专题28.1 图形的旋转（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学图形的旋转核心知识点，系统梳理旋转的概念（旋转中心、旋转角、旋转方向三要素）、性质（对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角、旋转前后图形全等）及作图步骤，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料亮点在于11种题型覆盖生活实例（如钟表指针转动、数字“689”旋转）、旋转要素确定、性质证明等，通过例题与变式题结合，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升。

专题28.1 图形的旋转（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 3 【题型3 确定旋转中心、旋转角、对应点】 6 【题型4 确定旋转中心的个数】 8 【题型5 利用旋转的性质辨析】 11 【题型6 利用旋转的性质求解】 13 【题型7 利用旋转的性质证明】 16 【题型8 画旋转后的图形】 21 【题型9 求旋转后的坐标】 26 【题型10 利用旋转设计图案】 29 【题型11 坐标与旋转规律问题】 32 考点1 图形的旋转 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【答案】90 【分析】本题考查旋转的基本概念．结合生活实际理解“向右转”这一旋转动作的旋转角度即可． 【详解】解：在体育课上，“向右转”的动作是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：90． 【变式1-2】将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 【变式1-3】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 【变式2-1】如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 【题型3 确定旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（25-26八年级下·山东·期末）如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 【变式3-1】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质及勾股定理逆定理判断旋转中心． 【详解】解：如图，点Ｍ是旋转中心 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，正方形经过旋转后到达正方形的位置，点的对应点是点______． 【答案】F 【分析】本题考查了旋转的性质，关键是确定旋转中心和旋转角； 根据对应点是旋转前后位置相对应的点判断即可． 【详解】解：由题意可知：旋转中心是点，旋转后对应， ∵四边形是正方形， ∴ ∴旋转角是， ∴点的对应点是点． 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 【答案】120 【详解】解：利用等边三角形的对称性作和的垂直平分线，它们的交点为，则点为旋转中心， ∵网格为等边三角形网格， ∴， ∴旋转角为． 故答案为：120． 【题型4 确定旋转中心的个数】 【例4】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 【变式4-1】如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式4-2】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 【变式4-3】如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【答案】(1)点B或点C或线段的中点 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转、平移的性质、平行四边形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据平移的性质和等边三角形的性质得到，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出答案． 【详解】（1）解：将绕点B逆时针旋转能与重合； 将绕点C顺时针旋转能与重合； 将绕线段的中点旋转能与重合； ∴满足题意的点为点B或点C或线段的中点； 故答案为：点B或点C或线段的中点； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵等边和有公共边， ∴，， ∴， 根据平移的性质得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【题型5 利用旋转的性质辨析】 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确； 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误； 故正确的说法是②③④，选D． 【变式5-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，将绕顶点A顺时针旋转一定的角度得到，此时恰好经过点C，且满足，．据此，莉莉得出以下两个结论：Ⅰ．平分；Ⅱ．线段的长度是．其中正确的是（　　）      A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ和Ⅱ都正确 D．Ⅰ和Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质． 根据旋转的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，即平分； 由旋转的性质可知，，即； 即Ⅰ和Ⅱ都正确． 故选：C． 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）如图，把三根木条钉在一起，使之可以在连接点处自由旋转，若，则如何旋转木条才能使它与木条平行．以下说法正确的是（   ） 小明说：把木条绕点逆时针旋转； 小刚说：把木条绕点顺时针旋转． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；掌握旋转的基本性质． 根据小明的操作，能使，可得；根据小刚的操作， ，故不平行． 【详解】解：根据小明的操作，把木条绕点逆时针旋转 后的度数为， 此时， ∴， 根据小刚的操作，把木条绕点顺时针旋转后的度数为， ∵， 不平行， 故选：A． 【变式5-3】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转前后对应角相等是解题的关键． 由旋转得，，，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴ ∴，故A错误； 根据题意无法证明，故B错误； ∵， ∴， ∴，故D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 故选：D． 【题型6 利用旋转的性质求解】 【例6】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，， 由等边对等角得， 即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， 点落在线段上， ， ， 在中，由勾股定理得． 【变式6-3】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，令与的交点为O，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为O， ∵点B恰好落在直线上， ∴、、B三点共线， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7 利用旋转的性质证明】 【例7】如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，连接． (1)填空： ________； (2)求证： 【答案】(1)180 (2)证明过程见详解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，垂直的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，然后表示出，再根据列式整理即可得解； （2）根据旋转的性质可得，，，再利用等腰三角形两底角相等表示出、，然后求出，根据垂直的定义即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质知：， ， ， ， 故答案为：180； （2）证明：由旋转知：，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式7-1】如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．求证：． 【答案】 证明：连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， 即， 由旋转，得， ∴． 【分析】根据旋转的性质得，再结合等腰三角形的性质得出答案即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到． (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、AD的长和，可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理得出即可证明； （2）通过求解，作AP边上的高BH，则 ，根据即可求出． 【详解】（1）由题意得：，， 是等边三角形 ， 是直角三角形； （2）是等边三角形 是直角三角形， 作．则 【点睛】本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，在等腰直角中，，点D，E在边BC上，且，将绕点A逆时针旋转90°得到，连接EF． （1）求证：． （2）若，，求CE． 【答案】 （1）证明：∵将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∵，， ∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°， ∴∠CAF+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°， 即∠EAF=45°， ∴∠EAF=∠DAE， ∵AE=AE， ∴△DAE≌△FAE， ∴DE=EF； （2）3 【分析】（1）根据旋转的性质，可得∠BAD=∠CAF，AD=AF，再由，，可得∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，进而得到△DAE≌△FAE，即可求证； （2）根据旋转的性质，可得∠B=∠ACF，CF=BD=4，再由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，，从而得到∠ACF=45°， ，进而得到∠ECF=90°，再由，可得EF=8-CE，然后在 中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴∠B=∠ACF，CF=BD=4， 在等腰直角中，， ∴∠B=∠ACB=45°，， ∴∠ACF=45°， ， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°， ∵BD=4， ∴DE+CE=8， ∵DE=EF， ∴EF+CE=8， ∴EF=8-CE， 在 中， ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型8 画旋转后的图形】 【例8】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据网格的特点和旋转方式找到A、C的对应点的位置，描出，并顺次连接即可． 【详解】略 【变式8-1】（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【答案】 如图，和即为所求： 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】略 【变式8-2】（25-26八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)， 【分析】（1）图形旋转180度时，对应点关于原点对称，因此作点A，B，C关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 【变式8-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 【题型9 求旋转后的坐标】 【例9】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--旋转、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先得到，，过作轴于H，根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 如图，将线段绕点顺时针旋转得到，则，， 过作轴于H， 在中，，则， ∴， 故选：A． 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识．过点作于点，过点作于点，证明，则，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为． ∴， ∵将线段AP绕点A逆时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【题型10 利用旋转设计图案】 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）要把如图所示的等边三角形分成3个全等的四边形，小亮想到了将等边三角形的中心O（）作为3个四边形的公共顶点，你能帮他完成分割吗？ 【答案】如图，四边形即为所求 【分析】在边上任取一点D，将D分别绕点O旋转和得到；连接，即可． 【变式10-2】（24-25九年级上·全国·课前预习）为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用平移旋转作图求解即可； （2）根据镶嵌的知识设计的，利用平移旋转作图求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）桌面的设计：当阅览室人数少时，每张桌子可以单独成立，把正方形变成圆形，当阅览室人数多时，就可以把中间变成正方形，周围是圆形，几张桌子拼接在一起． 设计如图所示： 【点睛】此题考查了平面图形的镶嵌的有关知识，解题的关键是熟练掌握图形的镶嵌． 【变式10-3】已知每个网格中小正方形的边长都是，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为和的圆弧围成． （1）在图2中画出一个图1的图案; （2）请你在图3中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)． 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）利用圆规，在图2中画出与图1全等的图形即可； （2）借助轴对称、平移或旋转设计出一个完整的花边图案即可． 【详解】解：（1）如图： （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，以及轴对称图形，平移的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识． 【题型11 坐标与旋转规律问题】 【例11】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：过点作轴于．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，，6次一个循环，然后再求第2026次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于． ，， ， 在中，，， ， ，， ， ， 将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， 、在轴上， ，； 与关于轴对称， ； 与关于原点对称， ； 与关于轴对称， ， 与重合， ； ， ∵， ∴6次一个循环， ， ． 【变式11-1】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 【变式11-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出前几次的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处， ， ∴， 第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， 第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第4次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第5次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， … 轴上为每3段一循环，即重复出现， ，，，，，…，这些点的横坐标依次为： 0，，，，，， 奇数次旋转（如第1、3、5…次）：点A落在x轴上，纵坐标为0，横坐标增加， 偶数次旋转（如第2、4、6…次）：点A不在x轴上，纵坐标为1，横坐标增加1， 每两次旋转为一个周期，每个周期内横坐标总增加，纵坐标在偶数次旋转后为1， ， 50次旋转包含25个完整周期， 每个周期横坐标增加，25个周期总增加：， 初始横坐标为0， 故第50次旋转后的横坐标为， 点​的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解，坐标与旋转规律问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 图形的旋转（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 2 【题型3 确定旋转中心、旋转角、对应点】 4 【题型4 确定旋转中心的个数】 5 【题型5 利用旋转的性质辨析】 6 【题型6 利用旋转的性质求解】 7 【题型7 利用旋转的性质证明】 8 【题型8 画旋转后的图形】 10 【题型9 求旋转后的坐标】 11 【题型10 利用旋转设计图案】 12 【题型11 坐标与旋转规律问题】 13 考点1 图形的旋转 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【变式1-2】将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【变式1-3】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【题型2 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【变式2-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【题型3 确定旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（25-26八年级下·山东·期末）如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，正方形经过旋转后到达正方形的位置，点的对应点是点______． 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 【题型4 确定旋转中心的个数】 【例4】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【变式4-1】如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【变式4-2】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【变式4-3】如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【题型5 利用旋转的性质辨析】 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式5-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，将绕顶点A顺时针旋转一定的角度得到，此时恰好经过点C，且满足，．据此，莉莉得出以下两个结论：Ⅰ．平分；Ⅱ．线段的长度是．其中正确的是（　　）      A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ和Ⅱ都正确 D．Ⅰ和Ⅱ都不正确 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）如图，把三根木条钉在一起，使之可以在连接点处自由旋转，若，则如何旋转木条才能使它与木条平行．以下说法正确的是（   ） 小明说：把木条绕点逆时针旋转； 小刚说：把木条绕点顺时针旋转． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【变式5-3】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用旋转的性质求解】 【例6】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【变式6-3】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【题型7 利用旋转的性质证明】 【例7】如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，连接． (1)填空： ________； (2)求证： 【变式7-1】如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．求证：． 【变式7-2】如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到． (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积． 【变式7-3】如图，在等腰直角中，，点D，E在边BC上，且，将绕点A逆时针旋转90°得到，连接EF． （1）求证：． （2）若，，求CE． 【题型8 画旋转后的图形】 【例8】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的． 【变式8-1】（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【变式8-2】（25-26八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【变式8-3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【题型9 求旋转后的坐标】 【例9】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【题型10 利用旋转设计图案】 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）要把如图所示的等边三角形分成3个全等的四边形，小亮想到了将等边三角形的中心O（）作为3个四边形的公共顶点，你能帮他完成分割吗？ 【变式10-2】（24-25九年级上·全国·课前预习）为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 【变式10-3】已知每个网格中小正方形的边长都是，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为和的圆弧围成． （1）在图2中画出一个图1的图案; （2）请你在图3中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)． 【题型11 坐标与旋转规律问题】 【例11】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $