专题28.1 图形的旋转 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题28.1 图形的旋转 知识点1：旋转的相关概念 　　1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。 　　2.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点。 　　3.旋转的三要素：旋转中心（点O）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 旋转中的对应元素 说明 示例 图例 对应点 旋转前后相互对应的点 点A与点D，点B与点E，点C与点F 对应线段 旋转前后相互对应的线段 AB与DE，AC与DF，BC与EF 对应角 旋转前后相互对应的角 ∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF，∠ACB与∠DFE 　　1.注意不要忽略"平面图形"，旋转角一般小于360°。 　　2.旋转方向分为顺时针方向和逆时针方向。 　　3.旋转中心可以是平面内的任意一个定点，可以在图形外、图形上或图形内。 知识点2：旋转的性质 　　1.旋转前、后的图形全等（形状、大小未发生变化）。 　　2.对应点到旋转中心的距离相等。 　　3.对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 　　1.由对应点到旋转中心距离相等，可得旋转前后的对应线段相等、对应角相等，并常结合全等三角形、等腰三角形解决问题。 　　2.连接对应点与旋转中心，所得的角即为旋转角，可用其相等关系求角度。 知识点3：旋转作图 　　1.画旋转后的图形，关键是确定旋转中心、旋转方向、旋转角，并找出构成图形的关键点（如三角形、矩形的顶点）。 　　2.旋转作图的一般步骤：定（确定旋转中心、方向、角）→找（找关键点）→转（按方向作旋转角）→截（在角的另一边截取对应点）→连（按原图顺序连接）。 　　3.利用旋转的性质作图时，也可根据全等关系（对应线段、对应角相等）直接确定关键点的对应点，再连接。 　　1.作图时注意旋转方向（顺/逆时针）不能弄反，旋转角的顶点是旋转中心。 　　2.若某点恰为旋转中心，则它的对应点是它本身。 知识点4：利用旋转设计图案 　　1.将一个基本图形绕某一点（常在图形外或图形上）旋转一定的角度，重复旋转即可得到美丽的图案，如将一个等腰三角形绕其正下方一点旋转得到五角星图案。 　　2.设计图案时，可综合运用旋转、平移、轴对称等图形变换。 　　1.判断一个图形能否由旋转得到，要看它能否由原图绕某一点旋转一定角度（可能与自身重合）获得。 　　2.中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转。 【基础必考题型】 【题型1】识别生活中的旋转现象 1.核心知识点 　　旋转的概念；区分旋转与平移、轴对称。 2.解题方法技巧 　　（1）判断依据：图形是否绕着一个定点转动一个角度； 　　（2）旋转：绕点转动（如钟表指针、风车叶片、钟摆摆动、舵柄转动）；平移：沿直线方向移动（如电梯上下、推拉窗户、活塞运动）； （3）结合生活实例逐一判断，找出旋转运动。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列现象属于旋转的是（     ） A．滑动手机解锁 B．篮球在空中运动 C．流星划过夜空 D．钟表的指针转动 【答案】D 【分析】抓住旋转绕定点转动的核心特征，逐一判断各选项． 【详解】解：A、C选项均为平移运动，B选项无固定转动中心，均不属于旋转；D选项钟表的指针绕中心定点转动，属于旋转． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列现象：①神舟二十二号发射升空；②风力发电机叶片的转动；③直升机螺旋桨的转动；④歼-20战斗机在跑道滑行．其中属于旋转的是（     ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据旋转的定义逐个判断即可． 【详解】解：①神舟二十二号发射升空、④歼-20战斗机在跑道滑行均不属于旋转．②风力发电机叶片的转动、③直升机螺旋桨的转动均为绕中心轴的旋转运动，属于旋转． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）日常生活中，我们经常见到以下情景：①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动；③打气筒打气时，活塞的运动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于旋转的是_______．（请填写序号） 【答案】①② 【分析】根据旋转的定义，逐个判断各情景的运动类型即可得到结果． 【详解】解：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，图形沿直线方向移动的运动是平移． 逐个判断： ①钟表指针绕钟表中心转动，符合旋转定义，属于旋转； ②汽车方向盘绕中心转动，符合旋转定义，属于旋转； ③打气筒打气时，活塞沿直线运动，属于平移，不属于旋转； ④传送带上瓶装饮料沿直线移动，属于平移，不属于旋转． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）有下列运动现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带上瓶装饮料的移动；③汽车方向盘的转动；④钟摆的摆动；⑤荡秋千运动；⑥足球飞入球网中．其中属于旋转的是__________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】根据旋转定义区分旋转和平移，逐个判断各运动的类型即可，旋转是图形绕定点转动，平移是图形沿直线移动． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，沿直线移动，属于平移，不是旋转； ②传送带上瓶装饮料的移动，沿直线移动，属于平移，不是旋转； ③汽车方向盘的转动，绕方向盘中心定点转动，属于旋转； ④钟摆的摆动，绕悬挂点定点转动，属于旋转； ⑤荡秋千运动，绕悬挂点定点转动，属于旋转； ⑥足球飞入球网中，无绕定点的转动，不是旋转； 因此属于旋转的是③④⑤． 【题型2】判断由旋转得到的图形 1.核心知识点 　　旋转不改变图形的形状和大小；判断图形能否由旋转获得。 2.解题方法技巧 　　（1）旋转前后图形全等，只是位置发生了转动； 　　（2）观察图形对应元素，判断能否绕某点旋转到目标位置； （3）注意区分旋转与轴对称（镜像）、平移（滑动）的变换结果。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在2025年世界羽联苏迪曼杯中，中国队成功卫冕，实现了四连冠，这也是中国队第14次捧起苏迪曼杯．羽毛球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打羽毛球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 旋转前后图形的大小和形状不发生改变，只是方向发生改变． 【详解】 原图旋转后得到的是D选项的图形． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 【变式题2-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 【题型3】确定旋转中心、旋转角、对应点 1.核心知识点 　　旋转三要素；对应点、对应线段、对应角的识别。 2.解题方法技巧 　　（1）旋转中心：图形绕其转动的定点，常由对应点连线（或延长线）的交点确定； 　　（2）旋转角：对应点与旋转中心所连线段所成的角，如∠AOA'、∠BOB'； （3）对应点：旋转前后相互对应的点，注意对应点的配对关系。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角为． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，如果把钟表的指针看作，它绕点按顺时针方向旋转得到，在这个旋转过程中： (1)旋转中心是点_______； (2)旋转角是_______； (3)旋转方向是_______； (4)经过旋转，点，变动到什么位置?_______． 【答案】(1) (2)（或） (3)顺时针 (4)点， 【分析】（1）根据旋转的三要素判断即可． （2）根据旋转的三要素判断即可． （3）根据旋转的三要素判断即可． （4）根据旋转的性质判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴旋转中心是点． （2）旋转角是指对应点与旋转中心连线所成的角， 根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴点对应点，点对应点，点对应点（旋转中心）， ∴ 和所成的角 是旋转角，同理，和所成的角 也是旋转角． （3）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴旋转方向是按顺时针方向． （4）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴点对应点，点对应点． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【答案】 轴（或直线） 【分析】本题结合平面直角坐标系，考查平移、轴对称、旋转三种几何变换的基本性质，结合等边三角形的角度特征进行求解． 【详解】（1）已知点坐标为，沿轴向右平移得到， 点对应点是点，两点在轴上的距离为， 平移距离为个单位长度． （2） 与成轴对称图形，点的对应点是点， 点坐标为，两点关于轴对称，其余对应点也都关于轴对称， 对称轴是轴． （3） 是等边三角形， ，， 绕原点顺时针旋转后边与边重合， 旋转角度为． 【培优高频题型】 【题型4】利用旋转的性质辨析结论 1.核心知识点 　　旋转前后图形全等；对应线段相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）由旋转前后的图形全等，判断对应线段相等、对应角相等； 　　（2）结合已知条件，逐条判断结论的正误； （3）注意对应线段的配对要准确，避免张冠李戴。 【例题4】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D．与的夹角是 【答案】A 【分析】由旋转的性质得出，，，与的夹角是．再由直角三角形两个锐角互余得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，，与的夹角是． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确， ∵，的大小未知， ∴不一定等于． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 【变式题4-2】.（2025·天津和平·一模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点恰好落在上时，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，得到，得出，，得到；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解： 以点为中心顺时针旋转得到， ，，，， ，，， ，， ， ， 故选项C正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：C 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师用一张三角形纸片进行旋转实验，如图所示，他将绕顶点逆时针旋转一定的角度得到，连接，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得出：，，，，故选项A，C，D正确， 无法得出，故选项B错误． 【题型5】利用旋转的性质求角度、长度 1.核心知识点 　　对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角等于旋转角；旋转前后图形全等。 2.解题方法技巧 　　（1）求角度：利用对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角，结合三角形内角和、全等关系求解； 　　（2）求长度：利用旋转前后对应线段相等，结合勾股定理、等腰三角形、全等三角形求解； （3）求面积：由旋转前后图形全等（面积相等），或把旋转后图形转化为可计算的图形。 【例题5】.（2026九年级·天津·专题练习）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质容易判断为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ∴． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，再根据旋转性质得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由旋转性质得，，， 在中，， ∴． 【题型6】画旋转后的图形 1.核心知识点 　　旋转作图：确定旋转中心、方向、角，找关键点作对应点。 2.解题方法技巧 　　（1）先确定旋转中心和旋转方向、旋转角，找出图形关键点（顶点）； 　　（2）逐个作出关键点的对应点：连接关键点与旋转中心，在按方向作出的角的另一边上截取相等距离； 　　（3）按原图顺序连接对应点，得到旋转后的图形；注意旋转中心本身的对应点是它自己。 【例题6】.（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求； (2) 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)， 【分析】（1）根据旋转的性质进行作图即可； （2）由图可直接写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，请画出四边形绕点逆时针旋转后得到的图形． 【答案】如图，四边形即为所求． 【详解】略 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． (1)点，之间的距离是_________； (2)请在图中画出． 【答案】(1) (2)如图，即为所求． 【详解】（1）解：∵，，将点绕点逆时针旋转得到， ∴． ∵， ∴点，之间的距离是； （2）略 【压轴素养题型】 【题型7】利用旋转的性质证明 1.核心知识点 　　旋转前后图形全等；对应线段、对应角相等；用旋转构造全等三角形。 2.解题方法技巧 　　（1）由旋转性质得对应线段相等、对应角相等，进而构造全等三角形； 　　（2）证明两条线段相等、两个角相等时，常证它们所在三角形全等； 　　（3）旋转常把分散的条件集中到同一三角形（如等边三角形、等腰直角三角形旋转），便于证明与计算。 【例题7】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， , ， ． 在和中， ， ． (2)，证明如下： ， ． 点为的中点， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，结合的条件，利用证明； （2）由（1）中全等三角形的性质，得到，根据线段中点的定义，得到，再结合线段进行等量代换即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若,，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：由旋转的性质得，， ，，． ， 三点共线． ，， ， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）先由旋转的性质，证明，再根据证明； （2）设正方形边长，则，，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则，， ， ， ， ， ， 由勾股定理，， ， 解得或（舍去）． 正方形的边长是． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（不用解答） 【探究应用】 (1)如图2，，都是等腰直角三角形，，，． ①写出与的数量关系和位置关系：________________ ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． (2)【问题解决】如图3，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且，，则： ①__________； ②线段的长是_________． 【答案】(1)①，； ②的面积与的面积相等；理由如下： 如图2.2，过D作于Y，过B作于X， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴的面积与的面积相等； (2)①80；②6 【分析】（1）①设，交于点H，，交于点G，证明，得出，，求出即可得解；②过D作于Y，过B作于X，证明，得出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （2）根据旋转的性质和对称的性质解答即可． 【详解】（1）解：①如图2.1，设，交于点H，，交于点G， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ②略； （2）解：①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在中，，，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，. (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转β（）得到线段，连接，，线段交线段于点F. ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点C作于点P，过点D作于点Q.探究与之间的数量关系是否随变化而变化.若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由. 【答案】(1) (2)①； ②不变，， 证明：延长，作，垂足为，作于，记，的交点为，如图 ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． 【分析】（1）根据旋转的性质证得、，进而证得，证得是等边三角形，求解的长度即可； （2）①根据旋转的性质证得，进而证得，根据三角形内角和定理求解即可； ②延长，作，垂足为，作，证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得四边形为矩形，证得即可． 【详解】（1）解；在中，， ， ， 旋转得， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：①旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②略 【题型8】旋转综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　旋转与几何图形综合（正方形、等边三角形、等腰直角三角形）；旋转中的动点、最值；跨学科情境。 2.解题方法技巧 　　（1）借助旋转把分散条件集中，构造全等三角形或等腰三角形； 　　（2）求线段最值时，常把动线段通过旋转转化为定线段之间的关系（如"两点之间线段最短"）； 　　（3）跨学科（如风力发电、扑克牌、万花筒、三角板）情境题，先抽象出旋转模型，再运用旋转性质求解。 【例题8】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）解决下面的问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转得．求______________，______________． (2)中，，，，在边上（如图），，若，，．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)中，，，，点为内一动点，连接，，．当为多少度时，有最小值，请求出最小值． 【答案】(1)， (2)解：，理由如下： 如图，把绕旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：. (3)， 【分析】（1）如图，过作于，连接，进一步结合等腰直角三角形与勾股定理可得答案； （2）如图，把绕旋转得到，可得，，可得，过作于，进一步结合勾股定理可得结论； （3）如图，把绕顺时针旋转得到，过作于，可得，，是等边三角形，结合，可得当共线时，取最小值，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，过作于，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得． ∴，，， ∴. （2）略 （3）解：如图，把绕顺时针旋转得到，过作于， ∴，，，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当共线时，取最小值， 此时， ∴， ∵， ∴的最小值为. 【变式题8-1】.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：． 【问题解决】 (2)如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为，边与边有交点，交点为，连接． ①请求出需要围栏的总长（即的周长）； ②若已知，求的长． 【答案】(1)证明：由旋转得，，， ∵在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①；②的长为或 【分析】（1）由旋转得到，，然后结合菱形的性质得到，然后证明，即可得到； （2）①延长到点H，使，证明，得到，，然后证明四边形是正方形，得到，然后证明，得到，然后等量代换求解即可； ②设，则，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，延长到点H，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴需要围栏的总长为； ②设，则， 由①得，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的长为或． 【变式题8-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)解：矩形，理由如下： 根据题意得：，，， ，， 点落在边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E是中点，， 在和中： ，， （）， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2)解：，且， 理由：延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中： ， ， ， （）， ，， ， 是绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在和中： ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得：，，，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出（），，，再由矩形的判定即可证明； （2）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定和性质得出（），，，再由旋转的性质得出，，结合图形得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 (1)如图，在中，，，点、分别是边、的中点，在线段上，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：； 【问题解决】 (2)如图，某景观园林设计师规划了一块形如等腰的主题绿化区域，其中，，点、分别是底边、腰的中点，是预先铺设的景观步道，在点处设置景观灯，点在上，沿铺设景观步道，将绕点顺时针旋转得到新的景观步道，为方便游客通行，搭建步道、，在步道和边的交点处设置观景平台，测量发现点恰好是步道的中点（即），已知步道米，求步道的长．（步道的宽度以及景观灯、景观平台的大小均忽略不计） 【答案】(1)证明：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴． 由旋转性质得，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)步道的长为米 【分析】（1）利用中位线的性质和等腰三角形的性质容易证明，由旋转的性质可得，，结合三角形内角和定理可得，进而证明，因此； （2）过点作交于点，连接，容易证明，则，．同理（1）可证明，则，，进而得到．利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理可计算出，则，，从而证明四边形为平行四边形，则，综合可得米． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同（1）易得， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵  ，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴米， 答：步道的长为米． 易错点 1、旋转方向弄反，把顺时针当逆时针，导致画图或求角错误。 2、确定旋转角时选错角，未用对应点与旋转中心连线所成的角。 3、对应点、对应线段配对错误，导致利用性质时张冠李戴。 4、作图时忘记旋转中心本身的对应点是它自己，或少画关键点。 5、求旋转后坐标时混淆绕原点顺逆时针旋转的坐标变化规律。 重点 1、掌握旋转的概念与三要素，能确定旋转中心、旋转角、对应点。 2、掌握旋转的性质，会利用性质求角度、长度、面积并证明。 3、掌握旋转作图的方法，会画旋转后的图形。 难点 1、利用旋转性质构造全等三角形进行证明与求值。 2、求旋转后的坐标及坐标与旋转的规律探究。 3、旋转综合探究题中的动点、最值及跨学科情境分析。 【对应练习题】 1．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的几何变换（平移、翻折、旋转），结合，判断各个选项的变换是否能让两个三角形完全重合． 【详解】解：∵， ∴，，，是等腰三角形，的垂直平分线是等腰的对称轴． A、平移只改变位置，不改变图形朝向．和左右方向对称，不是平移关系，不能通过平移重合，该说法错误，符合题意； B、是等腰三角形，垂直平分线为对称轴，沿这条垂直平分线翻折，能够和重合，该说法正确，不符合题意； C、由，得，即，结合，，，沿垂直平分线翻折可以重合，该说法正确，不符合题意； D、绕中点逆时针旋转，得到的图形无法和重合，该说法正确，不符合题意； 2．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 3．如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得到，进而得出，进而判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，即，故A选项不正确，符合题意； ∴， ∴平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意． 二、填空题 4．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点点恰好落在边上，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质可得，，，容易判断和都是等边三角形，则． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 5．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 【答案】/47度 【分析】根据旋转性质得到、、，结合三角形内角和和等腰三角形性质得到度数，再利用外角性质得到度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在边长为4的正方形中，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为_________ 【答案】 【分析】连接，在上找一点E，使得，过点E作交于点F，连接，根据正方形的性质以及勾股定理可得，证明为等腰直角三角形，可得，可证明，可得到，从而得到当点P与点F重合时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，在上找一点E，使得，过点E作交于点F，连接， 在边长为4的正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵把线段绕点A逆时针旋转到线段， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵P是边上一动点，，， ∴，即， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为． 三、解答题 7．在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】 【分析】本题考查方格纸内图形的旋转作图，利用旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，确定各顶点旋转后的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形． 【详解】略． 8．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】， 【分析】根据旋转的性质可得，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．． 【详解】解：根据旋转的性质可知，，， 所以， 所以． 9．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）连接，根据旋转的性质推出为等边三角形，即可得出结果； （2）先证明，再证明为直角三角形，过点作，勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，即点与的距离为4； （2）解：∵等边， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积为， 过点作，则， ∴， ∴的面积为， ∵四边形的面积为的面积与的面积之和， ∴四边形的面积为. 10．【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质可得：，，旋转角， ． ，点在延长线上， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． (3)存在最大值和最小值．最大值是，最小值是 【分析】（1）先在中用勾股定理算出正方形边长，再在求出对角线，利用旋转性质，线段相减得到结果． （2）根据旋转性质得到、、旋转角，再由平角求出，先判定三个直角得到矩形，再用邻边相等证明它是正方形． （3）由旋转性质得到，判断点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧；利用点到圆上一点距离的规律，当、、三点共线，取最值，最大值为，最小值为，代入，算出结果． 【详解】（1）解：在中，，根据勾股定理得， 四边形是正方形， ，， 在中，根据勾股定理得， 由旋转可得． 落在对角线上， ； （2）略 （3）解：由旋转的性质，，所以在旋转过程中，点到定点的距离始终等于， 点的运动轨迹是以为圆心，半径的圆弧（）． 由（1）知，． 根据两点之间线段最短： 当、、三点共线，且在的延长线上时，最大， ， 当、、三点共线，且落在线段上时，最小， ， 答：最大值是，最小值是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 图形的旋转 知识点1：旋转的相关概念 　　1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。 　　2.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点。 　　3.旋转的三要素：旋转中心（点O）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 旋转中的对应元素 说明 示例 图例 对应点 旋转前后相互对应的点 点A与点D，点B与点E，点C与点F 对应线段 旋转前后相互对应的线段 AB与DE，AC与DF，BC与EF 对应角 旋转前后相互对应的角 ∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF，∠ACB与∠DFE 　　1.注意不要忽略"平面图形"，旋转角一般小于360°。 　　2.旋转方向分为顺时针方向和逆时针方向。 　　3.旋转中心可以是平面内的任意一个定点，可以在图形外、图形上或图形内。 知识点2：旋转的性质 　　1.旋转前、后的图形全等（形状、大小未发生变化）。 　　2.对应点到旋转中心的距离相等。 　　3.对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 　　1.由对应点到旋转中心距离相等，可得旋转前后的对应线段相等、对应角相等，并常结合全等三角形、等腰三角形解决问题。 　　2.连接对应点与旋转中心，所得的角即为旋转角，可用其相等关系求角度。 知识点3：旋转作图 　　1.画旋转后的图形，关键是确定旋转中心、旋转方向、旋转角，并找出构成图形的关键点（如三角形、矩形的顶点）。 　　2.旋转作图的一般步骤：定（确定旋转中心、方向、角）→找（找关键点）→转（按方向作旋转角）→截（在角的另一边截取对应点）→连（按原图顺序连接）。 　　3.利用旋转的性质作图时，也可根据全等关系（对应线段、对应角相等）直接确定关键点的对应点，再连接。 　　1.作图时注意旋转方向（顺/逆时针）不能弄反，旋转角的顶点是旋转中心。 　　2.若某点恰为旋转中心，则它的对应点是它本身。 知识点4：利用旋转设计图案 　　1.将一个基本图形绕某一点（常在图形外或图形上）旋转一定的角度，重复旋转即可得到美丽的图案，如将一个等腰三角形绕其正下方一点旋转得到五角星图案。 　　2.设计图案时，可综合运用旋转、平移、轴对称等图形变换。 　　1.判断一个图形能否由旋转得到，要看它能否由原图绕某一点旋转一定角度（可能与自身重合）获得。 　　2.中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转。 【基础必考题型】 【题型1】识别生活中的旋转现象 1.核心知识点 　　旋转的概念；区分旋转与平移、轴对称。 2.解题方法技巧 　　（1）判断依据：图形是否绕着一个定点转动一个角度； 　　（2）旋转：绕点转动（如钟表指针、风车叶片、钟摆摆动、舵柄转动）；平移：沿直线方向移动（如电梯上下、推拉窗户、活塞运动）； （3）结合生活实例逐一判断，找出旋转运动。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列现象属于旋转的是（     ） A．滑动手机解锁 B．篮球在空中运动 C．流星划过夜空 D．钟表的指针转动 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列现象：①神舟二十二号发射升空；②风力发电机叶片的转动；③直升机螺旋桨的转动；④歼-20战斗机在跑道滑行．其中属于旋转的是（     ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）日常生活中，我们经常见到以下情景：①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动；③打气筒打气时，活塞的运动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于旋转的是_______．（请填写序号） 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）有下列运动现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带上瓶装饮料的移动；③汽车方向盘的转动；④钟摆的摆动；⑤荡秋千运动；⑥足球飞入球网中．其中属于旋转的是__________（填序号）． 【题型2】判断由旋转得到的图形 1.核心知识点 　　旋转不改变图形的形状和大小；判断图形能否由旋转获得。 2.解题方法技巧 　　（1）旋转前后图形全等，只是位置发生了转动； 　　（2）观察图形对应元素，判断能否绕某点旋转到目标位置； （3）注意区分旋转与轴对称（镜像）、平移（滑动）的变换结果。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在2025年世界羽联苏迪曼杯中，中国队成功卫冕，实现了四连冠，这也是中国队第14次捧起苏迪曼杯．羽毛球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度．如图是一个打羽毛球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【题型3】确定旋转中心、旋转角、对应点 1.核心知识点 　　旋转三要素；对应点、对应线段、对应角的识别。 2.解题方法技巧 　　（1）旋转中心：图形绕其转动的定点，常由对应点连线（或延长线）的交点确定； 　　（2）旋转角：对应点与旋转中心所连线段所成的角，如∠AOA'、∠BOB'； （3）对应点：旋转前后相互对应的点，注意对应点的配对关系。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，如果把钟表的指针看作，它绕点按顺时针方向旋转得到，在这个旋转过程中： (1)旋转中心是点_______； (2)旋转角是_______； (3)旋转方向是_______； (4)经过旋转，点，变动到什么位置?_______． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【培优高频题型】 【题型4】利用旋转的性质辨析结论 1.核心知识点 　　旋转前后图形全等；对应线段相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）由旋转前后的图形全等，判断对应线段相等、对应角相等； 　　（2）结合已知条件，逐条判断结论的正误； （3）注意对应线段的配对要准确，避免张冠李戴。 【例题4】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D．与的夹角是 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【变式题4-2】.（2025·天津和平·一模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点恰好落在上时，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师用一张三角形纸片进行旋转实验，如图所示，他将绕顶点逆时针旋转一定的角度得到，连接，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【题型5】利用旋转的性质求角度、长度 1.核心知识点 　　对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角等于旋转角；旋转前后图形全等。 2.解题方法技巧 　　（1）求角度：利用对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角，结合三角形内角和、全等关系求解； 　　（2）求长度：利用旋转前后对应线段相等，结合勾股定理、等腰三角形、全等三角形求解； （3）求面积：由旋转前后图形全等（面积相等），或把旋转后图形转化为可计算的图形。 【例题5】.（2026九年级·天津·专题练习）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式题5-2】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为______． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 【题型6】画旋转后的图形 1.核心知识点 　　旋转作图：确定旋转中心、方向、角，找关键点作对应点。 2.解题方法技巧 　　（1）先确定旋转中心和旋转方向、旋转角，找出图形关键点（顶点）； 　　（2）逐个作出关键点的对应点：连接关键点与旋转中心，在按方向作出的角的另一边上截取相等距离； 　　（3）按原图顺序连接对应点，得到旋转后的图形；注意旋转中心本身的对应点是它自己。 【例题6】.（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出点和点的坐标． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，请画出四边形绕点逆时针旋转后得到的图形． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． (1)点，之间的距离是_________； (2)请在图中画出． 【压轴素养题型】 【题型7】利用旋转的性质证明 1.核心知识点 　　旋转前后图形全等；对应线段、对应角相等；用旋转构造全等三角形。 2.解题方法技巧 　　（1）由旋转性质得对应线段相等、对应角相等，进而构造全等三角形； 　　（2）证明两条线段相等、两个角相等时，常证它们所在三角形全等； 　　（3）旋转常把分散的条件集中到同一三角形（如等边三角形、等腰直角三角形旋转），便于证明与计算。 【例题7】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若,，求正方形的边长． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·全国·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（不用解答） 【探究应用】 (1)如图2，，都是等腰直角三角形，，，． ①写出与的数量关系和位置关系：________________ ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． (2)【问题解决】如图3，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F．若与关于直线对称，且，，则： ①__________； ②线段的长是_________． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在中，，，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，. (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转β（）得到线段，连接，，线段交线段于点F. ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点C作于点P，过点D作于点Q.探究与之间的数量关系是否随变化而变化.若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由. 【题型8】旋转综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　旋转与几何图形综合（正方形、等边三角形、等腰直角三角形）；旋转中的动点、最值；跨学科情境。 2.解题方法技巧 　　（1）借助旋转把分散条件集中，构造全等三角形或等腰三角形； 　　（2）求线段最值时，常把动线段通过旋转转化为定线段之间的关系（如"两点之间线段最短"）； 　　（3）跨学科（如风力发电、扑克牌、万花筒、三角板）情境题，先抽象出旋转模型，再运用旋转性质求解。 【例题8】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）解决下面的问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转得．求______________，______________． (2)中，，，，在边上（如图），，若，，．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)中，，，，点为内一动点，连接，，．当为多少度时，有最小值，请求出最小值． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：． 【问题解决】 (2)如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为，边与边有交点，交点为，连接． ①请求出需要围栏的总长（即的周长）； ②若已知，求的长． 【变式题8-2】.（2026八年级上·全国·专题练习）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 (1)如图，在中，，，点、分别是边、的中点，在线段上，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：； 【问题解决】 (2)如图，某景观园林设计师规划了一块形如等腰的主题绿化区域，其中，，点、分别是底边、腰的中点，是预先铺设的景观步道，在点处设置景观灯，点在上，沿铺设景观步道，将绕点顺时针旋转得到新的景观步道，为方便游客通行，搭建步道、，在步道和边的交点处设置观景平台，测量发现点恰好是步道的中点（即），已知步道米，求步道的长．（步道的宽度以及景观灯、景观平台的大小均忽略不计） 易错点 1、旋转方向弄反，把顺时针当逆时针，导致画图或求角错误。 2、确定旋转角时选错角，未用对应点与旋转中心连线所成的角。 3、对应点、对应线段配对错误，导致利用性质时张冠李戴。 4、作图时忘记旋转中心本身的对应点是它自己，或少画关键点。 5、求旋转后坐标时混淆绕原点顺逆时针旋转的坐标变化规律。 重点 1、掌握旋转的概念与三要素，能确定旋转中心、旋转角、对应点。 2、掌握旋转的性质，会利用性质求角度、长度、面积并证明。 3、掌握旋转作图的方法，会画旋转后的图形。 难点 1、利用旋转性质构造全等三角形进行证明与求值。 2、求旋转后的坐标及坐标与旋转的规律探究。 3、旋转综合探究题中的动点、最值及跨学科情境分析。 【对应练习题】 1．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 2．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．平分 C． D． 二、填空题 4．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点点恰好落在边上，若，，则的长为________________． 5．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 6．如图，在边长为4的正方形中，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为_________ 三、解答题 7．在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 8．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 9．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 10．【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $