， 点P坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 42．（26-27九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴、轴分别交于点，．过点作轴，垂足为． (1)求的值，并直接写出当时，一次函数值小于反比例函数值时的取值范围； (2)已知为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，则从条件①或条件②中选择一个作为已知条件，求点的坐标． 条件①：连接，，； 条件②：的面积是的面积的2倍． 【答案】(1)， (2)选择条件①，；或选择条件②， 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数解析式，分别求出，得到点的坐标为，进而求出．利用一次函数图象和反比例函数图象的关系求解即可； （2）选择条件①，由已知可知点在的垂直平分线上，从而求出点的纵坐标为2，利用函数解析式求点的坐标即可； 选择条件②，由的面积是的面积的2倍求出点的纵坐标，再代入解析式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入一次函数解析式，得 ， 解得， 点的坐标为． 把点的坐标代入反比例函数，得 ． 当时，一次函数值小于反比例函数值时的取值范围是． （2）解：选择条件①． 解法如下： 如图①，连接，，设． ， 是等腰三角形， 点在的垂直平分线上， 则点的纵坐标等于点纵坐标的一半，为2，即， 代入， 解得， 点的坐标为． 或选择条件②． 解法如下： 如图②，连接，，设点的坐标为， 由（1）知点，点． 一次函数的图象与轴交于点， 点的坐标为， ，， ． 的面积是的面积的2倍， ，即， 解得． 将其代入，解得， 点的坐标为． 43．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． （3）解：如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 题型21 反比例函数与特殊三角形的的综合（共3小题） 44．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． (1)求正比例函数与反比例函数的表达式； (2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； (3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)正比例函数解析式为；反比例函数的解析式为 (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出正比例函数解析式，再利用A点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）先设出C点坐标，再分别表示出P点与Q点坐标，最后代入解析式中求解即可； （3）先确定直角顶点，再构造直角三角形，可以利用全等三角形的判定与性质求出G点坐标，即可求解． 【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为：； ∵OA=， ∴， ∵＞0， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）设 ∴， ∵点Q是PC的中点， ∴， ∴， ∵点C是x轴正半轴上一点， ∴， ∴， ∴C点的坐标为． （3）存在，； 如图，分别过A点作x轴的垂线，过B点作y轴的垂线，两垂线交于点F，AF与x轴交于点E，BF与y轴交于点M，再过A点作AG⊥AB，与x轴交于G点， ∵ ∴， ∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1， ∴BF=2，AF=4， ∴BF=AE， ∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°， ∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠EAG=∠ABF， 由∠AEG=∠F=90°， ∴△AEG≌△BFA（ASA）， ∴EG=AF=4， ∴OG=5， ∴， 当C点位于G点处时，△ABC是直角三角形， ∴存在，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，并且能够通过作辅助线构造直角三角形． 45．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． (1)若点P的坐标是，直接写出k的值和的面积； (2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：是等腰三角形； (3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点与点P、B不重合，连接AQ、BQ，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，面积是15 (2) 证明：点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方， 可设点P坐标为，且可知， 设直线PA解析式为， 把A、P坐标代入可得，解得， 直线PA解析式为，令可求得， ， 同理可求得直线PB解析式为，令可求得， ， 作轴于点G，如图2，则， ，， ，即G为MN中点， 垂直平分MN， ，即是等腰三角形； (3) ，理由如下： 连接QA交x轴于，连接QB并延长交x轴于点，如图3， 由可得，即， ， 由知， ， ， 又， 【分析】由P点坐标可直接求得k的值，过P、B两点，构造矩形，利用面积的和差可求得的面积，利用对称，则可求得的面积； 可设出P点坐标，表示出直线PA、PB的解析式，则可表示出M、N的坐标，作轴于点G，可求得，即G为MN的中点，则可证得结论； 连接QA交x轴于点，连接QB并延长交x轴于点，利用的结论可求得，结合可得到，利用外角的性质及对顶角进一步可求得 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 点横坐标为4， ， 连接OP，过P作x轴的平行线，交y轴于点，过B作y轴的平行线，交x轴于点，两线交于点D，如图1， 则， ，，，， ，， ， 、B关于原点对称， ， ， ； （2）证明：略； （3）解：略． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、垂直平分线的判定和性质、等于腰三角形的判定和性质等知识．在中求三角形面积时注意矩形的构造，在中设出P点坐标求得是解题的关键，在中注意中结论的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 46．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式，即可求出点B的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，用勾股定理即可求解； （3）设，，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将带入得：， 解得： ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 联立， 解得：， ∴， 综上：反比例函数的表达式为：，； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， ∵， ∴； （3）解：设，， ①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ②在点左侧时， 同理可得， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想． 题型22反比例函数与特殊四边形的的综合（共3小题） 47．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，其中，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点恰好落在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积； (3)当时，判断反比例函数的图象是否经过的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】(1) (2)平行四边形的面积为144 (3)反比例函数的图象经过的中点；理由见解析 【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值； （2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可； （3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入，得． （2）过点作于，过点作于，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， 过点作于， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为，代入，得：， 所以，平行四边形的面积为． （3）∵四边形平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 设的中点为，过点作轴于点， ∴，， ∴的中点， ∵当时，， ∴反比例函数的图象经过的中点． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键． 48．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解； （2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解； （3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在正比例函数的图象上， ∴， 即， 把代入中，得， 解得； 即k的值为4； （2）解：∵轴于点，且， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴直线的解析式的一次项系数为1， 设直线的解析式为，把代入得， 解得， 即直线的解析式为， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立得，消去y，得， 解得（舍去）， 把代入，得， 则， 即点P的坐标为； （3）解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，， 则，消去m，得， 即①， ∵， ∴， 即， 整理得② 把②代入①，整理得， 解得， 而由得，， 当时，，此时； 当时，，不符合题意，舍去， 即点P的坐标为． 49．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 50．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数、反比例函数压轴题能力强化集训 22大题型 题型1 二次函数图象与性质的综合 题型12 二次函数的综合--矩形存在性问题 题型2 二次函数最值的综合 题型13 二次函数的综合--正方形存在性问题 题型3 二次函数与新定义综合问题 题型14 二次函数的综合--等角存在性问题 题型4二次函数与线段问题 题型15 二次函数的综合--二倍角存在性问题 题型5二次函数的综合---线段最值问题 题型16 二次函数的综合---特殊角存在性问题 题型6二次函数的综合---面积问题 题型17 二次函数的综合--几何变换问题 题型7二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 题型18 二次函数的综合-其它问题 题型8二次函数的综合--直角三角形存在性问题 题型19 反比例函数与一次函数的综合 题型9二次函数的综合--等腰直角三角形存在性问题 题型20 反比例函数与面积的综合 题型10 二次函数的综合--平行四边形存在性问题 题型21 反比例函数与特殊三角形的的综合 题型11二次函数的综合--菱形存在性问题 题型22反比例函数与特殊四边形的的综合 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数图象与性质的综合（共2小题） 1．（25-26九年级上浙江杭州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数的表达式； (2)若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 2．（26-27九年级上北京阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 题型2 二次函数最值的综合（共2小题） 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． (1) ， ； (2)已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． (3)当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的两个点，则这两个点分别是________，该抛物线的解析式为______________． (2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为k，，求证：． (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 题型3 二次函数与新定义综合问题（共2小题） 5．（2025辽宁阜新一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 6．（2026江西拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 题型4二次函数与线段问题（共2小题） 7．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 8.如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 题型5二次函数的综合---线段最值问题（共2小题） 9．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． (3)若点在该抛物线上，求的面积． 10．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 题型6二次函数的综合---面积问题（共3小题） 11．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 12．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 13．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． 题型7二次函数的综合---等腰三角形存在性问题（共2小题） 14．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8二次函数的综合--直角三角形存在性问题（共2小题） 16．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 17．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 题型9二次函数的综合--等腰直角三角形存在性问题（共2小题） 18．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 二次函数的综合--平行四边形存在性问题（共2小题） 20．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，作于，当时，求点的坐标； (3)若点是直线上一点（不与点，重合），是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型11二次函数的综合-矩形存在性问题（共2小题） 22．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23.已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 题型12 二次函数的综合--菱形存在性问题（共2小题） 24．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接、．求四边形的面积的最大值； ②过点作的平行线，交线段于点．试探究在直线上是否存在点，使得以点，，．为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13 二次函数的综合--正方形存在性问题（共2小题） 26．（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 题型14 二次函数的综合--等角存在性问题（共2小题） 28．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线表达式； (2)点D是第三象限内抛物线上一点，过点D作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点P，使得．若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 29．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型15 二次函数的综合--二倍角存在性问题（共2小题） 30．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 31．已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． (1)抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (4)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标． 题型16 二次函数的综合---特殊角存在性问题（共3小题） 32．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 33．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 题型17 二次函数的综合--几何变换问题（共3小题） 34．平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 35．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）如图1，已知抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为抛物线对称轴上的两个动点且满足（在的下方），连接、，当最大时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，在上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 题型18 二次函数的综合-其它问题（共2小题） 36．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若AB＝6，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点P（a+3，2），Q（0，a+2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 37．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 题型19 反比例函数与一次函数的综合（共3小题） 38．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． (1)求k的值 (2)点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． (3)若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 39．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 40．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 题型20 反比例函数与面积的综合（共3小题） 41．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)________；________；________； (2)根据图象写出不等式的解集是________； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 42．（26-27九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴、轴分别交于点，．过点作轴，垂足为． (1)求的值，并直接写出当时，一次函数值小于反比例函数值时的取值范围； (2)已知为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，则从条件①或条件②中选择一个作为已知条件，求点的坐标． 条件①：连接，，； 条件②：的面积是的面积的2倍． 43．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 题型21 反比例函数与特殊三角形的的综合（共3小题） 44．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． (1)求正比例函数与反比例函数的表达式； (2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； (3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 45．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． (1)若点P的坐标是，直接写出k的值和的面积； (2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：是等腰三角形； (3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点与点P、B不重合，连接AQ、BQ，比较与的大小，并说明理由． 46．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型22反比例函数与特殊四边形的的综合（共3小题） 47．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，其中，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点恰好落在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积； (3)当时，判断反比例函数的图象是否经过的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出与反比例函数图象的交点坐标． 48．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． (1)求的值； (2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； (3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 49．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $